Simplificação de expressões

Simplificação de expressões

Uma das tarefas mais comuns na Álgebra parece assim: "Simplifique a expressão". Isso pode ser feito usando uma das seguintes técnicas, mas na maioria das vezes você precisará combiná-las.

Trazendo termos semelhantes.

Esta é a mais fácil das recepções. Semelhante Eles são chamados os termos que têm a mesma parte alfabética. Por exemplo, como expressões 5 аe -6. а; -3. Hu. e 3. Uau ; 2 e 10. assim. Você só pode dobrar os componentes semelhantes; Se a parte literal dos componentes for diferente, então esses componentes já são impossíveis. Concordo, se na minha vida vamos adicionar maçãs com pregos, então teremos algum tipo de jogo) em matemática da mesma maneira.

Por exemplo, simplifica essa expressão:

Termos similares, alocarei cores diferentes e calculamos. By the way, o sinal antes do termo se refere a este prazo.

Como você vê, não há mais do que as mesmas partes de alfabone. A expressão é simplificada.

Multiplicação de uma única asa e polinômios.

Eu não vou discutir - você pode multiplicar os números. E se letras, graus, suportes adicionarem a eles?

Monômio - Esta é uma expressão que consiste em um produto de números, letras, graus e necessariamente estar bem. Surpreendentemente, apenas o número 5 também é desinteressado, bem como uma variável solitária х.

Após a multiplicação de painéis de single, use as regras de multiplicação de graus.

Mova três unoblays:

Cores diferentes alocam o que eu vou multiplicar.

Polinomial - Esta é a soma de uma asa.

Multiplicar a expressão nos polinômios por trás dos suportes para multiplicar a cada pessoa entre parênteses. Detalhes no exemplo a seguir.

Resta recordar a multiplicação do polinômio para o polinômio. Com isso, é necessário multiplicar cada poço nos primeiros colchetes a cada pessoa nos primeiros colchetes, os resultados dobram ou deduzir, dependendo dos sinais dos termos.

Fazendo um fator comum para colchetes.

Nós entenderemos o exemplo.

Esta expressão é dada:

O que é comum a esses dois termos? Isso mesmo, há um multiplicador em ambos. x. Ele será um fator geral que precisa ser retirado.

Pegue outro exemplo.

Ambos os números nos componentes são divididos em 2, então o número 2 é um fator comum. Mas ainda nessas homorais há a mesma letra mas - Um no primeiro grau, o outro - no segundo. Nós levamos em menor medida, isto é. No primeiro, será o segundo fator comum. Em geral, ele vai acabar com esse registro:

Bem, vamos o terceiro exemplo, apenas sem comentário.

Você pode verificar a exatidão do fator geral para colchetes, divulgando colchetes (multiplicação).

Decomposição de polinômios nos multiplicadores do método de agrupamento.

Se você precisar decompor um polinômio para multiplicadores, o método de agrupamento será útil para você.

É possível agrupar expressões apenas fazendo fatores gerais por suporte. Mas é necessário torná-lo para que os colchetes eventualmente funcionem o mesmo. Pelo que? Sim, então, então para fazer esses suportes para outros colchetes.

O exemplo será mais claro)

Eu tomo um exemplo o mais simples, limpo para entender o que deve ser feito.

Nos dois primeiros termos, o fator comum é a variável а: Nós o realizamos para o suporte. Nos segundos dois termos, o fator total é o número 6. Ele também é realizado para colchetes.

Você já viu dois colchetes idênticos? Agora eles são um fator comum. Nós os suportamos atrás do suporte e recebemos um produto fofo de dois colchetes:

A decomposição da praça é de três decisões sobre multiplicadores.

Deixe o quadrado de três shreddance:

Para decompô-la em multiplicadores é necessário para resolver a equação quadrado

equação raízes próxima х1 и х2Substituo com a seguinte fórmula:

Nós tentamos.

Tome este três obsoleto:

Encontrar as raízes da equação quadrado.

Nós substituí-los na fórmula para a decomposição dos três decomposição quadrado de multiplicadores:

Algo muitas desvantagens no segundo suporte. Ligeiramente convertê-lo:

Agora maravilhoso)

você ainda pode vir a calhar:

- capacidade de trabalho com fracções comuns;

- capacidade de cortar a fracção;

- Conhecimento das fórmulas de multiplicação abreviado.

Mas tais tarefas podem encontrá-lo no exame.

1) simplifique:

A solução aqui.

2) Determinar o valor da expressão nos valores especificados das variáveis:

A solução aqui.

3) Determinar o valor da expressão nos valores especificados das variáveis:

A solução aqui.

Há muitas tarefas semelhantes - eles não vão caber todos eles)

Tem perguntas? Me escreva!

Seu professor pessoal.

transformação competente de expressões racionais

expressões racionais e frações são a pedra angular de todo o curso de álgebra. Aqueles que aprender a trabalhar com tais expressões, simplificá-los e colocar para fora em multiplicadores, na verdade, eles podem resolver qualquer tarefa, desde a transformação das expressões é uma parte integrante de qualquer equação sério, a desigualdade e até mesmo uma tarefa textual.

Neste vídeo, vamos ver como aplicar de forma competente as fórmulas de multiplicação abreviado para simplificar expressões racionais e frações. Ensinar a ver estas fórmulas, onde, à primeira vista, não há nada. Ao mesmo tempo, repetimos, tais uma recepção simples, como a decomposição do triplo quadrado para multiplicadores através do discriminante.

Como você provavelmente adivinhou as fórmulas para a minha volta, hoje vamos estudar as fórmulas de multiplicação abreviado, e, mais precisamente, não as próprias fórmulas, mas a sua utilização para simplificar e reduzir expressões racionais complexos. Mas antes de mudar para exemplos de solução, vamos chegar mais perto dessas fórmulas ou se lembrar deles:

  1. $ {{A} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ left (a-b \ right) \ left (a + b \ right) $ - a diferença de quadrados;
  2. $ {{\ Left (a + b \ right)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2ab + {{b} ^ {2}} $ - a soma do montante;
  3. $ {{\ Left (a-b \ right)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2ab + {{b} ^ {2}} $ - o quadrado da diferença;
  4. $ {{A} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ esquerda (a + b \ direita) \ esquerda ({{a} ^ {2}} - AB + {{B} ^ 2}} \ right) $ - a quantidade de cubos;
  5. $ {{A} ^ {3}} - {{B} ^ {3}} = \ left (ab \ right) \ left ({{a} ^ {2}} + AB + {{B} ^ {2 }} \ right) $ - a diferença de cubos.

Eu também gostaria de observar que nosso sistema escolar da educação é organizado de tal forma a que seja com o estudo deste tema, ou seja, As expressões racionais, bem como as raízes, os módulos de todos os alunos surgir o mesmo problema que eu vou explicar agora.

O fato é que no início de estudar as fórmulas de multiplicação abreviada e, consequentemente, ações para reduzir frações (este é classe em algum lugar 8) professores dizer algo assim: "Se algo não estiver claro, então você não se preocupe, nós somos este tópico ainda estará de volta repetidamente, em escolas de ensino médio com a maior precisão. Vamos analisá-lo. " Bem, em seguida, na virada do grau 9-10th, os mesmos professores explicam os mesmos alunos que não sabem como resolver frações racionais, sobre o seguinte: "Onde você esteve nos últimos dois anos? Estudou-se na álgebra no grau 8! O que pode ser incompreensível aqui? É tão óbvio! "

No entanto, os discípulos habituais de tais explicações não são de todo fácil: eles têm tanto mingau, e manteve-se, então agora vamos analisar dois exemplos simples, com base na qual, e vamos ver como em tarefas reais para alocar essas expressões que a vontade levam-nos a As fórmulas de multiplicação abreviado e como aplicar isso para converter expressões racionais complexos.

Reduzindo fracções racionais simples

tarefa número 1.

\ [\ FRAC {4X + 3 {{Y} ^ {2}}} {{{9 y ^} {4}} - {16 {X} ^ {2}}} \]

A primeira coisa que precisamos aprender é alocar quadrados exatas nas expressões iniciais e graus mais elevados, com base na qual podemos então aplicar fórmulas. Vamos dar uma olhada:

\ [9 {{y} ^ {4}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {4}} = {{3}} {2}} \ cdot {{\ esquerda ({ {y} ^ {2}} \ direito)} ^ {2}} = {{\ esquerda (3 {y} ^ {2}} \ direito)} ^ {2}} \]

\ [16 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} \ Cdot {{x} ^ {2}} = {{\ esquerda ({{2} ^ {2}} \ direito)} ^ {2}} \ Cdot {{x} ^ {2}} = {{\ esquerda ({{2} ^ {2}} \ CDOT X \ DIREITA)} ^ {2} } = {{\ esquerda (4 {{x} ^ {2}} \ direito)} ^ {2}} \]

Vamos reescrever nossa expressão tendo em conta estes fatos:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{{\ left (3 {y} ^ {2} \ right)} ^ {2}} - {{\ left (4x \ Direito )} ^ {2}}} = \ FRAC {4x + 3 {{Y} ^ {2}}} {\ esquerda (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ direito) \ esquerda (3 {{ y ^} {2}} + 4x \ direita)} = \ frac {1} {{{3} y ^ {2}} - 4x} \]

Resposta: $ \ frac {1} {3} {{y ^ {2}} - 4x} $.

Tarefa número 2.

Ir para a segunda tarefa:

\ [\ FRAC {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \]

Não há nada para simplificar aqui, porque há uma constante no numerador, mas eu sugeri essa tarefa, a fim de ser aprendida para colocar polinômios contendo duas variáveis ​​em multiplicadores. Se em vez disso, foi escrito abaixo do polinomial, como iríamos decompô-la?

\ [{{X} ^ {2}} + 5x-6 = \ esquerda (x -... \ direita) \ esquerda (x -... \ direita) \]

Vamos resolver a equação e encontrar $ x $ que podemos colocar em vez de pontos:

\ [{{X} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ cdot \ esquerda (-6 \ direita) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ Sqrt {d} = 7 \]

\ [{{X} _ {1}} = \ FRAC {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{X} _ {2}} = \ -5-7 FRAC {} {2} = \ FRAC {-12} {2} = - 6 \]

Podemos reescrever três peças da seguinte forma:

\ [{{X} ^ {2}} + 5xy-6 {{Y} ^ {2}} = \ esquerda (X-1 \ direita) \ esquerda (x + 6 \ direita) \]

Com um triplo quadrado, aprendemos a trabalhar - para isso e que era necessário para gravar este tutorial em vídeo. E se, exceto $ x $ e não há outra $ y $ constante? Vamos olhar-los como mais um elementos dos coeficientes, isto é, Vamos reescrever nossa expressão da seguinte forma:

\ [{{X} ^ {2}} + 5y \ Cdot X-6 {{Y} ^ {2}} \]

\ [A = 1, b = 5y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ esquerda (5y \ direita)} ^ {2}} - 4 \ Cdot \ esquerda (-6 {{y} ^ {2}} \ direito) = {{25} ^ Y {2} } 24 {{y} ^ {2}} = {{49} y ^ {2}} \]

\ [\ Sqrt {d} = 7y \]

\ [{{X} _ {1}} = \ FRAC {-5Y + 7Y} {2} = y \]

\ [{{X} _ {2}} = \ FRAC {-5y-7y} {2} = \ FRAC {-12Y} {2} = - 6Y \]

Escrever a decomposição do nosso design Square:

\ [\ Esquerda (x-y \ direita) \ esquerda (x + 6y \ direita) \]

Total de se voltar para a expressão inicial e reescrevê-lo, tendo em conta as alterações, em seguida, obtém-se o seguinte:

\ [\ FRAC {8} {\ esquerda (x-y \ direita) \ esquerda (x + 6y \ direita)} \]

O que faz este registro nos dá? Nada, porque não cortá-la, não se multiplica e não é divisível. No entanto, assim que essa fração acaba por ser uma parte integrante de uma expressão mais complexa, uma decomposição acaba por ser pelo caminho. Portanto, logo que você ver um triplo quadrado (não importa, é agravada por parâmetros ou não adicionais), sempre tentar decompô-la em multiplicadores.

nuances Solutions

Lembre-se as principais regras para a conversão de expressões racionais:

  • Todos os denominadores e numerais devem ser estabelecidas em multiplicadores ou através das fórmulas de multiplicação abreviado, ou através do discriminante.
  • É necessário trabalho de acordo com este algoritmo: quando olhamos e tentar destacar a fórmula de multiplicação abreviado, então, em primeiro lugar, tentar traduzir tudo para o grau máximo possível. Depois disso, nós tomar um grau comum para o suporte.
  • Expressões com o parâmetro será encontrado com muita frequência: outras variáveis ​​ocorrerá como coeficientes. Encontramo-los de acordo com a fórmula de decomposição quadrado.

Assim, logo que você ver frações racionais, a primeira coisa a fazer é se decompor e o numerador e denominador para multiplicadores (em expressões lineares), enquanto nós usamos as fórmulas de multiplicação ou discriminante abreviado.

Vamos olhar um par de tais expressões racionais e tentar decompor-los em multiplicadores.

Resolver exemplos mais complexos

tarefa número 1.

\ [\ FRAC {4 {{x} ^ {2}} - 6XY + 9 {{Y} ^ {2}}} {2x-3Y} \ Cdot \ FRAC {9 {{Y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y ^} {3}}} \]

Nós reescrever e tentar decompor cada um dos termos:

\ [4 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ esquerda (2x \ direita)} ^ {2}} \]

\ [6XY = 2 \ 3 CDOT \ CDOT X \ CDOT Y = 2X \ CDOT 3Y \]

\ [9 {{y} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {2}} = {{\ esquerda (3y \ direito)} ^ {2}} \]

\ [8 {{x} ^ {3}} = {{2}} = {} \ cdot {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ esquerda (2x \ direita)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y} ^ {3}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {3}} = {{\ esquerda (3y \ direita)} ^ {3}} \]

Vamos reescrever toda a nossa expressão racional com estes fatos:

\ [\ Frac {{{\ Esquerda (2x \ right)} ^ {2}} - 2x \ Cdot 3Y + {{\ Esquerda (3Y \ right)} ^ {2}}} {2x-3Y} \ Cdot \ FRAC {{{\ left (3a \ right)} ^ {2}} - {{\ left (2x \ right)} ^ {2}}} {{{\ left (2x \ right)} ^ {3}} + {{\ esquerda (3y \ direita)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ left (2x \ right)} ^ {2}} - 2x \ Cdot 3Y + {{\ Esquerda (3Y \ right)} ^ {2}}} {2x-3Y} \ Cdot \ FRAC {\ esquerda (3Y-2X \ right) \ esquerda (3Y + 2X \ right)} {\ esquerda (2x + 3Y \ right) \ left ({{\ left (2x \ right) ^ {2}} - 2x \ Cdot 3Y + {{\ left (3Y \ right)} ^ {2}} \ right)} = - 1 \]

Resposta: $ -1 $.

Tarefa número 2.

\ [\ FRAC {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ Cdot \ FRAC {2x + 1} {{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ CDOT \ FRAC {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

Vamos considerar todas as frações.

Primeiro:

\ [3-6x = 3 \ Esquerda (1-2X \ DIREITA) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ esquerda ({{x} ^ {2}} + + 2x {{2} ^ {2}} \ direito) \]

Segundo:

\ [{{X} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ Cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ esquerda (X-2 \ direita)} ^ {2}} \]

Terceiro:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ esquerda (2-X \ A DIREITA) \ esquerda ({{2} ^ {2}} + + 2x {{x} ^ {2}} \ direito) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\ esquerda (2X \ right)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ left (2x-1 \ right) \ esquerda (2x + 1 \ right) \]

Nós reescrever todo o projeto, tendo em conta as alterações:

\ [\ FRAC {3 \ ESQUERDA (1-2X \ DIREITA)} {2 \ esquerda ({{x} ^ {2}} + + 2x {{2} ^ {2}} \ direito)} \ Cdot \ FRAC {2x + 1} {{{\ esquerda (X-2 \ direita)} ^ {2}}} \ Cdot \ FRAC {\ esquerda (2x \ direita) \ esquerda ({{2} ^ {2}} + + 2x {{x} ^ {2}} \ direito)} {\ Esquerda (2x-1 \ direito) \ Esquerda (2x + 1 \ DIREITA)} = \]

\ [= \ FRAC {3 \ CDOT \ ESQUERDA (-1 \ DIREITA)} {2 \ CDOT \ ESQUERDA (X-2 \ DIREITA) \ CDOT \ ESQUERDA (-1 \ DIREITA)} = \ frac {3} {2 \ left (x-2 \ right)} \]

Resposta: $ \ frac {3} {2 \ Esquerda (X-2 \ right)} $.

nuances Solutions

Então, o que acabamos de aprender:

  • Nem todos os quadrados diminui triplos a multiplicadores, em particular, este refere-se a um quadrado incompleta da quantidade ou diferença, que são muito frequentemente encontrados como parte de cubos da quantidade ou diferença.
  • Constantes, isto é, números convencionais que não têm variáveis ​​com eles também podem agir como elementos activos no processo de decomposição. Primeiro, eles podem ser retirados de suportes, em segundo lugar, os próprios constantes podem ser apresentados na forma de graus.
  • Muitas vezes, após a decomposição de todos os elementos em multiplicadores, estruturas opostas surgem. A redução destas fracções precisa ser extremamente limpo, porque a partir de overclocking com quer a partir de cima, ou se houver um multiplicador adicional $ -1 $ - esta é a consequência de que eles são opostas.

Solução de tarefas complexas

\ [\ FRAC {27 {{a} {{3}} - 64 {{B} ^ {3}}} {{{b}} {2}} - 4}: \ FRAC {9 {{a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4b + 4} \]

Considere cada termo separadamente.

Primeira fracção:

\ [27 {{a} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} \ cdot {{a} ^ {3}} = {{\ esquerda (3a \ direita)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{B} ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} \ cdot {{b} ^ {3}} = {{\ esquerda ({{2} ^ {2}} \ direito)} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3}} = {{}} = {{\ esquerda ({{2} ^ {2}} \ cDOT b \ DIREITA) } ^ {3}} = {{\ esquerda (4B \ DIREITA)} ^ {3}} \]

\ [{{\ Esquerda (3a \ direita)} ^ {3}} - {{\ esquerda (4b \ direita)} ^ {3}} = \ esquerda (3A-4B \ DIREITA) \ esquerda ({{\ esquerda (3A \ direito)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ esquerda (4b \ direita)} ^ {2}} \ direito) \]

\ [{{B} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ esquerda (b-2 \ direita) \ esquerda (B + 2 \ direito) \]

Segundo:

\ [9 {{a} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{a} ^ {2}} = {{\ esquerda (3a \ direita)} ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {} \ cdot {{b} {{2}} = {{\ esquerda (4b \ direita)} ^ {2}} \]

\ [12AB = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Todo o numerador da segunda fração podemos reescrever como segue:

\ [{{\ Esquerda (3a \ direita)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ esquerda (4b \ direita)} ^ {2}} \]

Agora vamos olhar para o denominador:

\ [{{B} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ cdot 2b + {{2} ^ {2}} = {{\ esquerda (b + 2 \ direita)} ^ {2}} \]

Vamos reescrever um todo expressão racional, tendo em conta os factos acima referidos:

\ [\ Frac {\ left) \ left ({{\ left (3a \ right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4-B \ right)} ^ {2}} \ right) } {\ esquerda (B-2 \ right) \ esquerda (B + 2 \ right)} \ CDOT \ frac {{{\ left (B + 2 \ right)} ^ {2}}} {{{\ left ( 3a \ direita)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ esquerda (4b \ direita)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ esquerda) \ esquerda (b + 2 \ direita)} {\ esquerda (B-2 \ direito)} \]

Resposta: $ \ frac {\ Esquerda (3A-4B \ right) \ Esquerda (B + 2 \ right)} {\ left (B-2 \ right)} $.

nuances Solutions

À medida que mais uma vez convencido, praças incompletas do montante ou praças incompletas da diferença, que são freqüentemente encontrados em expressões racionais reais, mas não tenha medo deles, porque depois de converter cada elemento, eles são quase sempre reduzida. Além disso, em nenhum caso, não deve ter medo de grandes projetos na resposta Total - é bem possível que este não é o seu erro (especialmente se tudo está preparado para multiplicadores), e este autor concebido tal resposta.

Em conclusão, gostaria de desmontar outro exemplo complexo, que já não pertence diretamente para frações racionais, mas contém tudo o que ela está esperando por você nestes controle e exames, a saber: a decomposição de multiplicadores, levando a um denominador comum, uma redução de tais termos. Isso é exatamente o que agora vai.

Resolver uma tarefa difícil para a simplificação e conversão de expressões racionais

\ [\ Esquerda (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ FRAC {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x} ^ {3} }} -8 - \ frac {1} {X-2} \ direito) \ Cdot \ Esquerda (\ FRAC {{{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ frac {2} {2-x} \ right) \]

Primeiro, considere e revelar o primeiro suporte: vemos três fracções separadas com diferentes denominadores então a primeira coisa que precisamos fazer é trazer todas as três frações a um denominador comum, e para isso, cada um deles deve ser decomposto em multiplicadores:

\ [{{X} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}} \]

\ [{{X} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ esquerda (X-2 \ direita) \ esquerda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right) \]

Nós reescrever o nosso projeto inteiro da seguinte forma:

\ [\ FRAC {x} {{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ FRAC {{{x} ^ {2}} + 8} {\ esquerda ( x -2 \ DIREITA) \ esquerda ({{x} ^ {2}} + + 2x {{2} ^ {2}} \ direita)} - \ frac {1} {X-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ à esquerda (X-2 \ direita) + {{x} ^ {3}} + 8- \ esquerda ({{x} ^ {2}} + + 2x {{2} ^ { 2}} \ right)} {\ left (x-2 \ right) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right)} = \]

\ [= \ Frac {{{x} ^ {2}} - {2x + {X} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ esquerda (x- 2 \ right) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ right)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ eSQUERDA (X-2 \ DIREITA) \ esquerda ({{x} ^ {2}} + + 2x {{2} ^ {2}} \ direito)} = \]

\ [= \ FRAC {{\ esquerda (X-2 \ direita)} ^ {2}}} {\ esquerda (X-2 \ direita) \ esquerda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ direito)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Este é o resultado de cálculos a partir do primeiro suporte.

Entendemos com o segundo suporte:

\ [{{X} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ esquerda (X-2 \ direita) \ esquerda (x + 2 \ CERTO) \]

Nós reescrever o segundo suporte com as mudanças:

\ [\ FRAC {{{x} ^ {2}}} {\ esquerda (X-2 \ direita) \ esquerda (x + 2 \ direita)} + \ FRAC FRAC {2} {X-2} = \ { {{x} ^ {2}} + 2 \ esquerda (x + 2 \ direita)} {\ esquerda (X-2 \ direita) \ esquerda (x + 2 \ direita)} = \ FRAC {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ esquerda (X-2 \ direita) \ esquerda (x + 2 \ direita)} \]

Agora escreva o desenho de origem inteira:

\ [\ FRAC {X-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{X} ^ {2}} + 2x + 4} {\ esquerda (x-2 \ direito) \ esquerda (x + 2 \ direito)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Resposta: $ \ frac {1} {x + 2} $.

nuances Solutions

Como você pode ver, a resposta saiu muito sã. No entanto, nota: Muitas vezes, com esses cálculos em grande escala, quando a única variável é apenas no denominador, os alunos se esqueça que este é o denominador e ele deveria ter mantido a fração de thenime e escrever essa expressão em um numerador - este é um erro grosseiro.

Além disso, gostaria de chamar a atenção especial à forma como essas tarefas são feitas. Em todos os cálculos complexos, todas as etapas são realizadas em acções: Em primeiro lugar, consideramos que é separado, então nós combinamos separadamente e apenas no final nós combinamos todas as partes e considerar o resultado. Assim, segurar-se de erros estúpidos, cuidadosamente anotar todos os cálculos e, ao mesmo tempo, não gastar o tempo extra, como pode parecer à primeira vista.

Para novas reuniões!

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Comentários professora

Lição: Transformação de expressões racionais

Recordando primeiro determinar a expressão racional.

Definição. Racional Expressão - expressão algébrica que não contém raízes e inclui apenas as acções de adição, subtracção, multiplicação e divisão (montagem).

Sob o conceito de "conversão de uma expressão racional", que significa, acima de tudo, a sua simplificação. E esta é realizada no procedimento conhecido por nós: primeiras ações entre parênteses, em seguida, Trabalho de números (Erend ao grau), divisão de números, e, em seguida, adições / subtracção.

O principal objetivo da lição de hoje será a aquisição de experiência na resolução de tarefas mais complexas para simplificar expressões racionais.

Exemplo 1. expressão racional Simplifique .

Decisão. Em primeiro lugar, pode parecer que as fracções especificadas pode ser reduzida, uma vez que as expressões nas fracções são muito semelhantes para as fórmulas dos quadrados completos dos denominants correspondentes. Neste caso, é importante não se apressar, mas verificar separadamente se fizer.

Verifique o numerador da primeira fracção: . Agora o numerador é a segunda: .

Como pode ser visto, as nossas expectativas não eram justificadas, e as expressões nas numeradas não são quadrados completos, já que não têm duplicação do trabalho. Tais expressões, se lembrarmos o grau 7, são chamados de quadrados incompletos. Deve estar muito atentos, nesses casos, uma vez que a confusão de uma fórmula quadrado completo com incompleta é um erro muito comum, e tais exemplos verificar atenção do aluno.

Desde a redução é impossível, então vamos realizar a adição de frações. Os denominadores não têm factores comuns, então eles simplesmente mudar para obter o menor denominador comum, e um fator adicional para cada fracção é o denominador da outra fração.

 

É claro, então você pode revelar suportes e depois trazê termos semelhantes, no entanto, neste caso, você pode fazer o seguinte força e nota que no numerador o primeiro termo é a fórmula da soma Cubes, eo segundo é a diferença de cubos . Por conveniência, vamos recuperar essas fórmulas em forma geral:

 и .

No nosso caso, a expressão no numerador é recolhido como se segue:

A segunda expressão é semelhante. Nós temos:

.

Responder. .

Exemplo 2. expressão racional Simplifique .

Decisão. Este exemplo é semelhante ao anterior, mas é imediatamente visto aqui que quadrados incompletos estão localizados nas frains, por conseguinte, a redução na fase inicial de soluções é impossível. Semelhante ao exemplo anterior, dobrar fracções:

Aqui estamos semelhante ao método especificado acima, percebeu e enrolado expressões pelas fórmulas da quantidade e da diferença de cubos.

Responder. .

Exemplo 3. expressão racional Simplifique .

Decisão. Pode notar-se que a segunda fracção denominador é decomposto nos factores pela fórmula dos cubos. Como já sabemos, a decomposição dos denominadores de fatores é útil para busca adicional para o menor denominador comum.

.

Indicamos o menor denominador geral de frações, é igual: , Uma vez que é dividida em um denominador da terceira fracção, e a primeira expressão é geralmente a todo e qualquer denominador é adequado para isso. Indicando as falhas adicionais óbvias, escreve:

.

Responder.

Consideremos um exemplo mais complexo, com frações "de vários andares".

Exemplo 4. provar a identidade Com todos os valores admissíveis da variável.

Prova. Para provar a identidade especificada, vamos tentar simplificar sua parte esquerda (complicado) para as espécies simples que é exigido de nós. Para fazer isso, executar todas as etapas com as fracções em que o numerador e o denominador, e depois dividir o fracção e simplificar o resultado.

. Provou para todos os valores válidos da variável.

Provado.

fonte Resumo: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-EPERAcii-nad-AlgeBraicHeskimi-Drobyami/Preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

Fonte de vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

As propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão são úteis na medida em que permite transformar somas e obras em expressões convenientes para a computação. Saiba como usar essas propriedades expressões Simplifique .

Calcule a quantidade:

52 + 287 + 48 + 13 =

Nessa expressão há números, quando os números "redondos" são disso. Percebendo isso, é fácil de calcular por via oral. Usamos a reavaliação do progresso.

Simplificar a quantidade de Movimento

Também para simplificar o cálculo das obras, você pode usar a Lei de Movimento de multiplicação.

7 · 2 · · 9 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 63 = 630 ·

As propriedades combinatórias e que se deslocam e são usados carta expressões Simplifique .

  • 6 · · um 2 = 6 · · 2 a = 12a
  • 2 · um · · 4 b = 2 · 4 · · um b = 8ab
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14Y - 12y = (14 - 12) · y = 2y

A lei de distribuição de multiplicação é muitas vezes usado para cálculos simplifique.

Distribuição multiplicação leiDistribuição multiplicação lei em relação à subtração

Aplicando a propriedade distribuição de multiplicação em relação à adição ou subtração à expressão " (A + B) · C e (A - B) · C "Recebemos uma expressão que não contém parênteses.

Neste caso, eles dizem que nós revelado (reduzido) suportes . Para usar propriedades não importa onde o multiplicador é gravado " c"- na frente de suportes ou depois.

Lembre-se entre parênteses em expressões.

  • 2 (t + 8) = 2t + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Lembrar! !

Se a letra não é registrada no caso, entende-se que há um fator numérico na frente da letra 1.

Multiplicador para suportes

Nós mudamos o direito eo lado esquerdo da igualdade:

(A + B) + AC AC C =

Nós temos:

CA + BC = (A + B) com

Nesses casos, eles dizem que a partir " AC + BC. » multiplicador comum tem sido feito «с"Para suportes.

Exemplos de um factor geral para suportes.

  • 73 · · 8 + 7 8 = (73 + 7) · · 8 = 80 = 8 640
  • 7x - x - 6 = (7-1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

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