Đơn giản hóa các biểu thức

Đơn giản hóa các biểu thức

Một trong những nhiệm vụ phổ biến nhất trong đại số âm thanh như thế này: "Đơn giản hóa biểu thức". Điều này có thể được thực hiện bằng một trong các kỹ thuật sau, nhưng thường xuyên nhất bạn sẽ cần kết hợp chúng.

Mang lại các thuật ngữ tương tự.

Đây là sự kết hợp dễ nhất. Tương tự Chúng được gọi là các thuật ngữ có cùng một phần chữ cái. Ví dụ, chẳng hạn như biểu thức 5 аvà -6. аĐược; -3. Hu. và 3. Được; 2 và 10. Vì vậy, vậy. Bạn chỉ có thể gấp các thành phần tương tự; Nếu phần nghĩa đen của các thành phần thì khác, thì các thành phần đó đã không thể. Đồng ý, nếu trong cuộc sống của tôi, chúng tôi sẽ thêm táo bằng móng tay, sau đó chúng tôi sẽ có một số loại trò chơi) trong toán học theo cùng một cách.

Ví dụ: đơn giản hóa một biểu thức như vậy:

Điều khoản tương tự tôi sẽ phân bổ các màu sắc khác nhau và tính toán. Nhân tiện, dấu hiệu trước khi thuật ngữ đề cập đến thuật ngữ này.

Như bạn thấy, không còn nhiều bộ phận bảng chữ cái. Biểu thức được đơn giản hóa.

Nhân của cánh đơn và đa thức.

Tôi sẽ không tranh luận - bạn có thể nhân số. Và nếu chữ cái, độ, dấu ngoặc thêm vào chúng?

Monomial. - Đây là một biểu thức bao gồm một sản phẩm của các số, chữ cái, độ và nó nhất thiết phải là tất cả đều ổn. Đáng ngạc nhiên, chỉ cần số 5 cũng chưa được đánh giá cao, cũng như một biến đơn độc х.

Khi nhân các tấm đơn sử dụng các quy tắc nhân của độ.

Di chuyển ba Unoblays:

Màu sắc khác nhau phân bổ những gì tôi sẽ nhân lên.

Đa thức. - Đây là tổng của một cánh.

Để nhân biểu thức trên đa thức đằng sau dấu ngoặc để nhân với mỗi người trong ngoặc. Chi tiết trong ví dụ sau.

Nó vẫn để nhớ lại sự nhân lên của đa thức cho đa thức. Với điều này, cần phải nhân từng phần tốt trong ngoặc đầu tiên cho mỗi người trong ngoặc đầu tiên, kết quả gấp hoặc khấu trừ tùy thuộc vào các dấu hiệu của các thuật ngữ.

Thực hiện một yếu tố chung cho dấu ngoặc.

Chúng tôi sẽ hiểu ví dụ.

Biểu thức này được đưa ra:

Điều gì là phổ biến cho hai thuật ngữ này? Đúng vậy, có một bội số trong cả hai. x. Anh ta sẽ là một yếu tố chung cần phải được lấy ra.

Lấy một ví dụ khác.

Cả hai số trong các thành phần được chia thành 2, sau đó số 2 là một yếu tố phổ biến. Nhưng vẫn ở trong những sinh vật này có cùng một chữ cái nhưng - Một ở mức độ đầu tiên, cái kia - trong lần thứ hai. Chúng tôi mang nó đến một mức độ thấp hơn, tức là. Trong lần đầu tiên, nó sẽ là yếu tố phổ biến thứ hai. Nói chung, nó sẽ tạo ra một bản ghi như vậy:

Chà, hãy ví dụ thứ ba, chỉ không có bình luận.

Bạn có thể kiểm tra tính đúng đắn của hệ số chung cho dấu ngoặc bằng cách tiết lộ dấu ngoặc (nhân).

Phân hủy đa thức trên số nhân của phương pháp nhóm.

Nếu bạn cần phân tách một đa thức thành số nhân, thì phương thức nhóm sẽ hữu ích cho bạn.

Chỉ có thể tham gia nhóm bằng cách thực hiện các yếu tố chung trên mỗi khung. Nhưng cần phải làm cho nó để các dấu ngoặc cuối cùng sẽ làm việc như nhau. Để làm gì? Có, sau đó, sau đó để tạo các dấu ngoặc này cho các dấu ngoặc khác.

Ví dụ sẽ rõ ràng hơn)

Tôi lấy một ví dụ đơn giản nhất, sạch sẽ để hiểu những gì nên được thực hiện.

Trong hai thuật ngữ đầu tiên, hệ số chung là biến а: Chúng tôi mang nó ra cho khung. Trong hai thuật ngữ thứ hai, tổng số yếu tố là số 6. Nó cũng được thực hiện cho các dấu ngoặc.

Bạn đã thấy hai dấu ngoặc giống hệt nhau? Bây giờ họ là một yếu tố phổ biến. Chúng tôi chịu đựng chúng đằng sau khung và có được một sản phẩm dễ thương của hai dấu ngoặc:

Sự phân hủy của quảng trường là ba quyết định về bội số.

Hãy để hình vuông ba shreddance:

Để phân hủy nó trên số nhân, cần phải giải phương trình vuông

Phương trình rễ tiếp theo х1 и х2Thay thế cho công thức sau:

Chúng tôi cố gắng.

Lấy ba cái này cũ:

Tìm rễ của phương trình vuông.

Chúng tôi thay thế chúng trong công thức để phân hủy Square ba phân hủy số nhân:

Một cái gì đó quá nhiều nhược điểm trong khung thứ hai. Chuyển đổi một chút nó:

Bây giờ tuyệt vời)

Bạn vẫn có thể có ích:

- Khả năng làm việc với các phân số thông thường;

- Khả năng cắt giảm phân số;

- Kiến thức về các công thức của phép nhân tắc viết tắt.

Nhưng những nhiệm vụ như vậy có thể gặp bạn trong kỳ thi.

1) Đơn giản hóa:

Giải pháp ở đây.

2) Tìm giá trị của biểu thức ở các giá trị được chỉ định của các biến:

Giải pháp ở đây.

3) Tìm giá trị của biểu thức ở các giá trị được chỉ định của các biến:

Giải pháp ở đây.

Có nhiều nhiệm vụ tương tự - họ sẽ không phù hợp với tất cả chúng)

Có một vài câu hỏi? Viết cho tôi!

Giáo viên cá nhân của bạn.

Chuyển đổi có thẩm quyền của các biểu thức hợp lý

Biểu thức và phân số hợp lý là nền tảng của toàn bộ đại số. Những người học cách làm việc với các biểu thức như vậy, đơn giản hóa chúng và nằm trên số nhân, trên thực tế, họ có thể giải quyết bất kỳ nhiệm vụ nào, vì việc chuyển đổi biểu thức là một phần không thể thiếu trong bất kỳ phương trình nào, bất bình đẳng nghiêm trọng và thậm chí là một nhiệm vụ văn bản.

Trong video này, chúng ta sẽ thấy cách áp dụng các công thức của các phép nhân được viết tắt để đơn giản hóa các biểu thức và phân số Rational. Dạy để xem các công thức này ở đâu, thoạt nhìn, không có gì. Đồng thời, chúng tôi lặp lại một sự tiếp nhận đơn giản như vậy, như sự phân hủy của Triple Square to Multiplivers thông qua sự phân biệt đối xử.

Như bạn có thể đoán các công thức cho lưng của tôi, ngày nay chúng ta sẽ nghiên cứu các công thức phân cách viết tắt, và, chính xác hơn, không phải là chính thức, mà việc sử dụng chúng để đơn giản hóa và giảm các biểu thức hợp lý phức tạp. Nhưng trước khi chuyển sang giải quyết các ví dụ, hãy đến gần hơn với các công thức này hoặc nhớ chúng:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ trái (A-B \ RIFE) \ Left (A + B \ RIGHT) $ - sự khác biệt của hình vuông;
  2. $ {{\ left (A + B \ RIFE)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2AB + {{B} ^ {2}} $ - tổng của số tiền;
  3. $ {{\ left (a-b \ right)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2AB + {{B} ^ {2}} $ - hình vuông của sự khác biệt;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {3}} {3}} = \ TRÁI (A + B \ RIFE) \ Left ({{a} ^ {2}} - ab + {{b} ^ 2}} \ phải) $ - lượng hình khối;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ trái (ab \ phải) \ trái ({{a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} \ Phải) $ - sự khác biệt của hình khối.

Tôi cũng muốn lưu ý rằng hệ thống giáo dục trường học của chúng tôi được sắp xếp theo cách đó với việc nghiên cứu về chủ đề này, tức là. Các biểu thức hợp lý, cũng như rễ, các mô-đun của tất cả các sinh viên phát sinh cùng một vấn đề mà tôi sẽ giải thích ngay bây giờ.

Thực tế là ngay từ đầu nghiên cứu các công thức nhân giống và, theo đó, các hành động để giảm các phân số (đây là một nơi nào đó lớp 8) giáo viên nói điều gì đó như sau: Nếu một cái gì đó không rõ ràng, thì bạn không lo lắng, thì chúng tôi không lo lắng Chủ đề này vẫn sẽ trở lại nhiều lần, ở các trường trung học chính xác. Chúng tôi sẽ phân tích nó. Chà, sau đó vào bước vào lớp 9-10, cùng một giáo viên giải thích cùng một học sinh không biết cách giải quyết các phân số hợp lý, về những điều sau đây: "Bạn đã ở đâu trước hai năm trước? Nó đã được nghiên cứu về đại số ở lớp 8! Điều gì có thể khó hiểu ở đây? Nó rất rõ ràng! "

Tuy nhiên, các đệ tử thông thường từ những giải thích như vậy hoàn toàn không dễ dàng hơn: họ có cả cháo, và vẫn còn, vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ phân tích hai ví dụ đơn giản, trên cơ sở và hãy xem làm thế nào trong các nhiệm vụ thực sự để phân bổ các biểu thức này Dẫn chúng tôi đến các công thức nhân giống viết tắt và cách áp dụng điều này để chuyển đổi các biểu thức Rational phức tạp.

Giảm phân số hợp lý đơn giản

Nhiệm vụ số 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {9 {}} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

Điều đầu tiên chúng ta cần học là phân bổ các ô vuông chính xác trong các biểu thức ban đầu và độ cao hơn, trên cơ sở mà sau đó chúng ta có thể áp dụng các công thức. Hãy xem:

\ [9 {{y} ^ {4}} = {3}} = {} cdot {{y} ^ {4}} = {{3}} {2}} \ cdot {{\ left ({ {y} ^ {2}} \ phải)} ^ {2}} = {{\ left (3 {y} ^ {2}} \ phải)} ^ {2}} \]

\ [16 {x} ^ {2}} = {2}} = {2} ^ {4}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ left ({{2} ^ {2}} \ right)} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ left ({{2} ^ {2}} \ CDOT X \ RIÊ)} ^ {2} } = {{\ left (4 {{x} ^ {2}} \ phải)} ^ {2}} \]

Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi có tính đến những sự thật này:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{{\ left (3 {y} ^ {2} \ right)} ^ {2}} - {{\ left (4x \ phải )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {\ Left (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ phải) \ trái (3 {{ y} ^ ^ ^} + 2}} + 4x \ right)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

Trả lời: $ \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Nhiệm vụ số 2.

Đi đến nhiệm vụ thứ hai:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5XY-6 {{y} ^ {2}}} \]

Không có gì để đơn giản hóa ở đây, bởi vì có một hằng số trong tử số, nhưng tôi đã đề xuất tác vụ này để được học để đặt đa thức có chứa hai biến trên số nhân. Nếu thay vào đó nó được viết dưới đa thức, làm thế nào chúng ta sẽ phân hủy nó?

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ trái (x -... \ phải) \ trái (x -... \ phải) \]

Chúng ta hãy giải phương trình và tìm $ X $ mà chúng ta có thể đặt thay vì điểm:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ cdot \ trái (-6 \ phải) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Chúng ta có thể viết lại ba mảnh như sau:

\ [{{x} ^ {2}} + 5XY-6 {{Y} ^ {2}} = \ Left (x-1 \ phải) \ trái (x + 6 \ phải) \]

Với một Triple vuông, chúng tôi đã học cách làm việc - cho việc này và cần phải ghi lại video hướng dẫn này. Và nếu, ngoại trừ $ x $ và có một hằng số $ y $ khác? Chúng ta hãy nhìn họ như một yếu tố khác của các hệ số, tức là. Hãy viết lại biểu thức của chúng tôi như sau:

\ [{x {x} ^ {2}} + 5Y \ CDOT X-6 {{{y} ^ {2}} \]

\ [a = 1; b = 5y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [{{{\ Left (5y \ right)}} {2}} - 4 \ cdot \ trái (-6 {{y} ^ {2}} \ right) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6y \]

Viết phân hủy thiết kế vuông của chúng tôi:

\ [\ left (x-y \ phải) \ trái (x + 6y \ phải) \]

Tổng cộng nếu chúng ta quay lại biểu thức ban đầu và viết lại nó, có tính đến các thay đổi, sau đó chúng tôi có được các cách sau:

\ [\ Frac {8} {\ left (x-y \ right) \ trái (x + 6y \ phải)} \]

Kỷ lục này cung cấp cho chúng ta những gì? Không có gì, bởi vì nó không cắt nó, nó không nhân lên và không chia hết. Tuy nhiên, ngay khi phân số này hóa ra là một phần không thể thiếu trong một biểu thức phức tạp hơn, thì sự phân rã như vậy là bằng cách này. Do đó, ngay khi bạn nhìn thấy một bộ ba vuông (không thành vấn đề, nó sẽ bị trầm trọng hơn bởi các tham số bổ sung hoặc không), luôn cố gắng phân hủy nó trên số nhân.

Giải pháp nuance.

Hãy nhớ các quy tắc chính để chuyển đổi các biểu thức Rational:

  • Tất cả các mẫu số và chữ số phải được đặt trên hệ số nhân hoặc thông qua các công thức phép nhân viết tắt, hoặc thông qua sự phân biệt đối xử.
  • Nó là cần thiết để làm việc theo thuật toán này: Khi chúng ta nhìn và cố gắng làm nổi bật công thức của phép nhân viết tắt, thì, trước hết, cố gắng dịch mọi thứ đến mức độ tối đa có thể. Sau đó, chúng tôi lấy ra một mức độ chung cho dấu ngoặc.
  • Biểu thức với tham số sẽ được tìm thấy rất thường xuyên: Các biến khác sẽ xảy ra dưới dạng hệ số. Chúng tôi tìm thấy chúng theo công thức phân rã vuông.

Do đó, ngay khi bạn thấy các phân số hợp lý, điều đầu tiên cần làm là phân hủy và tử số và mẫu số cho số nhân (trên các biểu thức tuyến tính), trong khi chúng ta sử dụng các công thức của phép nhân hoặc phân biệt phân biệt.

Chúng ta hãy nhìn vào một vài biểu thức hợp lý như vậy và cố gắng phân hủy chúng trên số nhân.

Giải quyết các ví dụ phức tạp hơn

Nhiệm vụ số 1.

\ [\ Frac {4 {{x} ^ {2}} - 6XY + 9 {{y} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ frac {9 {{y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Chúng tôi viết lại và cố gắng phân tách từng điều khoản:

\ [4 {{x} ^ {2}} = {2}} = {} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ left (2x \ right)}} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ cdot 3 \ cdot x \ cdot y = 2x \ cdot 3y \]

\ [9 {{y} ^ {2}} = {3}} = {} cdot {{y} ^ {2}} = {{\ left (3y \ right)} ^ {2}} \]

\ [8 {x} ^ {3}} = {2}} = {} cdot {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ left (2x \ right)}} ^ { 3}} \]

\ [27 {}} ^ {3}} = {3}} = {} cdot {{y} ^ {3}} = {{\ left (3y \ right)}} {3}} \]

Hãy viết lại tất cả các biểu thức hợp lý của chúng tôi với những sự thật này:

\ [\ Frac {{{\ left (2x \ right)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ Left (3y \ right)} ^ {2}}} {2x-3y} \ CDOT \ Frac {{{\ left (3y \ right)} ^ {2}} - {{\ left (2x \ right)} ^ {2}}} {{{\ Left (2x \ right)} ^ {3}} + {{\ left (3y \ right)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ left (2x \ right)}} {2}} - 2x \ cdot 3y + {{{\ Left (3y \ right)} ^ {2}}} {2x-3y} \ CDOT \ Frac {\ left (3y-2x \ right) \ left (3y + 2x \ right)} {\ trái (2x + 3y \ phải) \ trái ({{\ left (2x \ right) ^ {2}} - 2x \ Cdot 3y + {{{\ left (3y \ right)} ^ {2}} \ phải)} = - 1 \]

Trả lời: $ -1 $.

Nhiệm vụ số 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {} {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{} {2}} + 4-4x} \ Cdot \ frac {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

Hãy xem xét tất cả các phân số.

Ngày thứ nhất:

\ [3-6x = 3 \ trái (1-2x \ phải) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Phải) \]

Thứ hai:

\ [{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{{{^ {2}} = {{\ Left (x-2 \ right)} ^ {2}} \]

Ngày thứ ba:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ trái (2-x \ phải) \ trái ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ phải) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\ Left (2x \ right)}} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ trái (2x-1 \ phải) \ trái (2x + 1 \ phải) \]

Chúng tôi viết lại toàn bộ thiết kế, có tính đến các thay đổi tài khoản:

\ [\ Frac {3 \ left (1-2x \ right)} {2 \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Phải)} \ CDOT \ frac {2x + 1} {{{\ left (x-2 \ right)} ^ {2}}} \ cdot \ frac {\ left (2-x \ phải) \ trái ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ right)} {\ bên trái (2x-1 \ phải) \ trái (2x + 1 \ right)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ left (-1 \ right)} {2 \ cdot \ trái (x-2 \ right) \ cdot \ trái (-1 \ right)} = \ frac {3} {2 \ trái (x-2 \ phải)} \]

Trả lời: $ \ frac {3} {2 \ left (x-2 \ right)} $.

Giải pháp nuance.

Vì vậy, những gì chúng ta vừa học được:

  • Không phải mỗi bộ ba vuông giảm đến số nhân, đặc biệt, điều này đề cập đến một hình vuông không đầy đủ của số lượng hoặc sự khác biệt, rất thường được tìm thấy như một phần của khối lượng của số lượng hoặc sự khác biệt.
  • Hằng số, tức là Các số thông thường không có các biến với chúng cũng có thể hoạt động như các phần tử đang hoạt động trong quy trình phân hủy. Đầu tiên, chúng có thể được lấy ra khỏi ngoặc, thứ hai, các hằng số có thể được trình bày dưới dạng độ.
  • Rất thường xuyên, sau khi phân hủy tất cả các yếu tố trên bội số, các cấu trúc đối diện phát sinh. Giảm các phân số này cần phải cực kỳ gọn gàng, bởi vì với việc ép xung hoặc từ phía trên, hoặc có thêm một khoản nhân tăng thêm $ -1 $ - đây là hậu quả của những gì chúng đối lập.

Giải pháp của các nhiệm vụ phức tạp

\ [\ Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{b} ^ {3}}} {{2} {2}} - 4}: \ frac {9 {{a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{b} ^ {2}}} {{} {2}} + 4b + 4} \]

Xem xét từng thuật ngữ riêng biệt.

Phân số đầu tiên:

\ [27 {{a} ^ {3}} = {3} ^ {3}} \ cdot {{a} ^ {3}} = {\ \ left (3a \ phải)}} {3}} \ Của

\ [64 {}} ^ {3}} = {2}} = {2} ^ {6}} \ cdot {{b} ^ {3}} = {{\ left ({{2} ^ {2}} \ phải)}} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3}} = {{\ left ({{2} ^ {2}} \ cdot b \ phải) } ^ {3}} = {{\ trái (4b \ right)} ^ {3}} \]

\ [{\ left (3a \ right)}} {3}} - {{\ left (4b \ right)} ^ {3}} = \ bên trái (3a-4b \ phải) \ trái ({{\ left (3a \ right)}} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ Left (4b \ right)} ^ {2}} \ Phải) \]

\ [{{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ trái (B-2 \ phải) \ trái (B + 2 \ phải) \]

Thứ hai:

\ [9 {a} ^ {2}} = {{3}} = {} cdot {{a} ^ {2}} = {{\ left (3a \ phải)} ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ {2}} = {4}} = {} \ cdot {{2}} = {{\ trái (4b \ right)}} ^ {2}} \]

\ [12AB = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Toàn bộ tử số của phần thứ hai, chúng ta có thể viết lại như sau:

\ [{\ left (3a \ right)}} {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ Left (4b \ right)} ^ {2}} \]

Bây giờ hãy nhìn vào mẫu số:

\ [{{b} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ cdot 2b + {{} ^ {2}} = {{\ Left (B + 2 \ phải)} ^ {2}} \]

Hãy viết lại một biểu thức Rational, có tính đến các sự kiện trên:

\ [\ Frac {\ left) \ left ({\ left (3a \ right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ Left (4b \ right)} ^ {2}} \ Phải) } {\ Bên trái (B-2 \ phải) \ Left (B + 2 \ right)} \ cdot \ frac {{{\ Left (B + 2 \ phải)} ^ {2}}} {{{\ Left ( 3a \ right)}} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ Left (4b \ right)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ Left) \ Left (B + 2 \ right)} {\ Left (B-2 \ phải)} \]

Trả lời: $ \ frac {\ Left (3A-4B \ RIFE) \ Left (B + 2 \ RIFE)} {\ Left (B-2 \ Right)} $.

Giải pháp nuance.

Khi chúng ta một lần nữa thuyết phục, các ô vuông không đầy đủ của số lượng hoặc hình vuông không đầy đủ của sự khác biệt, thường được tìm thấy trong các biểu thức Real Rational, nhưng đừng sợ chúng, bởi vì sau khi chuyển đổi từng yếu tố, chúng hầu như luôn luôn giảm. Ngoài ra, trong mọi trường hợp không nên sợ các thiết kế lớn trong tổng số câu trả lời - hoàn toàn có khả năng đây không phải là lỗi của bạn (đặc biệt nếu mọi thứ được đặt cho số nhân) và tác giả này được hình thành một câu trả lời như vậy.

Tóm lại, tôi muốn tháo rời một ví dụ phức tạp khác, không còn thuộc về các phân số hợp lý, nhưng nó chứa tất cả những gì đang chờ bạn trong các bài kiểm tra và kiểm tra này, cụ thể là: Phân hủy các số nhân, mang đến một mẫu số chung, a giảm các điều khoản như vậy. Đó chính xác là những gì chúng ta sẽ đi bây giờ.

Giải quyết một nhiệm vụ khó để đơn giản hóa và chuyển đổi các biểu thức Rational

\ [\ Left (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{} {}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ right) \ cdot \ trái (\ frac {{{x} ^ {2}}} {{{x}} {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ phải) \]

Đầu tiên, hãy xem xét và tiết lộ khung đầu tiên: chúng ta thấy ba phân số riêng biệt với các mẫu số khác nhau để điều đầu tiên chúng ta cần làm là mang cả ba phân số vào mẫu số chung, và đối với điều này, mỗi trong số chúng phải được phân hủy trên số nhân:

\ [{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}} \]

\ [{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ trái (x-2 \ phải) \ trái ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ phải) \]

Chúng tôi viết lại toàn bộ thiết kế của chúng tôi như sau:

\ [\ Frac {x} {{{x}} {2}} + 2} ^ {2}}} + \ frac {{{x} ^ {2}} ^ {2}} + 8} {\ left ( x -2 \ phải) \ trái ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ phải)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ left (x-2 \ right) + {{x} ^ {3}} + 8- \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ phải)}} {\ left (x-2 \ phải) \ trái ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ phải)} = \]

\ [= \ frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ Left (x- 2 \ phải) \ trái ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ right)} = \ frac {{2}} - 4x-4} {\ Bên trái (x-2 \ phải) \ trái ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ phải)} = \]

\ [= \ Frac {{\ left (x-2 \ right)} ^ {2}}} {\ trái (x-2 \ phải) \ trái ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ ^ ^ {2}} \ right)} = \ frac {x-2} {{} {2}} + 2x + 4} \]

Đây là kết quả của tính toán từ khung đầu tiên.

Chúng tôi hiểu với khung thứ hai:

\ [{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ trái (x-2 \ phải) \ trái (x + 2 \ ĐÚNG) \]

Chúng tôi viết lại khung thứ hai với những thay đổi:

\ [\ Frac {{{x} ^ {2}}} {\ trái (x-2 \ phải) \ trái (x + 2 \ phải)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ left (x + 2 \ right)} {\ trái (x-2 \ phải) \ trái (x + 2 \ phải)} = \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ left (x-2 \ phải) \ trái (x + 2 \ phải)} \]

Bây giờ viết toàn bộ thiết kế nguồn:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{2}} ^ {2}} + 2x + 4} {\ Left (X-2 \ Phải) \ trái (x + 2 \ right)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Trả lời: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Giải pháp nuance.

Như bạn có thể thấy, câu trả lời hóa ra khá lành mạnh. Tuy nhiên, lưu ý: rất thường xuyên, với các tính toán quy mô lớn như vậy, khi biến duy nhất chỉ có trong mẫu số, các sinh viên quên rằng đây là mẫu số và anh ta nên đã đứng ở lượt truy cập vào lúc đó và viết biểu thức này vào một số là một sai lầm gộp.

Ngoài ra, tôi muốn thu hút sự chú ý đặc biệt của bạn về cách thực hiện các nhiệm vụ như vậy. Trong mọi tính toán phức tạp, tất cả các bước được thực hiện trên các hành động: Đầu tiên, chúng tôi xem xét riêng, sau đó chúng tôi kết hợp riêng biệt và chỉ ở cuối, chúng tôi kết hợp tất cả các phần và xem xét kết quả. Do đó, chúng tôi bảo đảm bản thân khỏi những lỗi ngu ngốc, cẩn thận viết ra tất cả các tính toán và đồng thời không dành thêm thời gian, vì nó có vẻ thoạt nhìn.

Đến các cuộc họp mới!

Xem thêm:

  1. Làm thế nào để giảm bớt các phân số hợp lý mà không có lỗi? Một thuật toán đơn giản về ví dụ về năm nhiệm vụ khác nhau.
  2. Biểu thức hợp lý phân đoạn
  3. Làm thế nào để vượt qua kỳ thi trong toán học
  4. Thử nghiệm EGE 2012. Tùy chọn 12 (không có logarit)
  5. Phương pháp khoảng thời gian: Trường hợp bất bình đẳng đáng kinh ngạc
  6. Kiểm tra các vấn đề B14: Cấp độ dễ dàng, 1 tùy chọn

Bình luận giáo viên

Bài học: Chuyển đổi biểu thức Rational

Nhớ lại đầu tiên xác định biểu thức hợp lý.

Sự định nghĩa. Hợp lý Biểu hiện - Biểu thức đại số không chứa rễ và chỉ bao gồm các hành động của việc bổ sung, phép trừ, nhân và chia (cương cứng).

Theo khái niệm "chuyển đổi biểu thức hợp lý", chúng tôi có nghĩa là, trên hết, sự đơn giản hóa của nó. Và điều này được thực hiện trong thủ tục được chúng tôi biết: hành động đầu tiên trong ngoặc, sau đó Công việc của những con số (Ói ở mức độ), phân chia số, sau đó bổ sung / phép trừ.

Mục đích chính của bài học ngày nay sẽ là việc mua lại kinh nghiệm trong việc giải quyết các nhiệm vụ phức tạp hơn để đơn giản hóa các biểu thức Rational.

Ví dụ 1. Đơn giản hóa biểu thức hợp lý .

Quyết định. Lúc đầu, có vẻ như các phân số được chỉ định có thể giảm, vì các biểu thức trong các phân số rất giống với các công thức của các ô vuông đầy đủ của các máng sản tương ứng. Trong trường hợp này, điều quan trọng là không vội vàng, nhưng kiểm tra riêng nếu nó là.

Kiểm tra tử số của phần đầu tiên: . Bây giờ tử số là thứ hai: .

Như có thể thấy, những kỳ vọng của chúng tôi không được chứng minh, và các biểu thức trong tử số không hoàn thành hình vuông, vì họ không tăng gấp đôi công việc. Các biểu thức như vậy, nếu chúng ta nhớ lại lớp 7, được gọi là hình vuông không đầy đủ. Nó sẽ rất chú ý trong những trường hợp như vậy, vì sự nhầm lẫn của một công thức vuông hoàn chỉnh với không đầy đủ là một lỗi rất phổ biến và các ví dụ như vậy kiểm tra sự chu đáo của học sinh.

Vì việc giảm là không thể, thì chúng tôi sẽ thực hiện việc bổ sung các phân số. Các mẫu số không có yếu tố phổ biến, vì vậy chúng chỉ đơn giản là thay đổi để có được mẫu số chung nhỏ nhất và một yếu tố bổ sung cho mỗi phần là mẫu số của một phần khác.

 

Tất nhiên, sau đó bạn có thể tiết lộ dấu ngoặc và sau đó mang lại các thuật ngữ tương tự, tuy nhiên, trong trường hợp này, bạn có thể thực hiện một cường độ sau và lưu ý rằng trong tử số, thuật ngữ đầu tiên là công thức của tổng số khối và thứ hai là sự khác biệt của khối . Để thuận tiện, hãy để chúng tôi nhớ lại các công thức này ở dạng chung:

 и .

Trong trường hợp của chúng tôi, biểu thức trong tử số bị sập như sau:

Biểu thức thứ hai là tương tự nhau. Chúng ta có:

.

Trả lời. .

Ví dụ 2. Đơn giản hóa biểu thức hợp lý .

Quyết định. Ví dụ này tương tự như trước đó, nhưng ngay từ đây, nó được nhìn thấy ở đây mà các ô vuông không đầy đủ nằm trong Frau, do đó giảm ở giai đoạn ban đầu của các giải pháp là không thể. Tương tự như ví dụ trước, chúng tôi gấp phân số:

Ở đây chúng tôi tương tự như phương pháp được chỉ định ở trên, được chú ý và các biểu thức cuộn tròn bởi các công thức của số lượng và sự khác biệt của khối.

Trả lời. .

Ví dụ 3. Đơn giản hóa biểu thức hợp lý .

Quyết định. Có thể lưu ý rằng mẫu số phân số thứ hai bị phân hủy trên các yếu tố theo công thức của các khối. Như chúng ta đã biết, việc phân hủy các mẫu số trên các yếu tố là hữu ích để tìm kiếm thêm cho các mẫu số chung nhỏ nhất.

.

Chúng tôi chỉ ra mẫu số tổng thể nhỏ nhất của các phân số, nó bằng nhau: , vì nó được chia thành một mẫu số của phần thứ ba, và biểu thức đầu tiên nói chung là toàn bộ và bất kỳ mẫu số nào phù hợp với nó. Cho biết các lỗi bổ sung rõ ràng, viết:

.

Trả lời.

Xem xét một ví dụ phức tạp hơn với các phân đoạn "nhiều tầng".

Ví dụ 4. Chứng minh bản sắc Với tất cả các giá trị cho phép của biến.

Bằng chứng. Để chứng minh danh tính được chỉ định, chúng tôi sẽ cố gắng đơn giản hóa phần bên trái của nó (phức tạp) cho các loài đơn giản được yêu cầu của chúng tôi. Để thực hiện việc này, hãy thực hiện tất cả các bước có phân số trong tử số và mẫu số, sau đó chia phần và đơn giản hóa kết quả.

. Đã chứng minh cho tất cả các giá trị hợp lệ của biến.

Đã chứng minh.

Nguồn trừu tượng: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-eperacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/prebrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13.

Nguồn video: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Các thuộc tính của việc bổ sung, phép trừ, nhân và chia là hữu ích trong đó cho phép bạn biến đổi tổng và hoạt động trong các biểu thức thuận tiện để tính toán. Tìm hiểu cách sử dụng các thuộc tính này Đơn giản hóa các biểu thức .

Tính số tiền:

52 + 287 + 48 + 13 =

Trong biểu thức này có các số, khi số "vòng" là bổ sung. Nhận thấy điều này, thật dễ dàng để tính toán bằng miệng. Chúng tôi sử dụng sự đánh giá lại của tiến trình.

Đơn giản hóa lượng chuyển động

Ngoài ra để đơn giản hóa việc tính toán các công trình, bạn có thể sử dụng hành động chuyển động của phép nhân.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Các tính chất kết hợp và di chuyển được sử dụng và Đơn giản hóa biểu thức chữ cái .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12a
  • 2 · A · 4 · B = 2 · 4 · A · B = 8AB
  • 5b + 8b = (5 + 8) · B = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · Y = 2Y

Luật phân phối của phép nhân thường được sử dụng để đơn giản hóa các tính toán.

Phân phối Luật nhânNhân luật phân phối nhân lên so với trừ

Áp dụng thuộc tính phân phối của phép nhân liên quan đến việc bổ sung hoặc phép trừ vào biểu thức " (A + B) · C và (A - B) · C Chúng tôi nhận được một biểu thức không chứa dấu ngoặc.

Trong trường hợp này, họ nói rằng chúng ta Tiết lộ (hạ thấp) dấu ngoặc . Để sử dụng các thuộc tính không quan trọng khi số nhân được ghi lại " c"- Trước dấu ngoặc hoặc sau.

Nhớ lại dấu ngoặc trong biểu thức.

  • 2 (T + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Nhớ lại! !

Nếu chữ cái không được ghi trong trường hợp, nên hiểu rằng có một yếu tố số trước chữ cái 1.

Hệ số nhân cho ngoặc

Chúng tôi thay đổi phần bên phải và bên trái của sự bình đẳng:

(A + B) C = AC + BC

Chúng tôi nhận được:

Ac + bc = (a + b) với

Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng từ " AC + BC. » Hệ số nhân phổ biến đã được thực hiện «с"Đối với dấu ngoặc.

Ví dụ về một yếu tố chung cho dấu ngoặc.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - X - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий