Simplificarea expresiilor

Simplificarea expresiilor

Una dintre cele mai frecvente sarcini din algebră sună așa: "Simplificați expresia". Acest lucru se poate face folosind una dintre următoarele tehnici, dar cel mai adesea va trebui să le combinați.

Aducând termeni similari.

Aceasta este cea mai ușoară dintre recepții. Similar Ele sunt numite termenii care au aceeași parte alfabetică. De exemplu, cum ar fi expresii 5 аși -6. а; -3. Hu. și 3. Wow ; 2 și 10. Deci. Puteți să pliați numai componentele similare; Dacă partea literală a componentelor este diferită, atunci astfel de componente sunt deja imposibile. Sunt de acord, dacă în viața mea vom adăuga mere cu unghii, atunci vom avea un fel de joc) în matematică în același mod.

De exemplu, simplifică o astfel de expresie:

Termeni similari Voi aloca culori diferite și voi calcula. Apropo, semnul înainte de termen se referă la acest termen.

După cum vedeți, nu mai există decât aceleași părți alfabetice. Expresia este simplificată.

Multiplicarea unei singurele aripi și a polinomilor.

Nu voi argumenta - puteți multiplica numerele. Și dacă litere, grade, paranteze se adaugă la ele?

Monomial. - Aceasta este o expresie constând dintr-un produs de numere, litere, grade și trebuie neapărat să fie în regulă. În mod surprinzător, doar numărul 5 este, de asemenea, neregulat, precum și o variabilă singură х.

După multiplicarea panourilor unice, utilizați regulile de multiplicare a gradelor.

Deplasați trei neoblame:

Diferite culori alocă ceea ce voi multiplica.

Polinom.ro - Aceasta este suma de o singură aripă.

Pentru a multiplica expresia de pe polinomii din spatele parantezelor pentru a se multiplica la fiecare persoana din paranteze. Detalii în exemplul următor.

Rămâne să reamintim multiplicarea polinomului la polinom. Cu aceasta, este necesar să se multipliceze fiecare godeu în primele paranteze pentru fiecare persoană din primele paranteze, rezultatele se îndoaie sau deduce în funcție de semnele termenilor.

Făcând un factor comun pentru paranteze.

Vom înțelege exemplul.

Această expresie este dată:

Ce este comun pentru acești doi termeni? Așa este, există un multiplicator în ambele. x. El va fi un factor general care trebuie scos.

Luați un alt exemplu.

Ambele numere din componente sunt împărțite în 2, atunci numărul 2 este un factor comun. Dar încă în aceste homorali există aceeași literă dar - Unul în gradul I, celălalt - în al doilea. Noi luăm într-o măsură mai mică, adică. În primul rând, acesta va fi al doilea factor comun. În general, se va dovedi o astfel de înregistrare:

Ei bine, haideți a treia exemplu, doar fără comentarii.

Puteți verifica corectitudinea factorului general pentru paranteze prin dezvăluirea parantezelor (multiplicării).

Descompunerea polinomilor asupra multiplicatorii metodei de grupare.

Dacă trebuie să descompuneți un polinom la multiplicatori, atunci metoda de grupare vă va fi utilă.

Este posibilă gruparea expresiilor numai prin factorile generale pe suport. Dar este necesar să se facă astfel încât parantezele să funcționeze în cele din urmă la fel. Pentru ce? Da, atunci, apoi pentru a face aceste paranteze pentru alte paranteze.

Exemplul va fi mai clar)

Eu iau un exemplu cel mai simplu, curat pentru a înțelege ce ar trebui făcut.

În primii doi termeni, factorul comun este variabila а: Oferim-o pentru suport. În cel de-al doilea doi termeni, factorul total este numărul 6. Este de asemenea efectuată pentru paranteze.

Ați văzut două paranteze identice? Acum sunt un factor comun. Îi îndurăm în spatele brațului și obținem un produs drăguț de două paranteze:

Descompunerea pătratului este trei decizii privind multiplicatorii.

Lăsați pătratul trei-Shreddance:

Pentru a se descompune pe multiplicatori, este necesar să se rezolve ecuația pătrată

Următoarea ecuație de rădăcini х1 и х2Înlocuiți următoarea formulă:

Noi incercam.

Luați aceste trei statale:

Găsiți rădăcinile ecuației pătrate.

Subliniem-le în formula pentru descompunerea pătratului trei descompunerea multiplicatorilor:

Ceva prea multe minusuri în a doua suport. Ușor convertiți:

Acum minunat)

Puteți să veniți în continuare la îndemână:

- capacitatea de a lucra cu fracțiuni obișnuite;

- capacitatea de a reduce fracția;

- cunoașterea formulelor de multiplicare abreviată.

Dar aceste sarcini vă pot întâlni la examen.

1) Simplificați:

Soluția aici.

2) Găsiți valoarea expresiei la valorile specificate ale variabilelor:

Soluția aici.

3) Găsiți valoarea expresiei la valorile specificate ale variabilelor:

Soluția aici.

Există multe sarcini similare - nu le vor potrivi pe toate)

Aveți întrebări? Scrie-mi!

Profesorul dvs. personal.

Transformarea competentă a expresiilor raționale

Expresii și fracțiuni raționale sunt piatra de temelie a întregului curs de algebră. Cei care învață să lucreze cu astfel de expresii, să le simplifice și să stabilească multiplicatori, de fapt că pot rezolva orice sarcină, deoarece transformarea expresiilor este o parte integrantă a oricărei ecuații grave, inegalitate și chiar o sarcină textuală.

În acest videoclip, vom vedea cum să aplice în mod competent formulele multiplicării abreviate pentru a simplifica expresiile și fracțiile raționale. Învățați să vedeți aceste formule unde, la prima vedere, nu există nimic. În același timp, repetăm ​​o recepție atât de simplă, ca descompunerea pătratului triplu la multiplicatori prin intermediul discriminatorului.

Așa cum probabil ați ghicit formulele pentru spatele meu, astăzi vom studia formulele de multiplicare abreviată și, mai precis, nu formulele în sine, ci folosirea lor pentru a simplifica și a reduce expresiile raționale complexe. Dar, înainte de a trece la exemplele de rezolvare, să ne apropiem de aceste formule sau să le amintim:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2} = \ Stânga (A-B \ dreapta) \ Stânga (A + B \ dreapta) $ - Diferența de pătrate;
  2. $ {{@ stânga (a + b} dreapta)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2Ab + {{b} ^ {2}} $ - suma a sumei;
  3. $ {{@ stânga (a-b \ dreapta)} ^ {2}} {{a}} {2}} - 2Ab + {{b} ^ {2}} $ - Piața diferenței;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ stânga (a + b \ dreapta) \ stânga ({a} ^ {2}} - AB + {{b} ^ 2}} \ dreapta) $ - cantitatea de cuburi;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ stânga (ab / dreapta) \ stânga ({a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} \ Dreapta) $ - Diferența de cuburi.

Aș dori, de asemenea, să menționez că sistemul nostru școlar de educație este aranjat în așa fel încât să fie cu studiul acestui subiect, adică. Exprimările raționale, precum și rădăcinile, modulele tuturor elevilor apar aceeași problemă pe care o voi explica acum.

Faptul este că, la începutul studierii formulelor de multiplicare abreviată și, în consecință, acțiunile de reducere a fracțiunilor (acest lucru este în interiorul Clasa 8) spun ceva după cum urmează: "Dacă ceva nu este clar, atunci nu vă faceți griji, suntem Acest subiect se va întoarce în mod repetat, în licee la fel de precis. O vom analiza. " Ei bine, apoi la începutul clasei 9-10, aceiași profesori explică aceluiași studenți care nu știu cum să rezolve fracțiunile raționale, despre următoarele: "Unde ați fost în ultimii doi ani? A fost studiată pe algebră în clasa 8! Ce poate fi incomprehensibil aici? Este atât de evident! "

Cu toate acestea, discipolii obișnuiți din astfel de explicații nu sunt deloc: au atât de terci și au rămas, așa că acum vom analiza două exemple simple, pe baza cărora și vom vedea cum, în sarcinile reale să aloce aceste expresii care vor Conduceți-ne la formulele multiplicării abreviare și cum să aplicați acest lucru pentru a transforma expresii raționale complexe.

Reducerea fracțiilor raționale simple

Numărul de sarcină 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {y} {9 {y}} {4}} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

Primul lucru pe care trebuie să-l învățim este să alocăm patrate exacte în expresiile inițiale și în grade mai mari, pe baza căreia putem aplica formule. Să aruncăm o privire:

\ [9 {y} ^ {4}} = {{3}} = {} {} ^ {{y} ^ {4}} = {{3}} {2}} {\ CDOt {{{ {y} ^ {2} \ dreapta)} ^ {2}} = {{\ stânga (3 {y} ^ {2} \ ^ dreapta)} ^ {2}} \]

\ [16 {x} ^ {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} \ CDOT {{x} ^ {2}} = {{\ stânga ({{2} ^ {2}} \ dreapta)} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{{{{2} {2} {} ^ {2}} \ cdot x \ dreapta)} ^ {2} } = {\ stânga (4 {x} ^}}}} ^ dreapta)} ^ {2}}}

Să ne rescriem expresia ținând cont de aceste fapte:

\ [\ Frac {4x + 3 {y}} {2}}} {{{y}} {2}} ^ {2} \ dreapta)} ^ {2}} - {{{}} - {{@ stânga (4x \ dreapta )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y}} {2}}} {} (3 {y} ^ {2}} - 4x \ dreapta) \ dreapta (3 {{{{{{ y} ^ {2}} + 4x \ dreapta)} = \ frac {1} {3 {y} ^ {2}} - 4x}}

Răspuns: $ \ frac {1} {3 {y} ^ {2}} - 4x} $.

Numărul de sarcină 2.

Mergeți la a doua sarcină:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {y} ^ {2}}} ^]

Nu este nimic de simplificat aici, pentru că există o constantă în numerotare, dar am sugerat această sarcină pentru a fi învățată pentru a pune polinomii care conțin două variabile pe multiplicatori. În schimb, a fost scris sub polinom, cum am descompune-o?

\ [{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ stânga (x -... \ dreapta) \ stânga (x -... \ dreapta) \]

Să rezolvăm ecuația și să găsim $ x $ că putem pune în loc de puncte:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ cdot \ stânga (-6 \ dreapta) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Putem rescrie trei bucăți după cum urmează:

\ [{x} ^ {2}} + 5xy-6 {y} ^ {2}} = \ Stânga (X-1 \ dreapta) \ Stânga (x + 6 \ dreapta) \]

Cu un triplu pătrat, am învățat să lucrăm - pentru acest lucru și a fost necesar să înregistrăm acest tutorial video. Și dacă, cu excepția $ x $ și există un alt $ y $ constantă? Să ne uităm la ele ca unul mai multe elemente ale coeficienților, adică. Să ne redierim expresia după cum urmează:

\ [{x} ^ {2}} + 5Y \ CDOT X-6 {{y} ^ {2}} \]

\ [a = 1; b = 5y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ stânga (5y \ dreapta)} ^ {2}} - 4 \ cdot \ stânga (-6 {{y} ^ {2}} \ dreapta) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = Y \]

\ [{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6Y \]

Scrieți descompunerea designului nostru pătrat:

\ [\ stânga (x-y \ dreapta) \ stânga (x + 6y \ dreapta) \]

Total Dacă ne întoarcem la expresia inițială și rescriem, luând în considerare modificările, atunci obținem următoarele:

\ [\ Frac {8} {\ stânga (x-y \ dreapta) \ stânga (x + 6y \ dreapta)} \]

Ce ne dau acest record? Nimic, pentru că nu o taie, nu se înmulțește și nu este divizibil. Cu toate acestea, de îndată ce această fracție se dovedește a fi o parte integrantă a unei expresii mai complexe, o astfel de descompunere se dovedește a fi apropiată. Prin urmare, de îndată ce vedeți un triplu pătrat (nu contează, acesta este agravat de parametri suplimentari sau nu), încercați întotdeauna să o descompune pe multiplicatori.

Soluții nuanțe

Amintiți-vă principalele reguli de conversie a expresiilor raționale:

  • Toți denominatorii și numerele trebuie să fie așezate pe multiplicatori sau prin formulele de multiplicare abreviată sau prin discriminator.
  • Este necesar să lucrăm în conformitate cu acest algoritm: când privim și încercăm să evidențiem formula de multiplicare abreviată, atunci, în primul rând, încercând să traducă totul la gradul maxim posibil. După aceea, luăm o diplomă comună pentru suport.
  • Expresiile cu parametrul vor fi găsite foarte des: alte variabile vor apărea ca coeficienți. Le găsim conform formulei de descompunere pătrată.

Astfel, de îndată ce vedeți fracții raționale, primul lucru pe care trebuie să-l faceți este să se descompună și numitorul și numitorul pentru multiplicatori (pe expresii liniare), în timp ce folosim formulele de multiplicare abreviată sau discriminator.

Să ne uităm la câteva expresii raționale și să încercăm să le descompun pe multiplicatori.

Rezolvarea unor exemple mai complexe

Numărul de sarcină 1.

\ [\ Frac {4 {x} ^ {2}} - 6xy + 9 {y} ^ {2}}} {2x-3y} \ CDOt \ Frac {9 {y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Rescriem și încercăm să descompunzim pe fiecare dintre termenii:

\ [4 {x} ^ {2}} = {{2}} = {} \ CDOT {{x} ^ {2}} = {{@ stânga (2x \ dreapta)} ^ {2}}}]

\ [6xy = 2 \ cdot 3 \ cdot x \ cdot y = 2x \ CDOT 3Y \]

\ [9 {y} ^ {2}} = {{3}} = {} \ CDOt {{y} ^ {2}} = {{\ stânga (3y \ dreapta)} ^ {2}}} ^ ^ {2}}}

\ [8 {{x} ^ {3}} = {{2}} = {} \ CDOT {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ stânga (2x \ dreapta)} ^ { 3}} \]

\ [27 {y} ^ {3}} = {{3}} = {} {} ^ {{y} ^ {3}} = {{@ stânga (3Y \ dreapta)} ^ {3}}} ^ {3}}}]

Să rescriem toată expresia noastră rațională cu aceste fapte:

\ [\ Frac {{\ stânga (2x \ dreapta)} ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ stânga (3y \ dreapta)} ^ {2}}} {2x-3Y} \ CDOT \ Frac {{{\ stânga (3y \ dreapta)} ^ {2}} - {{@ stânga (2x \ dreapta)} {{}}} {{{{}} {{{\ stânga (2x \ dreapta)} ^ {3}} + {{\ stânga (3y \ dreapta)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ stânga (2x \ dreapta)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ stânga (3Y \ dreapta)} ^ {2}}} {2x-3Y} \ CDOT \ Frac {\ stânga (3y-2x \ dreapta) \ stânga (3Y + 2x \ dreapta)} {@ stânga (2x + 3Y \ dreapta) \ stânga ({{\ stânga (2x \ dreapta) ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ stânga (3Y \ dreapta)} ^ {2}} \ dreapta)} = - 1 \]

Răspuns: $ -1 $.

Numărul de sarcină 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {x} ^ {2}} + 4x + 8} \ CDOT {2X + 1} {{{x} ^ {2} + 4-4x} \ Cdot {{x}} {3}}} {4 {x} ^ {2} - 1} {

Să luăm în considerare toate fracțiile.

Primul:

\ [3-6x = 3 \ stânga (1-2x \ dreapta) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ Stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ dreapta) {}

Al doilea:

\ [{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ stânga (x-2 \ dreapta)} ^ {2}} \]

Al treilea:

\ [8 - {x} ^ {3}} = {{}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ stânga (2-x \ dreapta) \ stânga ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2} \ dreapta) \]

\ [4 {x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} {{{} {{{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{{ (2x \ dreapta)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ stânga (2x-1 \ dreapta) \ stânga (2x + 1 \ dreapta) \]

Rescrie întregul design, luând în considerare modificările:

\ [\ Frac {3 \ stânga (1-2x \ dreapta)} {2 \ Stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ dreapta)} \ CDOT \ FRAC {2x + 1} {{{@ stânga (x-2 \ dreapta)} ^ {2}}} \ {2}}} \ CDOT {1 FRAC {\ stânga (2-x \ dreapta) \ stânga ({{2} ^ {2}} + 2x + {x} ^} {}} ^ dreapta)} {@ stânga (2x-1 \ dreapta)} stânga (2x + 1 \ dreapta)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ stânga (-1 \ dreapta)} {2 \ CDOT \ stânga (x-2 \ dreapta) \ cdot \ stânga (-1 \ dreapta)} = \ frac {3} {2 \ stânga (x-2 \ dreapta)} \]

Răspuns: $ \ frac {3} {2 \ Stânga (x-2 \ dreapta)} $.

Soluții nuanțe

Deci, ceea ce am învățat:

  • Nu fiecare triplu pătrat scade în multiplicatori, în special acest lucru se referă la o piață incompletă a cantității sau diferenței, care sunt foarte des găsite ca parte a cuburilor sau diferenței.
  • Constante, adică Numerele convenționale care nu au variabile cu ele pot acționa, de asemenea, ca elemente active în procesul de descompunere. În primul rând, ele pot fi scoase din paranteze, în al doilea rând, constantele în sine pot fi prezentate sub formă de grade.
  • Foarte adesea, după descompunerea tuturor elementelor pe multiplicatori, apar structuri opuse. Reducerea acestor fracțiuni trebuie să fie extrem de îngrijorătoare, deoarece cu overclocking fie de sus, fie există un multiplicator suplimentar $ -1 $ - aceasta este consecința a ceea ce sunt opuse.

Soluția de sarcini complexe

\ [\ Frac {27 {}} {{}} - 64 {{} ^ {3}} {{{{}} {2} - 4} {2} - 4 {{} - 4 {{A} ^ {2}} + 12Ab + 16 {{b} ^ {2}} {{{b} ^ {2} + 4B + 4} \]

Luați în considerare fiecare termen separat.

Prima fracție:

\ [27 {a} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} {CDOT {{A} ^ {3}} = {{@ stânga (3a \ dreapta)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{b} ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} \ cdot {{b} ^ {3}} = {{@ stânga ({{2} ^ {2}}} dreapta)} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3}} = {{}} = {{{{} (stânga ({2} ^ {2}} CDOT b \ dreapta) } ^ {3}} = {{\ stânga (4b \ dreapta)} ^ {3}} \]

\ [{\ stânga (3a \ dreapta)} ^ {3}} - {{@ stânga (4b} dreapta)} ^ {3}} = \ stânga (3A-4B \ dreapta) \ stânga ({{@ stânga (3a \ dreapta)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ stânga (4b \ dreapta)} ^ {2}} \ dreapta) ^]

\ [{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2} = \ Stânga (B-2 \ dreapta) \ Stânga (B + 2 \ Dreapta) \]

Al doilea:

\ [9 {a} ^ {2}} = {{3}} = {} \ CDOt {{a} ^ {2}} = {{@ stânga (3a \ dreapta)} ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {} \ CDOT {{b} {{2}} = {{\ Stânga (4B \ dreapta)} ^ {2}}}

\ [12AB = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Întregul numărător al celei de-a doua fracțiuni pe care le putem rescrie după cum urmează:

\ [{\ stânga (3a \ dreapta)} ^ {2}} + 3a \ CDOT 4B + {{\ stânga (4b \ dreapta)} ^ {2}}}]

Acum, să ne uităm la numitor:

\ [{{b} ^ {2}} + 4B + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ CDOt 2B + {{2} ^ {2}} = {{@ stânga (B + 2 \ dreapta)} ^ {2}} \]

Să rescriem o expresie rațională, luând în considerare faptele de mai sus:

\ [\ Frac {stânga) \ stânga ({{\ stânga (3a \ dreapta)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ stânga (4B} dreapta)} ^ {2}} \ dreapta) } {\ Stânga (dreapta) \ stânga (b + 2 \ dreapta)} \ cdot \ frac {{{\ stânga (b + 2}}} {{{}} {{{{partea stânga ( 3A \ dreapta)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ stânga (4b \ dreapta)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {stânga) \ stânga (b + 2 \ dreapta)} {\ stânga (b-2 \ dreapta)} \]

Răspuns: $ \ frac {\ stânga (3a-4b \ dreapta) \ stânga (b + 2 \ dreapta)} {\ stânga (b-2 \ dreapta)} $.

Soluții nuanțe

Așa cum am convins din nou, pătrate incomplete ale sumei sau pătrate incomplete ale diferenței, care sunt adesea găsite în expresii raționale reale, dar nu vă fie frică de ele, deoarece după convertirea fiecărui element, ele sunt aproape întotdeauna reduse. În plus, în nici un caz nu ar trebui să se teamă de desene mari în răspunsul total - este foarte posibil ca aceasta să nu fie eroarea dvs. (mai ales dacă totul este stabilit pentru multiplicatori), iar acest autor a conceput un astfel de răspuns.

În concluzie, aș dori să dezasamblez un alt exemplu complex, care nu mai aparține direct fracțiunilor raționale, dar conține tot ceea ce vă așteaptă în aceste control și examene, și anume: descompunerea multiplicatorilor, aducând la un numitor comun, a reducerea acestor termeni. Asta este exact ceea ce vom merge acum.

Rezolvarea unei sarcini dificile de simplificare și transformare a expresiilor raționale

\ [\ stânga (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{{x} ^ {2} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ dreapta) \ cdot {x} {{x}} {{{x} ^ {{{x} ^ {2} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ dreapta) \]

În primul rând, luați în considerare și dezvăluie prima paranteză: vedem trei fracțiuni separate cu diferite denominatori, astfel încât primul lucru pe care trebuie să-l facem este să aducem toate cele trei fracții unui numitor comun, iar pentru aceasta, fiecare dintre ele ar trebui să fie descompus pe multiplicatori:

\ [{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}}}]

\ [{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = St partea stângă (x-2 \ dreapta) \ stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ dreapta) \]

Rescriem întregul nostru design după cum urmează:

\ [\ Frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ Frac {{{x} ^ {2}} + 8} {@ stânga ( X -2 \ dreapta) \ stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2} \ dreapta)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ stânga (x-2 \ dreapta) + {{x} ^ {3}} + 8- \ stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ dreapta)} {@ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ dreapta)} = \]

\ [= \ frac {{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ stânga (x- 2 \ dreapta) \ stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ dreapta)} = {x} {{{x} ^ {{{x} ^ {2} - 4x-4} {\ Stânga (X-2 \ dreapta) \ stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ dreapta)} = \]

\ [= \ Frac {{@ stânga (x-2}}} ^ {2}}} {\ Stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga ({x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ dreapta)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2} + 2x + 4} \]

Acesta este rezultatul calculelor de la primul suport.

Înțelegem cu al doilea paraket:

\ [{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} DREAPTA) \]

Rescriem al doilea suport cu modificările:

\ [\ Frac {{{x} ^ {2}} {@ stânga (x-2 \ dreapta)} stânga (x + 2 \ dreapta)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ stânga (x + 2 \ dreapta)} {\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta)} = {x} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta)} \]

Acum scrieți întregul design sursă:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ CDOT {{{x} ^ {2} + 2x + 4} {@ stânga (X-2 \ Dreapta) \ stânga (x + 2 \ dreapta)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Răspuns: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Soluții nuanțe

După cum puteți vedea, răspunsul sa dovedit destul de sănătos. Cu toate acestea, notă: Foarte adesea, cu astfel de calcule la scară largă, când singura variabilă este numai în numitor, elevii uită că acesta este numitorul și ar fi trebuit să stabilească fracțiunea la acesta și să scrie această expresie într-un numitor - acest lucru este o greșeală gravă.

În plus, aș dori să vă atrag atenția specială a modului în care se fac astfel de sarcini. În orice calcul complex, toți pașii sunt efectuați pe acțiuni: În primul rând, considerăm că este separat, apoi combinăm separat și numai la sfârșitul nostru combinăm toate părțile și luăm în considerare rezultatul. Astfel, ne asigurăm de erori stupide, scrieți cu atenție toate calculele și, în același timp, nu petrecem timp suplimentar, deoarece poate părea la prima vedere.

La noi întâlniri!

Vezi si:

  1. Cum se face o reducere a fracțiilor raționale fără erori? Un algoritm simplu cu privire la exemplul a cinci sarcini diferite.
  2. Expresii raționale fracționate
  3. Cum să treceți examenul în matematică
  4. TRIAL EGE 2012. Opțiunea 12 (fără logaritmi)
  5. Metoda de interval: cazul inegalităților incredibile
  6. Testarea problemelor B14: Easy Nivel, 1 Opțiune

Comentarii profesor

Lecţie: Transformarea expresiilor raționale

Reamintindând mai întâi determinarea expresiei raționale.

Definiție. Raţional Expresie - expresia algebrică care nu conține rădăcini și include numai acțiunile adăugării, scăderii, multiplicării și divizării (erecției).

Sub conceptul de "transformarea unei expresii raționale", înțelegem, mai presus de toate, simplificarea acestuia. Și acest lucru se desfășoară în procedura cunoscută: Primele acțiuni în paranteze, atunci Lucrări de numere (Erend la gradul), diviziunea numerelor și apoi adăugiri / scădere.

Scopul principal al lecției de astăzi va fi dobândirea de experiență în rezolvarea unor sarcini mai complexe pentru simplificarea expresiilor raționale.

Exemplul 1. Simplificați expresia rațională .

Decizie. La început, se pare că fracțiunile specificate pot fi reduse, deoarece expresiile din fracțiuni sunt foarte asemănătoare cu formulele pătratelor complete ale denominanților corespunzători. În acest caz, este important să nu grăbiți, ci verificați separat dacă este.

Verificați număratorul primei fracțiuni: . Acum, număratorul este al doilea: .

După cum se poate observa, așteptările noastre nu au fost justificate, iar expresiile din numere nu sunt pătrate complete, deoarece nu au nici o dublare a muncii. Astfel de expresii, dacă ne amintim de gradul 7, se numesc pătrate incomplete. Ar trebui să fie foarte atent în astfel de cazuri, deoarece confuzia unei formule pătrate complete cu incompletă este o eroare foarte frecventă, iar astfel de exemple verifică atenția elevului.

Deoarece reducerea este imposibilă, atunci vom efectua adăugarea de fracțiuni. Denumimii nu au factori obișnuiți, astfel încât acestea să se schimbe pur și simplu pentru a obține cel mai mic numitor comun și un factor suplimentar pentru fiecare fracție este numitorul unei alte fracții.

 

Bineînțeles, atunci puteți dezvălui paranteze și apoi puteți aduce termeni similari, în acest caz, puteți face următoarea rezistență și rețineți că în numerotare primul termen este formula sumei cuburilor, iar a doua este diferența de cuburi . Pentru comoditate, permiteți-ne să reamintim aceste formule în formă generală:

 и .

În cazul nostru, expresia din numărător este prăbușirea după cum urmează:

A doua expresie este similară. Noi avem:

.

Răspuns. .

Exemplul 2. Simplificați expresia rațională .

Decizie. Acest exemplu este similar cu cel precedent, dar este văzut imediat că pătratele incomplete sunt situate în frunze, prin urmare reducerea la etapa inițială a soluțiilor este imposibilă. Similar cu exemplul anterior, noi fracții:

Aici suntem similari cu metoda specificată mai sus, am observat și expresii curbate prin formulele cuanței și diferenței de cuburi.

Răspuns. .

Exemplul 3. Simplificați expresia rațională .

Decizie. Se poate observa că al doilea numitor de fracție este descompus asupra factorilor prin formula cuburilor. După cum știm deja, descompunerea numitorilor asupra factorilor este utilă pentru căutarea în continuare a celui mai mic numitor comun.

.

Indicăm cel mai mic numitor general al fracțiilor, este egal: , deoarece este împărțită într-un numitor al celei de-a treia fracții, iar prima expresie este, în general, întregul și orice numitor este potrivit pentru el. Indicând defecțiunile suplimentare evidente, scrieți:

.

Răspuns.

Luați în considerare un exemplu mai complex cu fracțiuni "multi-etaje".

Exemplul 4. Dovedește identitatea Cu toate valorile admise ale variabilei.

Dovada. Pentru a dovedi identitatea specificată, vom încerca să simplificăm partea stângă (complicată) la speciile simple care sunt necesare pentru noi. Pentru a face acest lucru, efectuați toate pașii cu fracțiuni în numărător și numitor, apoi împărțiți fracțiunea și simplificați rezultatul.

. A demonstrat pentru toate valorile valide ale variabilei.

Demonstrat.

Sursa abstractă: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-eperacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

Sursa video: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Proprietățile de adiție, scădere, multiplicare și divizare sunt utile prin faptul că vă permite să transformați sumele și să lucrăm în expresii convenabile pentru calcul. Aflați cum să utilizați aceste proprietăți Simplificați expresii .

Calculați suma:

52 + 287 + 48 + 13 =

În această expresie există numere, atunci când numerele "rotunde" sunt adăugate. Observând acest lucru, este ușor să calculați oral. Folosim reevaluarea progresului.

Simplificați valoarea mișcării

De asemenea, pentru a simplifica calculul lucrărilor, puteți utiliza actul de mișcare al multiplicării.

7 · 2,9 · 5 = (2 · 5) · (7,9) = 10 · 63 = 630

Proprietățile combinative și în mișcare sunt utilizate și Simplificați expresii de scrisori .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12A
  • 2 · A · 4 · B = 2 · 4 · A · B = 8AB
  • 5B + 8B = (5 + 8) · B = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · Y = 2Y

Legea de distribuție a multiplicării este adesea folosită pentru simplificarea calculelor.

Dreptul de distribuție multiplicareDreptul de distribuție Înmulțirea față de scădere

Aplicarea proprietății de distribuție a multiplicării față de adăugarea sau scăderea la expresia " (A + B) · C și (A - B) · C "Avem o expresie care nu conține paranteze.

În acest caz, ei spun că noi dezvăluit (scăzut) paranteze . Pentru a utiliza proprietățile nu contează unde se înregistrează multiplicatorul " c"- în fața parantezelor sau după.

Amintiți parantezele în expresii.

  • 2 (t + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Tine minte! Fotografiile!

Dacă litera nu este înregistrată în cazul, se înțelege că există un factor numeric în fața scrisorii 1.

Multiplicator pentru paranteze

Schimbăm partea dreaptă și partea stângă a egalității:

(A + B) C = AC + BC

Primim:

AC + BC = (A + B) cu

În astfel de cazuri, ei spun că de la " AC + BC. » A fost făcută multiplicator comun «с"Pentru paranteze.

Exemple de factor general pentru paranteze.

  • 73 · 8 + 7,8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий