Förenkling av uttryck

Förenkling av uttryck

En av de vanligaste uppgifterna i Algebra låter så här: "Förenkla uttrycket". Detta kan göras med hjälp av en av följande tekniker, men oftast måste du kombinera dem.

Med liknande villkor.

Detta är det enklaste mottagna. Liknande De kallas de termer som har samma alfabetiska del. Till exempel, såsom uttryck 5 аoch -6 а; -3. Hu. och 3. Wow ; 2 och 10. SO. Du kan bara vika de liknande komponenterna; Om den bokstavliga delen av komponenterna är annorlunda är sådana komponenter redan omöjliga. Enig, om i mitt liv kommer vi att lägga till äpplen med naglar, då kommer vi att ha något slags spel) i matematik på samma sätt.

Till exempel förenklar ett sådant uttryck:

Liknande termer jag kommer att fördela olika färger och beräkna. Förresten, tecknet före termen hänvisar till denna term.

Som du ser finns det inte längre än samma alfabetiska delar. Uttrycket förenklas.

Multiplikation av enkelvingar och polynomier.

Jag kommer inte att argumentera - du kan multiplicera siffrorna. Och om bokstäver, grader, parentes lägger till dem?

Monomial - Detta är ett uttryck som består av en produkt av siffror, bokstäver, grader, och det måste nödvändigtvis vara okej. Överraskande, bara nummer 5 är också orakad, liksom en ensamvariabel х.

Vid multiplikation av enstaka paneler använder reglerna för multiplikation av grader.

Flytta tre unoblays:

Olika färger fördelar vad jag kommer att multiplicera.

Polynom - Det här är summan av en-vinge.

Att multiplicera uttrycket på polynomerna bakom parenteserna för att multiplicera till varje person i parentes. Detaljer i följande exempel.

Det återstår att återkalla multiplikationen av polynomet till polynom. Med detta är det nödvändigt att multiplicera varje brunn i de första parenteserna till varje person i de första parenteserna, resultaten viks eller dras av beroende på tecken på villkoren.

Göra en gemensam faktor för parentes.

Vi kommer att förstå exemplet.

Detta uttryck ges:

Vad är vanligt för dessa två villkor? Det är rätt, det finns en multiplikator i båda. x. Han kommer att vara en allmän faktor som behöver tas ut.

Ta ett annat exempel.

Båda siffrorna i komponenterna är uppdelade i 2, då är numret 2 en vanlig faktor. Men fortfarande i dessa homoraler finns det samma brev men - En i första graden, den andra - i den andra. Vi tar det i mindre utsträckning, d.v.s. I det första blir det den andra vanliga faktorn. I allmänhet kommer det att visa sig en sådan post:

Tja, låt oss det tredje exemplet, bara utan kommentar.

Du kan kontrollera korrektheten av den allmänna faktorn för parentes genom att avslöja fästen (multiplikation).

Sönderdelning av polynomier på multiplikatorerna i grupperingsmetoden.

Om du behöver sönderdela ett polynom till multiplikatorer, kommer grupperingsmetoden att vara användbar för dig.

Det är möjligt att endast gruppera uttryck genom att göra allmänna faktorer per konsol. Men det är nödvändigt att göra det så att parenteserna så småningom kommer att fungera på samma sätt. Varför då? Ja, då för att göra dessa fästen för andra parentes.

Exemplet blir tydligare)

Jag tar ett exempel det enklaste, rena att förstå vad som ska göras.

Under de två första termerna är den gemensamma faktorn variabeln а: Vi bär det ut för konsolen. Under de andra två termerna är den totala faktorn nummer 6. Det utförs också för parentes.

Har du sett två identiska parentes? Nu är de en vanlig faktor. Vi uthärda dem bakom konsolen och få en söt produkt av två parentes:

Sänkandet av torget är tre beslut om multiplikatorer.

Låt torget tre-shreddance:

För att sönderdela det på multiplikatorer är det nödvändigt att lösa den kvadratiska ekvationen

Nästa rötter ekvation х1 и х2Ersätta följande formel:

Vi försöker.

Ta det här tre inaktuella:

Hitta rötterna på den kvadratiska ekvationen.

Vi ersätter dem i formeln för sönderdelning av torget tre sönderdelning av multiplikatorer:

Något för många minus i den andra konsolen. Omvandla det något:

Nu underbart)

Kan du fortfarande komma till nytta:

- Förmåga att arbeta med vanliga fraktioner;

- Förmåga att skära fraktionen;

- Kunskap om formlerna för förkortad multiplikation.

Men sådana uppgifter kan möta dig på tentamen.

1) Förenkla:

Lösningen här.

2) Hitta värdet av uttrycket vid angivna värden på variablerna:

Lösningen här.

3) Hitta värdet av uttrycket vid specificerade värden på variablerna:

Lösningen här.

Det finns många liknande uppgifter - de kommer inte att passa dem alla)

Har frågor? Skriv till mig!

Din personliga lärare.

Kompetent omvandling av rationella uttryck

Rationella uttryck och fraktioner är hörnstenen i hela Algebra. De som lär sig att arbeta med sådana uttryck, förenkla dem och lägga ut multiplikatorer, i själva verket kan de lösa någon uppgift, eftersom omvandlingen av uttryck är en integrerad del av allvarlig ekvation, ojämlikhet och till och med en textuppgift.

I den här videon kommer vi att se hur man kompetent tillämpar formlerna för den förkortade multiplikationen för att förenkla rationella uttryck och fraktioner. Lär dig att se dessa formler där det vid första anblicken inte finns något. Samtidigt upprepar vi en så enkel mottagning, som sönderdelning av torget Triple till multiplikatorer genom diskriminering.

När du antagligen gissade formlerna för min rygg, kommer vi idag att studera formlerna för förkortad multiplikation, och mer exakt inte formlerna själva, men deras användning för att förenkla och minska komplexa rationella uttryck. Men innan du byter till att lösa exempel, låt oss komma närmare dessa formler eller komma ihåg dem:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ vänster (a-b \ höger) \ vänster (a + b \ höger) $ - skillnaden i rutor;
  2. $ {{\ vänster (a + b}} = {{a}} = {{a}}} = {{a}} {2}} + 2AB + {{b} ^ {2}} $ - summan av beloppet;
  3. $ {{\ vänster (a-b \ höger)} ^ {2}}} {{a}} {2}} - 2AB + {{b} ^ {2}} $ - torget av skillnaden;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ vänster (a + b \ höger) \ vänster ({{a} ^ {2}} - ab + {{b} ^ 2}} \ höger) $ - mängden kuber;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ vänster (ab \ höger) \ vänster ({{a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} \ Höger) $ - skillnaden i kuber.

Jag skulle också vilja notera att vårt skolsystem för utbildning är ordnat på ett sådant sätt att det är med studien av detta ämne, d.v.s. Rationella uttryck, liksom rötterna, kommer modulerna för alla studenter att uppstå samma problem som jag kommer att förklara nu.

Faktum är att i början av att studera formlerna för förkortad multiplikation och därmed åtgärder för att minska fraktionerna (det här är någonstans klass 8) lärare säger något som följer: "Om något är oklart, oroa dig inte, vi är Detta ämne kommer fortfarande tillbaka upprepade gånger, i gymnasiet så exakt. Vi kommer att analysera det. " Tja, då i den 9-10: e klassens tur, förklarar samma lärare samma studenter som inte vet hur man löser rationella fraktioner, om följande: "Var har du varit de föregående två åren? Det studerades på algebra i klass 8! Vad kan det vara obehagligt här? Det är så uppenbart! "

De vanliga lärjungarna från sådana förklaringar är dock inte alls lättare: de har både gröt, och förblev, så just nu kommer vi att analysera två enkla exempel på grundval av vilka och låt oss se hur i riktiga uppgifter att fördela dessa uttryck som kommer att Leda oss till formlerna för förkortad multiplikation och hur man ansöker om att konvertera komplexa rationella uttryck.

Reducera enkla rationella fraktioner

Uppgiftsnummer 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} {9 {{y}} {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

Det första vi behöver lära oss är att allokera exakta rutor i de första uttrycken och högre grader, på grundval av vilka vi sedan kan använda formler. Låt oss ta en titt:

\ [4}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {4}} = {{3}} {2}} \ cdot {{\ vänster ({ {y} ^ {2}} \ höger)} ^ {2}} = {{\ vänster (3 {y} ^ {2}} \ höger)} ^ {2}} \]

\ [2}} = {{2}} = {{}} {4}} \ cdot {{x}} {2}} = {{\ vänster ({{2} ^ {2}} \ höger)} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ vänster ({{2} ^ {2}} \ cdot x \ höger)} ^ {2} } = {{\ vänster (4 {{x} ^ {2}} \ höger)} ^ {2}} \]

Låt oss skriva om vårt uttryck med beaktande av dessa fakta:

\ [\ Frac {4x + 3}}} {{{\ vänster (3 {y} ^ {2} \ höger)} ^ {2}} - {{\ vänster (4x \ höger )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {\ vänster (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ höger) \ vänster (3 {{{{} y} ^ {2}} + 4x \ höger)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

Svar: $ \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Uppgiftsnummer 2.

Gå till den andra uppgiften:

\ [\ Frac {8} {{{x} {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \]

Det finns inget att förenkla här, eftersom det finns en konstant i täljaren, men jag föreslog den här uppgiften för att kunna lära mig att sätta polynomier innehållande två variabler på multiplikatorer. Om det istället skrevs under polynom, hur skulle vi sönderdela det?

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ vänster (x -... \ höger) \ vänster (x -... \ höger) \]

Låt oss lösa ekvationen och hitta $ X $ som vi kan sätta istället för poäng:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ cdot \ vänster (-6 \ höger) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Vi kan skriva om tre stycken enligt följande:

\ [{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ vänster (x-1 \ höger) \ vänster (x + 6 \ höger) \]

Med en fyrkantig trippel lärde vi oss att fungera - för detta och det var nödvändigt att spela in den här videoklippet. Och vad händer, förutom $ x $ och det finns en annan $ y $ constant? Låt oss titta på dem som ytterligare en del av koefficienterna, d.v.s. Låt oss skriva om vårt uttryck enligt följande:

\ [{{x} ^ {2}} + 5Y \ cdot x-6 {{y} ^ {2}} \]

\ [a = 1; b = 5y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ vänster (5y \ höger)} ^ {2}} - 4 \ cdot \ vänster (-6 {{y} ^ {2}} \ höger) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12Y} {2} = - 6Y \]

Skriv nedbrytningen av vår fyrkantig design:

\ [\ vänster (x-y \ höger) \ vänster (x + 6y \ höger) \]

Totalt om vi återvänder till det ursprungliga uttrycket och skriver om det, med hänsyn till ändringar, får vi följande:

\ [\ Frac {8} {\ vänster (x-y \ höger) \ vänster (x + 6y \ höger)} \]

Vad ger den här posten oss? Ingenting, eftersom det inte skär det, det multiplicerar inte och är inte delbart. Men så snart den här fraktionen visar sig vara en integrerad del av ett mer komplext uttryck, visar sig en sådan sönderdelning vara förresten. Därför, så snart du ser en fyrkantig trippel (det spelar ingen roll, förstörs det av ytterligare parametrar eller inte), försök alltid att sönderdela det på multiplikatorerna.

Nyanser lösningar

Kom ihåg de viktigaste reglerna för att konvertera rationella uttryck:

  • Alla nämnare och siffror måste läggas på multiplikatorer eller genom formlerna för förkortad multiplikation, eller genom diskrimineringen.
  • Det är nödvändigt att arbeta enligt denna algoritm: när vi tittar och försöker lyfta fram formeln för förkortad multiplikation, så, först och främst, försöker översätta allt till den maximala möjliga graden. Därefter tar vi ut en gemensam examen för konsolen.
  • Uttryck med parametern kommer att hittas mycket ofta: Andra variabler kommer att uppstå som koefficienter. Vi hittar dem enligt den fyrkantiga sönderdelningsformeln.

Således, så snart du ser rationella fraktioner, är det första att bryta och täljaren, och denominatorn för multiplikatorer (på linjära uttryck), medan vi använder formlerna för förkortad multiplikation eller diskriminering.

Låt oss titta på ett par sådana rationella uttryck och försöka sönderdela dem på multiplikatorer.

Lösning mer komplexa exempel

Uppgiftsnummer 1.

\ [\ Frac {2 {{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{y} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ frac {9 {{y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Vi skriver om och försöker sönderdela var och en av villkoren:

\ [2}} = {{2}} = {} \ cdot {{x}} {2}} = {{\ vänster (2x \ höger)} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ cdot 3 \ cdot x \ cdot y = 2x \ cdot 3y \]

\ [2 {{y} ^ {2}} = {{}}} = {} {2}} = {{\ vänster (3y \ höger)} ^ {2}} \]

\ [3 {{x} {}}} = {} \ cdot {}} \ cdot {{x}} {3}} = {{\ vänster (2x \ höger)} ^ { 3}} \]

\ [3}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {3}} = {{\ vänster (3y \ höger)} ^ {3}} \]

Låt oss skriva om allt vårt rationella uttryck med dessa fakta:

\ [\ Frac {{{\ vänster (2x \ höger)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ vänster (3y \ höger)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ Frac {{{\ vänster (3y \ höger)} ^ {2}} - {{\ vänster (2x \ höger)} ^ {2}}} {{{\ vänster (2x \ höger)} ^ {3}} + {{\ vänster (3y \ höger)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ vänster (2x \ höger)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ vänster (3y \ höger)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ Frac {\ vänster (3Y-2X \ höger) \ vänster (3Y + 2x \ höger)} {\ vänster (2x + 3y \ höger) \ vänster ({{\ vänster (2x \ höger) ^ {2}} - 2x \ Cdot 3y + {{\ vänster (3y \ höger)} ^ {2}} \ höger)} = - 1 \]

Svar: $ -1 $.

Uppgiftsnummer 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ CDOT \ FRAC {8 - {{x} {4 {{x}} {2}} - 1} \]

Låt oss överväga alla fraktionerna.

Först:

\ [3-6x = 3 \ vänster (1-2x \ höger) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ höger) \]

Andra:

\ [{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ vänster (x-2 \ höger)} ^ {2}} \]

Tredje:

\ [8 - {{x} {{}}} {{}}} {{}} {3}} - {{x}} {3}} = \ vänster (2-x \ höger) \ vänster ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ höger) \]

\ [2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{x}} {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\ vänster (2x \ höger)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ vänster (2x-1 \ höger) \ vänster (2x + 1 \ höger) \]

Vi skriver om hela designen, med beaktande av förändringar:

\ [\ Frac {3 \ vänster (1-2x \ höger)} {2 \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ höger)} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{\ vänster (x-2 \ höger)} ^ {2}}} \ cdot \ frac {\ vänster (2-x \ höger) \ vänster ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ höger)} {\ vänster (2x-1 \ höger) \ vänster (2x + 1 \ höger)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ vänster (-1 \ höger)} {2 \ cdot \ vänster (x-2 \ höger) \ cdot \ vänster (-1 \ höger)} = \ frac {3} {2 \ vänster (x-2 \ höger)} \]

Svar: $ \ frac {3} {2 \ vänster (x-2 \ höger)} $.

Nyanser lösningar

Så, vad vi bara lärde oss:

  • Inte varje kvadrat trippel minskar till multiplikatorer, i synnerhet detta hänvisar till en ofullständig kvadrat av mängden eller skillnaden, som ofta finns som en del av kuber av mängden eller skillnaden.
  • Konstanter, d.v.s. Konventionella nummer som inte har variabler med dem kan också fungera som aktiva element i sönderdelningsprocessen. För det första kan de tas ut av parentes, för det andra kan konstanterna själva presenteras i form av grader.
  • Mycket ofta, efter sönderdelning av alla element på multiplikatorer, uppstår motsatta strukturer. Att minska dessa fraktioner måste vara extremt snyggt, för med från överklockning antingen från ovan, eller det finns en extra multiplikator $ -1 $ - det här är konsekvensen av vad de är motsatta.

Lösning av komplexa uppgifter

\ [\ Frac {3}} - 64 {{b}} {3}}} {{{b}} {2}} - 4}: \ frac {9 {a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{b} {{{}}} {{{b}} {2}} + 4b + 4} \]

Tänk på varje term separat.

Första fraktionen:

\ [3}} = {{3}} {3}} \ cdot {{a}} {3}} = {{\ vänster (3a \ höger)} ^ {3}} \ Anklagelse

\ [3}} = {{2}} = {{}} {6}} \ cdot {{b}} {3}} = {{\ vänster ({{2} ^ {2}} \ höger)} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3}} = {{{}} {{\ vänster ({}} ^ {2}} \ cdot b \ höger) } ^ {3}} = {{\ vänster (4b \ höger)} ^ {3}} \]

\ [{{\ vänster (3a \ höger)} ^ {3}} - {{\ vänster (4b \ höger)} ^ {3}} = \ vänster (3a-4b \ höger) \ vänster ({{\ vänster (3a \ höger)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ vänster (4b \ höger)} ^ {2}} \ höger) \]

\ [{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ vänster (b-2 \ höger) \ vänster (b + 2 \ höger) \]

Andra:

\ [9 {{a} {}}} = {} \ cdot {{a}} {2}} = {{\ vänster (3a \ höger)} ^ {2}} \]

\ [2}} = {{4}} = {} \ cdot {{b} {{}}} {{\ vänster (4b \ höger)} ^ {2}} \]

\ [12AB = 3 \ cdot 4ab = 3a \ cdot 4b \]

Hela täljaren av den andra fraktionen vi kan skriva om enligt följande:

\ [{{\ vänster (3a \ höger)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ vänster (4b \ höger)} ^ {2}} \]

Låt oss nu titta på denominatorn:

\ [{{b} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ cdot 2b + {{2} ^ {2}} = {{\ vänster (b + 2 \ höger)} ^ {2}} \]

Låt oss skriva om ett allt rationellt uttryck, med hänsyn till ovanstående fakta:

\ [\ Frac {\ left) \ vänster ({{\ vänster (3a \ höger)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ vänster (4b \ höger)} ^ {2}} \ höger) } {\ Vänster (b-2 \ höger) \ vänster (b + 2 \ höger)} \ cdot \ frac {{{\ vänster (b + 2 \ höger)} ^ {2}}} {{{\ vänster ( 3a \ höger)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ vänster (4b \ höger)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ left) \ vänster (b + 2 \ höger)} {\ vänster (B-2 \ höger)} \]

Svar: $ \ frac {\ vänster (3a-4b \ höger) \ vänster (b + 2 \ höger)} {\ vänster (B-2 \ höger)} $.

Nyanser lösningar

Som vi än en gång övertygade, ofullständiga kvadrater av mängden eller ofullständiga kvadrater av skillnaden, som ofta finns i verkliga rationella uttryck, men inte är rädda för dem, för att de efter att ha konverterat varje element är nästan alltid reducerade. Dessutom bör det inte vara rädd för stora mönster i det totala svaret - det är ganska möjligt att detta inte är ditt fel (speciellt om allt läggs ut för multiplikatorer), och denna författare uppfattat ett sådant svar.

Sammanfattningsvis vill jag demontera ett annat komplext exempel, vilket inte längre hör till rationella fraktioner, men det innehåller allt som väntar på dig i dessa kontroller och tentor, nämligen: sönderdelning av multiplikatorer, som leder till en gemensam nämnare, a minskning av sådana villkor. Det är precis vad vi nu kommer att gå.

Lösning av en svår uppgift för förenkling och omräkning av rationella uttryck

\ [\ vänster (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{{x} {{{}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ höger) \ cdot \ vänster (\ frac {{{x}} {2}} {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ höger) \]

Först, överväga och avslöja den första konsolen: Vi ser tre separata fraktioner med olika nämnare så det första som vi behöver göra är att ta med alla tre fraktioner till en gemensam nämnare, och för detta bör var och en av dem sönderdelas på multiplikatorer:

\ [{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}} \]

\ [2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2}} {2}} = \ vänster (x-2 \ höger) \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ höger) \]

Vi skriver om hela vår design enligt följande:

\ [\ Frac {x} {{}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ frac {{{x}} {2}} + 8} {\ vänster ( x -2 \ höger) \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ höger)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ vänster (x-2 \ höger) + {{x} ^ {3}} + 8- \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ höger)} {\ vänster (x-2 \ höger) \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ höger)} = \]

\ [= \ frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ vänster (x- 2 \ höger) \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ höger)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ Vänster (x-2 \ höger) \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ höger)} = \]

\ [= \ Frac {{\ vänster (x-2 \ höger)} ^ {2}}} {\ vänster (x-2 \ höger) \ vänster ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ höger)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Detta är resultatet av beräkningar från den första konsolen.

Vi förstår med den andra konsolen:

\ [2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ vänster (x-2 \ höger) \ vänster (x + 2 \ RÄTT) \]

Vi skriver om den andra konsolen med ändringarna:

\ [\ Frac {{{x} {\ vänster (x-2 \ höger) \ vänster (x + 2 \ höger)} + ​​\ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ vänster (x + 2 \ höger)} {\ vänster (x-2 \ höger) \ vänster (x + 2 \ höger)} = \ frac {{{x} ^ ^ {2}} + 2x + 4} {\ vänster (x-2 \ höger) \ vänster (x + 2 \ höger)} \]

Skriv nu hela källdesignen:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ vänster (x-2 \ Höger) \ vänster (x + 2 \ höger)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Svar: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Nyanser lösningar

Som du kan se visade svaret ganska sanna. Obs! Mycket ofta med sådana storskaliga beräkningar, när den enda variabeln bara är i nämnaren, glömmer eleverna att det här är denominatorn och han borde ha stått fraktionerna på dynim och skriva detta uttryck i en täljare - det här är ett brutto misstag.

Dessutom vill jag uppmärksamma hur sådana uppgifter görs. I alla komplexa beräkningar utförs alla steg på åtgärder: För det första betraktar vi det separat, då kombinerar vi separat och bara i slutet vi kombinerar alla delar och överväger resultatet. Således försäkrar vi sig från dumma fel, försiktigt skriv ner alla beräkningar och samtidigt spendera inte extra tid, eftersom det kan tyckas vid första anblicken.

Till nya möten!

Se även:

  1. Hur man gör en minskning av rationella fraktioner utan fel? En enkel algoritm på exemplet på fem olika uppgifter.
  2. Fraktionella rationella uttryck
  3. Hur man passerar tentamen i matematik
  4. Trial Ege 2012. Alternativ 12 (utan logaritmer)
  5. Intervallmetod: fallet med otroliga ojämlikheter
  6. Test på problem B14: Enkel nivå, 1 alternativ

Kommentarer lärare

Lektion: Transformation av rationella uttryck

Återkalla först bestämning av det rationella uttrycket.

Definition. Rationell Uttryck - Algebraiskt uttryck som inte innehåller rötter och inkluderar endast åtgärderna i tillägget, subtraktion, multiplikation och division (erektion).

Under begreppet "omvandlar ett rationellt uttryck" menar vi framförallt dess förenkling. Och detta utförs i proceduren som är känt för oss: Första åtgärder i parentes, då Nummer (Erend i examen), uppdelning av siffror och sedan tillägg / subtraktion.

Huvudsyftet med dagens lektion kommer att vara förvärvet av erfarenheter för att lösa mer komplexa uppgifter för att förenkla rationella uttryck.

Exempel 1. Förenkla rationellt uttryck .

Beslut. För det första kan det tyckas att de angivna fraktionerna kan minskas, eftersom uttrycken i fraktionerna är mycket lik formlerna i de fulla rutorna hos motsvarande nämnare. I det här fallet är det viktigt att inte rusa, men kontrollera separat om det är.

Kontrollera täljaren av den första fraktionen: . Nu är täljaren den andra: .

Som det kan ses, var våra förväntningar inte berättigade, och uttrycken i siffrorna är inte färdiga rutor, eftersom de inte har någon fördubbling av arbetet. Sådana uttryck, om vi återkallar betyg 7, kallas ofullständiga rutor. Det bör vara mycket uppmärksam i sådana fall, eftersom förvirringen av en komplett kvadratformel med ofullständig är ett mycket vanligt fel, och sådana exempel kontrollerar studentens uppmärksamhet.

Eftersom minskningen är omöjlig, kommer vi att utföra tillägg av fraktioner. Denominatorerna har inga vanliga faktorer, så de ändras helt enkelt för att få den minsta gemensamma nämnaren, och en ytterligare faktor för varje fraktion är nämnaren av en annan fraktion.

 

Naturligtvis kan du avslöja fästen och sedan medföra liknande termer, men i det här fallet kan du göra följande styrka och notera att i täljaren den första termen är formeln för kuber summan, och den andra är skillnaden av kuber . För bekvämlighet, låt oss återkalla dessa formler i allmän form:

 и .

I vårt fall kollapsas uttrycket i täljaren enligt följande:

Det andra uttrycket är liknande. Vi har:

.

Svar. .

Exempel 2. Förenkla rationellt uttryck .

Beslut. Detta exempel är lik den föregående, men det ses omedelbart här att ofullständiga rutor är belägna i freaturerna, därför är minskningen vid det ursprungliga steget av lösningar omöjligt. Liknande det föregående exemplet vikar vi fraktioner:

Här liknar vi den metod som anges ovan, märkte och krullade uttryck av formlerna av mängden och skillnaden av kuber.

Svar. .

Exempel 3. Förenkla rationellt uttryck .

Beslut. Det kan noteras att den andra fraktionsnominatorn sönderdelas på faktorerna med formeln av kuberna. Som vi redan vet är sönderdelningen av nämnare på faktorer användbar för att ytterligare söka efter den minsta gemensamma nämnaren.

.

Vi anger den minsta övergripande nämnaren av fraktioner, det är lika: , eftersom den är uppdelad i en nämnare av den tredje fraktionen, och det första uttrycket är i allmänhet hela, och vilken nämnare som helst är lämplig för den. Vilket indikerar de uppenbara ytterligare fel, skriv:

.

Svar.

Tänk på ett mer komplext exempel med "multi-våningar" fraktioner.

Exempel 4. Bevisa identitet Med alla tillåtna värden på variabeln.

Bevis. För att bevisa den angivna identiteten kommer vi att försöka förenkla sin vänstra del (komplicerad) till de enkla arter som krävs av oss. För att göra detta, utför alla steg med fraktioner i täljaren och denominatorn och dela sedan fraktionen och förenkla resultatet.

. Visat sig för alla giltiga värden på variabeln.

Bevisade.

Abstrakt källa: http://sinterneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/alegebraicheskie-drobirifmeticheskie-eperAcii-Nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

Videokälla: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Tilläggets egenskaper, subtraktion, multiplikation och division är användbara genom att det låter dig transformera summor och fungerar i praktiska uttryck för databehandling. Lär dig hur du använder dessa egenskaper Förenkla uttryck .

Beräkna mängden:

52 + 287 + 48 + 13 =

I detta uttryck finns siffror, när de "runda" siffrorna är tillägg. Med det här är det lätt att beräkna oralt. Vi använder omvärderingen av framstegen.

Förenkla rörelsen

Också för att förenkla beräkningen av verk kan du använda multiplikationsåtgärden.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

De kombinativa och rörliga egenskaperna används och Förenkla brevuttryck .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12a
  • 2 · A · 4 · B = 2 · 4 · A · B = 8AB
  • 5B + 8B = (5 + 8) · B = 13B
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · Y = 2Y

Distributionsrätten med multiplikation används ofta för att förenkla beräkningarna.

Distributionslag multiplikationDistributionslag multiplikation i förhållande till subtraktion

Applicering av fördelningsegenskapen för multiplikation i förhållande till tillsatsen eller subtraktionen till uttrycket " (A + B) · C och (A-B) · C "Vi får ett uttryck som inte innehåller konsoler.

I det här fallet säger de att vi avslöjade (sänkta) fästen . Att använda egenskaper spelar ingen roll där multiplikatorn är inspelad " c"- framför parentes eller efter.

Återkalla fästen i uttryck.

  • 2 (t + 8) = 2t + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Kom ihåg! !

Om brevet inte spelas in i fallet är det underförstått att det finns en numerisk faktor framför brevet 1.

Multiplikator för parentes

Vi ändrar höger och vänster del av jämlikheten:

(A + B) C = AC + BC

Vi får:

AC + BC = (A + B) med

I sådana fall säger de det från " AC + BC. » Vanlig multiplikator har gjorts «с"För parentes.

Exempel på en allmän faktor för parentes.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий