Pagpapadali ng mga expression

Pagpapadali ng mga expression

Ang isa sa mga pinaka-karaniwang gawain sa algebra ay katulad nito: "Pasimplehin ang pananalita". Magagawa ito gamit ang isa sa mga sumusunod na diskarte, ngunit kadalasan ay kailangan mong pagsamahin ang mga ito.

Nagdadala ng mga katulad na termino.

Ito ang pinakamadaling reception. Katulad Ang mga ito ay tinatawag na mga tuntunin na may parehong alpabetikong bahagi. Halimbawa, tulad ng mga expression 5. аat -6 а; -3. Hu. at 3. Wow. ; 2 at 10. So. Maaari mo lamang tiklop ang mga katulad na bahagi; Kung ang literal na bahagi ng mga bahagi ay naiiba, ang mga sangkap na ito ay imposible. Sumang-ayon, kung sa aking buhay ay magdaragdag kami ng mga mansanas na may mga kuko, pagkatapos ay magkakaroon kami ng ilang uri ng laro) sa matematika sa parehong paraan.

Halimbawa, pinapasimple ang gayong pagpapahayag:

Katulad na mga termino ako ay maglaan ng iba't ibang kulay at kalkulahin. Sa pamamagitan ng paraan, ang pag-sign bago ang termino ay tumutukoy sa term na ito.

Tulad ng nakikita mo, hindi na kaysa sa parehong mga bahagi ng Alphabone. Ang pagpapahayag ay pinasimple.

Pagpaparami ng single-wing at polynomials.

Hindi ako magtatalo - maaari mong i-multiply ang mga numero. At kung ang mga titik, degree, bracket ay nagdaragdag sa kanila?

Monomial. - Ito ay isang expression na binubuo ng isang produkto ng mga numero, mga titik, degrees, at ito ay kinakailangang maging lahat ng karapatan. Nakakagulat, ang numero 5 lamang ay hindi rin umalis, pati na rin ang isang nag-iisang variable х.

Sa pagpaparami ng mga single-panel gamitin ang mga patakaran ng pagpaparami ng mga degree.

Ilipat ang tatlong UNOBLAYS:

Iba't ibang mga kulay ang maglaan ng aking multiply.

Polinomyal. - Ito ang kabuuan ng one-wing.

Upang multiply ang expression sa polynomials sa likod ng mga bracket upang multiply sa bawat tao sa bracket. Mga detalye sa sumusunod na halimbawa.

Nananatili itong isipin ang pagpaparami ng polinomyal sa polinomyal. Sa pamamagitan nito, kinakailangan upang multiply ang bawat isa sa unang mga bracket sa bawat tao sa unang mga bracket, ang mga resulta fold o deduct depende sa mga palatandaan ng mga tuntunin.

Paggawa ng isang karaniwang kadahilanan para sa mga braket.

Mauunawaan natin ang halimbawa.

Ang pagpapahayag na ito ay ibinigay:

Ano ang karaniwan sa dalawang terminong ito? Iyan ay tama, mayroong isang multiplier sa pareho ng mga ito. x. Siya ay magiging isang pangkalahatang kadahilanan na kailangang alisin.

Kumuha ng isa pang halimbawa.

Ang parehong mga numero sa mga sangkap ay nahahati sa 2, pagkatapos ay ang numero 2 ay isang karaniwang kadahilanan. Ngunit pa rin sa mga homoral na ito ay may parehong titik Ngunit - Isa sa unang antas, ang iba pa - sa pangalawa. Kinukuha namin ito sa isang mas maliit na lawak, i.e. Sa una, ito ang ikalawang karaniwang kadahilanan. Sa pangkalahatan, ito ay magiging isang rekord:

Well, hayaan ang ikatlong halimbawa, lamang nang walang komento.

Maaari mong suriin ang katumpakan ng pangkalahatang kadahilanan para sa mga braket sa pamamagitan ng pagsisiwalat ng mga bracket (pagpaparami).

Agnas ng polynomials sa multipliers ng paraan ng pagpapangkat.

Kung kailangan mong mabulok ang isang polinomyal sa mga multiplier, ang paraan ng pagpapangkat ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo.

Posible sa mga expression ng grupo lamang sa pamamagitan ng paggawa ng mga pangkalahatang mga kadahilanan sa bawat bracket. Ngunit ito ay kinakailangan upang gawin ito upang ang mga bracket ay sa wakas ay gagana ang parehong. Para saan? Oo, kung gayon, upang gawin ang mga braket na ito para sa iba pang mga bracket.

Ang halimbawa ay magiging mas malinaw)

Kumuha ako ng isang halimbawa ang pinakasimpleng, malinis upang maunawaan kung ano ang dapat gawin.

Sa unang dalawang termino, ang karaniwang kadahilanan ay ang variable а: Isinasagawa namin ito para sa bracket. Sa ikalawang dalawang termino, ang kabuuang kadahilanan ay ang numero 6. Ito ay dinala para sa mga braket.

Nakakita ka ba ng dalawang magkatulad na mga bracket? Ngayon sila ay isang karaniwang kadahilanan. Tinitiis namin ang mga ito sa likod ng bracket at makakuha ng isang cute na produkto ng dalawang bracket:

Ang agnas ng parisukat ay tatlong desisyon sa mga multiplier.

Hayaan ang parisukat na tatlong-shreddance:

Upang mabulok ito sa mga multiplier kinakailangan upang malutas ang parisukat na equation

Susunod na Roots equation. х1 и х2Kapalit sa sumusunod na formula:

Sinusubukan namin.

Kunin ang tatlong lipas na ito:

Hanapin ang mga ugat ng square equation.

Pinapalitan namin sila sa pormula para sa agnas ng parisukat na tatlong agnas ng mga multiplier:

Isang bagay na masyadong maraming minuses sa ikalawang bracket. Bahagyang i-convert ito:

Ngayon kahanga-hanga)

Maaari ka pa ring magamit:

- Kakayahang magtrabaho sa mga ordinaryong fractions;

- Kakayahang i-cut ang fraction;

- Kaalaman ng mga formula ng dinaglat na multiplikasyon.

Ngunit ang ganitong mga gawain ay maaaring makilala ka sa pagsusulit.

1) Pasimplehin:

Ang solusyon dito.

2) Hanapin ang halaga ng expression sa tinukoy na mga halaga ng mga variable:

Ang solusyon dito.

3) Hanapin ang halaga ng pagpapahayag sa tinukoy na mga halaga ng mga variable:

Ang solusyon dito.

Mayroong maraming mga katulad na gawain - hindi sila magkasya sa lahat ng ito)

May mga tanong? Isulat mo ako!

Ang iyong personal na guro.

Karampatang pagbabago ng mga nakapangangatwiran na expression

Ang mga nakapangangatwiran na expression at fractions ay ang pundasyon ng buong kurso ng algebra. Ang mga natututong magtrabaho kasama ang mga ekspresyon, pasimplehin ang mga ito at mag-ipon sa mga multiplier, sa katunayan maaari nilang malutas ang anumang gawain, dahil ang pagbabagong-anyo ng mga expression ay isang mahalagang bahagi ng anumang seryosong equation, hindi pagkakapantay-pantay at kahit isang tekstuwal na gawain.

Sa video na ito, makikita natin kung paano kumperensyal na ilapat ang mga formula ng pinaikling pagpaparami upang gawing simple ang mga nakapangangatwiran na expression at mga fraction. Turuan na makita ang mga formula na ito kung saan, sa unang sulyap, walang anuman. Kasabay nito, inuulit natin ang isang simpleng pagtanggap, bilang agnas ng square triple sa multipliers sa pamamagitan ng diskriminasyon.

Tulad ng iyong nahulaan ang mga formula para sa aking likod, ngayon ay pag-aaralan namin ang mga formula ng pinaikling pagpaparami, at, mas tiyak, hindi ang mga formula mismo, ngunit ang kanilang paggamit upang gawing simple at mabawasan ang mga kumplikadong nakapangangatwiran na mga expression. Ngunit bago lumipat sa paglutas ng mga halimbawa, lumapit tayo sa mga formula o tandaan sila:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right) $ - ang pagkakaiba ng mga parisukat;
  2. $ {{\ left (a + b \ right)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2ab + {{{b ^ ^ {2}} $ - ang kabuuan ng halaga;
  3. $ {{\ left (a-b \ right)} ^ {2}} = {{a}} {}} - 2ab + {{b} ^ {2}} $ - ang parisukat ng pagkakaiba;
  4. $ {{a a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ left (a + b \ right) \ left ({{a} ^ {2}} - ab + {{b} ^ 2}} \ right) $ - ang halaga ng mga cube;
  5. $ {{a a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ left (ab \ right) \ left ({{a right) \ left ({{a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} \ Right) $ - ang pagkakaiba ng mga cube.

Gusto ko ring tandaan na ang aming sistema ng edukasyon sa paaralan ay nakaayos sa isang paraan na ito ay sa pag-aaral ng paksang ito, i.e. Ang nakapangangatwiran na mga expression, pati na rin ang mga ugat, ang mga module ng lahat ng mag-aaral ay lumitaw ang parehong problema na ipapaliwanag ko ngayon.

Ang katotohanan ay na sa simula ng pag-aaral ng mga formula ng mga dinaglat na pagpaparami at, naaayon, mga aksyon upang mabawasan ang mga praksiyon (ito ay sa isang lugar 8) mga guro sabihin ng isang bagay tulad ng sumusunod: "Kung ang isang bagay ay hindi maliwanag, pagkatapos ay hindi ka mag-alala, kami ay Ang paksang ito ay paulit-ulit pa rin, sa mga mataas na paaralan nang tumpak. Susuriin namin ito. " Well, pagkatapos ay sa pagliko ng 9-10 grado, ang parehong mga guro ipaliwanag ang parehong mga mag-aaral na hindi alam kung paano malutas ang makatwirang fractions, tungkol sa mga sumusunod: "Saan ka naging nakaraang dalawang taon? Ito ay pinag-aralan sa algebra sa grade 8! Ano ang hindi nauunawaan dito? Napakaganda nito! "

Gayunpaman, ang karaniwang mga disipulo mula sa gayong mga paliwanag ay hindi mas madali: mayroon silang parehong sinigang, at nanatili, kaya ngayon ay susuriin natin ang dalawang simpleng halimbawa, batay sa kung saan at tingnan natin kung paano sa tunay na mga gawain upang ilaan ang mga expression na iyon Humantong sa amin sa mga formula ng dinaglat na multiplikasyon at kung paano ilapat ito upang i-convert ang mga kumplikadong nakapangangatwiran na expression.

Pagbawas ng mga simpleng rational fractions.

Numero ng gawain 1.

\ \ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{}}} {9 {{} ^ {4} - 16 {{x} ^ {2}}}

Ang unang bagay na kailangan nating matutunan ay maglaan ng eksaktong mga parisukat sa mga unang expression at mas mataas na degree, batay sa kung saan maaari tayong mag-aplay ng mga formula. Tingnan natin:

\ [9 {{}} ^ {4}} = {{{3}} = {{{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {4}} = {{3}} {2}}}} {} {y} ^ {2}} \ right)} ^ {2}} = {{left (3 {y} ^ {2}} \ right)} ^ {2}}}

\ [16 {{x} {{2}} = {{2} {} = {{2} ^ {4}} {cdot {{x} ^ {2}} = {{\ left ({{2} ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ {2}} \ right)} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{left ({{2} ^ {2}}}} ^ ^ {2} } = {{\ left (4 {{x} ^ {2}} \ right)} ^ {2}}

Isulat natin ang ating pananalita na isinasaalang-alang ang mga katotohanang ito:

\ [Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{}}} {{{left (3 {y} ^ {2} \ right)} ^ {2}} - {{\ left (4x \ right )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {left (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ right) \ left (3 {{ y} ^ {2}} + 4x \ right)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x}

Sagot: $ \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Task number 2.

Pumunta sa ikalawang gawain:

\ [Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}}

Walang anuman upang gawing simple dito, dahil may isang pare-pareho sa numerator, ngunit iminungkahi ko ang gawaing ito upang matutunan na ilagay polynomials na naglalaman ng dalawang mga variable sa multiplier. Kung sa halip ito ay nakasulat sa ibaba ng polinomyal, paano namin mabulok ito?

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ left (x -... \ right) \ left (x -... \ right) \]

Let's lutasin ang equation at hanapin ang $ x $ na maaari naming ilagay sa halip ng mga puntos:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ cdot \ left (-6 \ right) = 25 + 24 = 49 \]

\ [sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Maaari naming muling isulat ang tatlong piraso tulad ng sumusunod:

\ [{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ left (x-1 \ right) \ left (x + 6 \ right) \]

Sa isang square triple, natutunan naming magtrabaho - para dito at kinakailangan upang i-record ang video tutorial na ito. At paano kung, maliban sa $ x $ at mayroong isa pang $ y $ constant? Tingnan natin ang mga ito bilang isa pang elemento ng coefficients, i.e. Isulat natin ang ating pagpapahayag tulad ng sumusunod:

\ [{{x} ^ {2}} + 5y \ cdot x-6 {{y} ^ {2}}}

\ [A = 1; b = 5y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ left (5y \ right)} ^ {2}} - 4 \ cdot \ left (-6 {{y ^ ^ {2}} \ right) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}}}

\ [sqrt {d} = 7y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6y \]

Isulat ang agnas ng aming parisukat na disenyo:

\ [\ left (x-y \ right) \ left (x + 6y \ right) \]

Kabuuang kung bumalik kami sa unang pagpapahayag at muling isulat ito, isinasaalang-alang ang mga pagbabago, pagkatapos ay makuha namin ang mga sumusunod:

\ [Frac {8} {\ left (x-y \ right) \ left (x + 6y \ right)} \]

Ano ang ibinibigay sa atin ng rekord na ito? Wala, dahil hindi ito pinutol, hindi ito multiply at hindi mahahati. Gayunpaman, sa lalong madaling ang fraction na ito ay nagiging isang mahalagang bahagi ng isang mas kumplikadong expression, tulad ng isang agnas ay lumalabas na sa pamamagitan ng paraan. Samakatuwid, sa lalong madaling makita mo ang isang square triple (hindi mahalaga, ito ay pinalubha ng mga karagdagang parameter o hindi), palaging subukan upang mabulok ito sa multiplier.

Nuances Solutions.

Tandaan ang mga pangunahing patakaran para sa pag-convert ng mga nakapangangatwiran na expression:

  • Ang lahat ng denominador at mga numerong ay dapat na inilatag sa mga multiplier o sa pamamagitan ng mga formula ng dinaglat na pagpaparami, o sa pamamagitan ng diskriminasyon.
  • Ito ay kinakailangan upang gumana ayon sa algorithm na ito: kapag tumingin kami at subukan upang i-highlight ang formula ng abbreviated multiplikasyon, pagkatapos, una sa lahat, sinusubukan upang isalin ang lahat sa maximum na posibleng antas. Pagkatapos nito, kumuha kami ng isang karaniwang antas para sa bracket.
  • Ang mga expression na may parameter ay masusumpungan nang madalas: Ang iba pang mga variable ay magaganap bilang mga coefficients. Nakikita namin ang mga ito ayon sa formula ng square decomposition.

Kaya, sa lalong madaling nakikita mo rational fractions, ang unang bagay na gawin ay mabulok at ang numerator, at ang denominador para sa multiplier (on linear expression), habang ginagamit namin ang mga formula ng dinaglat na pagpaparami o discriminant.

tumingin Natin Ito sa isang pares ng mga tulad nakapangangatwiran expression at subukan upang mabulok ang mga ito sa multiplier.

Paglutas ng mas kumplikadong halimbawa

Numero ng gawain 1.

\ [\ Frac {4 {{x} ^ {2}} - 6XY + 9 {{Y} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ frac {9 {{Y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Kami ay muling isulat at subukan upang mabulok bawat isa sa mga salitang ito:

\ [4 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ left (2x \ right)} ^ {2}} \]

\ [6XY = 2 \ CDOT 3 \ CDOT X \ CDOT Y = 2X \ CDOT 3y \]

\ [9 {{y} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {2}} = {{\ left (3y \ right)} ^ {2}} \]

\ [8 {{x} ^ {3}} = {{2}} = {} \ cdot {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ left (2x \ right)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y} ^ {3}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {3}} = {{\ left (3y \ right)} ^ {3}} \]

Sabihin muling isulat ang lahat ng aming nakapangangatwiran expression na may mga katotohanan:

\ [\ Frac {{{\ Kaliwa (2x \ right)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ Kaliwa (3y \ right)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ FRAC {{{\ left (3y \ right)} ^ {2}} - {{\ left (2x \ right)} ^ {2}}} {{{\ left (2x \ right)} ^ {3}} + {{\ left (3y \ right)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ left (2x \ right)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ Kaliwa (3y \ right)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ FRAC {\ kaliwa (3y-2X \ rIGHT) \ kaliwa (3y + 2X \ rIGHT)} {\ kaliwa (2x + 3y \ rIGHT) \ kaliwa ({{\ left (2x \ kanan) ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ left (3y \ rIGHT)} ^ {2}} \ right)} = - 1 \]

Sagot: $ -1 $.

Task number 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ CDOT \ frac {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

Sabihin isaalang-alang ang lahat ng mga fractions.

Una:

\ [3-6x = 3 \ Kaliwa (1-2X \ RIGHT) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right) \]

ikalawa:

\ [{{X} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ left (x-2 \ right)} ^ {2}} \]

Third:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ left (2-X \ RIGHT) \ kaliwa ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ right) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\ kaliwa (2X \ rIGHT)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ left (2x-1 \ right) \ kaliwa (2x + 1 \ right) \]

Kami ay muling isulat ang buong disenyo, nang isinasaalang pagbabago sa account:

\ [\ Frac {3 \ KALIWA (1-2X \ RIGHT)} {2 \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right)} \ cdot \ FRAC {2x + 1} {{{\ left (x-2 \ right)} ^ {2}}} \ cdot \ frac {\ left (2x \ right) \ kaliwa ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ right)} {\ Kaliwa (2x-1 \ right) \ Kaliwa (2x + 1 \ rIGHT)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ CDOT \ KALIWA (-1 \ RIGHT)} {2 \ CDOT \ KALIWA (X-2 \ RIGHT) \ CDOT \ KALIWA (-1 \ RIGHT)} = \ frac {3} {2 \ left (x-2 \ kanan)} \]

Sagot: $ \ frac {3} {2 \ Kaliwa (X-2 \ right)} $.

Nuances Solutions.

Kaya, ano lang namin natutunan:

  • Hindi lahat ng square triple Bumababa na multipliers, sa partikular, ito ay tumutukoy sa isang hindi kumpletong plaza ng halaga o pagkakaiba, na kung saan ay napakadalas natagpuan bilang bahagi ng mga cube ng halaga o pagkakaiba.
  • Constants, hal Maginoo mga numero na ay hindi magkaroon ng mga variable sa kanila ay maaari ding kumilos bilang aktibong elemento sa proseso ng agnas. Una, sila ay dadalhin sa labas ng bracket, ikalawa, ang mga constants kanilang mga sarili ay maaaring iniharap sa anyo ng degrees.
  • Very madalas, pagkatapos agnas ng lahat ng mga elemento sa multipliers, sa tapat istruktura lumabas. Pagbabawas ng mga fractions kailangang maging lubos na malinis at maayos, dahil sa mula sa overclocking alinman mula sa itaas, o may dagdag multiplier $ -1 $ - ito ay ang resulta ng kung ano ang mga ito ay kabaligtaran.

Solusyon ng mga komplikadong mga gawain

\ [\ Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{B} ^ {3}}} {{{b}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{a} ^ {2}} + 12ab + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4b + 4} \]

Isaalang-alang ang bawat termino hiwalay.

Unang Fraction:

\ [27 {{a a} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} \ cdot {{a a} ^ {3}} = {{\ left (3a \ right)} ^ {3}} ]

\ [64 {{b} ^ {3}} = {{2} {} = {{{2} {6}} {cdot {{b} ^ {3}} = {{\ left ({{2} ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ {2}} \ right)} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3 cdot {{b} {{3 cdot {{b} {{3}} = {{}} = {{{left ({} ^ {2}}} \ cdot b \ right) } ^ {3}} = {{\ left (4b \ right)} ^ {3}}}}

\ [{{\ left (3a \ right)} ^ {3}} - {{\ left (4b \ right)} ^ {3}} = \ left (3A-4B \ right) \ left ({{left (3a \ right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4b \ right)} ^ {2}} \ right) \]

\ [{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ left (b-2 \ right) \ left (b + 2 \ right) \]

ikalawa:

\ [9 {{a a} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{a} ^ {2}} = {{\ left (3a \ right)} ^ {2}}

\ [16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {{{4}} = {} \ cdot {{b} {{2}} = {{\ left (4b \ right)} ^ {2}}}

\ [12ab = 3 \ cdot 4ab = 3a \ cdot 4b \]

Ang buong numerator ng ikalawang bahagi na maaari naming muling isulat ang mga sumusunod:

\ [{{\ left (3a \ right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4b \ right)} ^ {2}}}

Ngayon tingnan natin ang denamineytor:

\ {{{b} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ cdot 2b + {{2} ^ {2}} = {{\ left (b + 2 \ kanan)} ^ {2}} \]

Isulat natin ang lahat ng makatuwirang pagpapahayag, isinasaalang-alang ang mga katotohanan sa itaas:

\ [Frac {\ left) \ left ({{left (3a \ right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4b \ right)} ^ {2}}}} } {\ Left (b-2 \ right) \ left (b + 2 \ right)} \ cdot \ frac {{{\ left (b + 2 \ right)} ^ {2}}} {{{left ( 3a \ right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4b \ right)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ left) \ left (b + 2 \ right)} {\ left (b-2 \ right)} \]

Sagot: $ \ frac {\ left (3A-4B \ right) \ left (b + 2 \ right)} {\ left (b-2 \ right)} $.

Nuances Solutions.

Tulad ng muli naming kumbinsido, hindi kumpleto ang mga parisukat ng halaga o hindi kumpleto na mga parisukat ng pagkakaiba, na madalas na matatagpuan sa tunay na nakapangangatwiran na mga expression, ngunit huwag matakot sa kanila, dahil pagkatapos ng pag-convert ng bawat elemento, halos palaging nabawasan ang mga ito. Bilang karagdagan, sa anumang kaso ay hindi dapat matakot ng mga malalaking disenyo sa kabuuang sagot - posible na hindi ito ang iyong error (lalo na kung ang lahat ay inilatag para sa mga multiplier), at ang may-akda na ito ay naglalarawan ng ganitong sagot.

Sa konklusyon, nais kong i-disassemble ang isa pang kumplikadong halimbawa, na hindi na nabibilang sa makatuwirang mga fraction, ngunit naglalaman ito ng lahat ng ito ay naghihintay para sa iyo sa mga kontrol at pagsusulit na ito, katulad ng: agnas ng mga multiplier, nagdadala sa isang karaniwang denamineytor, a pagbawas sa naturang mga termino. Iyan ay eksakto kung ano ang gagawin namin ngayon.

Paglutas ng isang mahirap na gawain para sa pagpapadali at conversion ng mga nakapangangatwiran na expression

\ [left (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ right) \ cdot \ left (\ frac {{{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ right) \]

Una, isaalang-alang at ibunyag ang unang bracket: Nakikita natin ang tatlong hiwalay na mga fraction na may iba't ibang denominador upang ang unang bagay na kailangan nating gawin ay dalhin ang lahat ng tatlong fraction sa isang karaniwang denominador, at para dito, ang bawat isa sa kanila ay dapat na decomposed sa multipliers:

\ [{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}}}

\ {{x} ^ {{{x} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} {2 \ right) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right) \]

Isulat namin ang aming buong disenyo tulad ng sumusunod:

\ \ \ Frac {x} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} + + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {\ left ( X -2 \ right) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right)} - ​​\ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ left (x-2 \ right) + {{x} ^ {3}} + 8- \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ right)} {\ left (x-2 \ right) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}}

\ [= \ frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ left (x- 2 \ right) \ left ({{} + 2x + {}}} + 2x + {}}} {2} \ right)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\}} {\}} {\}} {\} {}} {}} {}} {\}} {\ Kaliwa (X-2 \ right) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}}}}}}}}}}}}

\ [= \ Frac {{\ left (x-2 \ right)} ^ {2}}} {\ left (x-2 \ right) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ right)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4}}}

Ito ang resulta ng mga kalkulasyon mula sa unang bracket.

Nauunawaan namin ang ikalawang bracket:

\ [{{x} ^ {{}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2 \ right) \ left (x + 2 \ Kanan) \]

Isulat namin ang pangalawang bracket na may mga pagbabago:

\ [Frac {{{x} ^ {2}} {\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ left (x + 2 \ right)} {\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)} = \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)} \]

Isulat mo ngayon ang buong disenyo ng pinagmulan:

[\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ left (x-2 \ Right) \ left (x + 2 \ right)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Sagot: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Nuances Solutions.

Tulad ng makikita mo, ang sagot ay naging medyo maliwanag. Gayunpaman, tandaan: Madalas, na may tulad na malalaking kalkulasyon, kapag ang tanging variable ay lamang sa denamineytor, ang mga mag-aaral ay nakalimutan na ito ay ang denamineytor at dapat siya ay tumayo ang fraction sa noon at isulat ang expression na ito sa isang numerator - ito ay isang malaking pagkakamali.

Bilang karagdagan, nais kong iguhit ang iyong partikular na atensyon sa kung paano ginawa ang gayong mga gawain. Sa anumang kumplikadong kalkulasyon, ang lahat ng mga hakbang ay ginaganap sa mga aksyon: Una, isinasaalang-alang namin ito nang hiwalay, pagkatapos ay pagsamahin namin nang hiwalay at lamang sa dulo namin pagsamahin ang lahat ng bahagi at isaalang-alang ang resulta. Kaya, siguraduhin namin ang kanilang sarili mula sa mga nakababagod na mga pagkakamali, maingat na isulat ang lahat ng mga kalkulasyon at sa parehong oras ay hindi gumastos ng dagdag na oras, dahil maaaring mukhang sa unang sulyap.

Sa mga bagong pulong!

Tingnan din:

  1. Paano gumawa ng pagbawas sa nakapangangatwiran fractions nang walang mga error? Isang simpleng algorithm sa halimbawa ng limang magkakaibang gawain.
  2. Fractional rational expressions.
  3. Paano ipasa ang pagsusulit sa matematika
  4. Pagsubok EGE 2012. Pagpipilian 12 (Walang Logarithms)
  5. Pamamaraan ng agwat: ang kaso ng hindi kapani-paniwalang hindi pagkakapantay-pantay
  6. Pagsubok sa mga problema B14: Madaling antas, 1 pagpipilian

Puna guro

Aralin: Pagbabagong-anyo ng mga nakapangangatwiran na expression

Recalling unang pagtukoy ng nakapangangatwiran expression.

Kahulugan. Rational. Expression. - Algebraic expression na hindi naglalaman ng mga ugat at kabilang lamang ang mga aksyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at dibisyon (erection).

Sa ilalim ng konsepto ng "pag-convert ng isang makatuwiran na pananalita", ibig sabihin namin, higit sa lahat, ang pagpapadali nito. At ito ay isinasagawa sa pamamaraan na kilala sa amin: unang pagkilos sa mga braket, pagkatapos Trabaho ng mga numero (Erend sa degree), dibisyon ng mga numero, at pagkatapos karagdagan / pagbabawas.

Ang pangunahing layunin ng aralin sa araw na ito ay ang pagkuha ng karanasan sa paglutas ng mas kumplikadong mga gawain para sa pagpapasimple ng mga nakapangangatwiran na expression.

Halimbawa 1. Pasimplehin ang rational expression. .

Desisyon. Sa una, maaaring mukhang nabawasan ang tinukoy na mga fraction, dahil ang mga expression sa mga fraction ay katulad ng mga formula ng buong mga parisukat ng kaukulang denominante. Sa kasong ito, mahalaga na huwag magmadali, ngunit hiwalay na suriin kung ito ay.

Suriin ang numerator ng unang bahagi: . Ngayon ang numerator ay ang pangalawang: .

Tulad ng makikita, ang aming mga inaasahan ay hindi nabigyang-katwiran, at ang mga expression sa mga numerator ay hindi kumpleto na mga parisukat, dahil wala silang pagdoble ng trabaho. Ang mga naturang expression, kung naaalala natin ang grado 7, ay tinatawag na hindi kumpleto na mga parisukat. Dapat itong maging napaka-matulungin sa ganitong mga kaso, dahil ang pagkalito ng isang kumpletong square formula na may hindi kumpleto ay isang napaka-karaniwang error, at ang mga halimbawa ay suriin ang pagkaasikaso ng mag-aaral.

Dahil ang pagbabawas ay imposible, pagkatapos ay gagawa kami ng pagdaragdag ng mga fraction. Ang mga denominador ay walang karaniwang mga kadahilanan, kaya binabago lamang nila upang makuha ang pinakamaliit na karaniwang denamineytor, at isang karagdagang kadahilanan para sa bawat bahagi ay ang denominador ng isa pang bahagi.

 

Siyempre, maaari mong ihayag ang mga bracket at pagkatapos ay magdala ng mga katulad na termino, gayunpaman, sa kasong ito maaari mong gawin ang sumusunod na lakas at tandaan na sa numerator ang unang termino ay ang formula ng mga cube sum, at ang pangalawa ay ang pagkakaiba ng mga cube . Para sa kaginhawahan, ipaalam sa amin ang mga formula na ito sa pangkalahatang anyo:

 и .

Sa aming kaso, ang expression sa numerator ay collapsed bilang mga sumusunod:

Ang ikalawang pagpapahayag ay katulad. Meron kami:

.

Sagot. .

Halimbawa 2. Pasimplehin ang rational expression. .

Desisyon. Ang halimbawang ito ay katulad ng naunang isa, ngunit agad itong nakikita dito na ang mga hindi kumpletong parisukat ay matatagpuan sa mga Klase, samakatuwid ang pagbabawas sa unang yugto ng mga solusyon ay imposible. Katulad ng nakaraang halimbawa namin fold fractions:

Narito kami ay katulad ng paraan na tinukoy sa itaas, napansin at kulutin ang mga expression sa pamamagitan ng mga formula ng halaga at pagkakaiba ng mga cube.

Sagot. .

Halimbawa 3. Pasimplehin ang rational expression. .

Desisyon. Maaari itong mapansin na ang ikalawang fraction denominator ay decomposed sa mga kadahilanan sa pamamagitan ng formula ng mga cube. Tulad ng alam na namin, ang agnas ng mga denominador sa mga kadahilanan ay kapaki-pakinabang para sa karagdagang paghahanap para sa pinakamaliit na karaniwang denamineytor.

.

Ipinapahiwatig namin ang pinakamaliit na pangkalahatang denamineytor ng mga fraction, ito ay pantay: , Dahil ito ay nahahati sa isang denamineytor ng ikatlong bahagi, at ang unang expression ay karaniwang ang buong, at anumang denamineytor ay angkop para dito. Na nagpapahiwatig ng malinaw na karagdagang mga pagkakamali, isulat:

.

Sagot.

Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong halimbawa sa mga "multi-storey" na mga fraction.

Halimbawa 4. Patunayan ang pagkakakilanlan Na may lahat ng mga pinahihintulutang halaga ng variable.

Katunayan. Upang patunayan ang tinukoy na pagkakakilanlan, susubukan naming gawing simple ang kaliwang bahagi nito (kumplikado) sa mga simpleng species na kinakailangan sa amin. Upang gawin ito, gawin ang lahat ng mga hakbang na may mga fraction sa numerator at denamineytor, at pagkatapos ay hatiin ang fraction at pasimplehin ang resulta.

. Pinatunayan para sa lahat ng wastong mga halaga ng variable.

Pinatunayan.

Abstract Source: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-eperacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13.

Source ng Video: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq.

Ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at dibisyon ay kapaki-pakinabang sa na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang ibahin ang anyo sums at gumagana sa maginhawang expression para sa computing. Alamin kung paano gamitin ang mga katangian na ito Pasimplehin ang mga expression .

Kalkulahin ang halaga:

52 + 287 + 48 + 13 =

Sa expression na ito ay may mga numero, kapag ang "round" na mga numero ay karagdagan. Nakikita ito, madali itong kalkulahin. Ginagamit namin ang reassessment ng progreso.

Pasimplehin ang halaga ng paggalaw.

Gayundin upang gawing simple ang pagkalkula ng mga gawa, maaari mong gamitin ang pagkilos ng paggalaw ng multiplikasyon.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Ang mga kumbinyatiba at paglipat ng mga katangian ay ginagamit at Pasimplehin ang mga expression ng sulat .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12a
  • 2 · A · 4 · b = 2 · 4 · A · b = 8ab
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · y = 2y

Ang pamamahagi ng batas ng multiplikasyon ay kadalasang ginagamit upang gawing simple ang mga kalkulasyon.

Distribution Law Multiplication.Distribution law multiplication kaugnay sa pagbabawas

Paglalapat ng pamamahagi ng ari-arian ng pagpaparami na may kaugnayan sa karagdagan o pagbabawas sa pananalita " (A + b) · c at (a - b) · c "Nakukuha namin ang isang expression na hindi naglalaman ng mga bracket.

Sa kasong ito, sinasabi nila na kami nagsiwalat (binabaan) bracket. . Ang paggamit ng mga katangian ay hindi mahalaga kung saan ang multiplier ay naitala " c"- sa harap ng mga braket o pagkatapos.

Isipin ang mga braket sa mga expression.

  • 2 (t + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Tandaan! Labanan!

Kung ang sulat ay hindi naitala sa kaso, naiintindihan na mayroong isang numerical factor sa harap ng sulat 1.

Multiplier para sa mga bracket

Binabago namin ang kanan at kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

(A + b) c = ac + bc

Nakukuha namin:

Ac + bc = (a + b) na may

Sa ganitong mga kaso, sinasabi nila na mula sa " Ac + bc. » Ang karaniwang multiplier ay ginawa «с"Para sa mga braket.

Mga halimbawa ng pangkalahatang salik para sa mga braket.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий