Uproszczenie wyrażeń

Uproszczenie wyrażeń

Jednym z najczęstszych zadań w algebry brzmi tak: "Uprość wyrażenie". Można to zrobić za pomocą jednego z następujących technik, ale najczęściej będziesz musiał je połączyć.

Przynosząc podobne warunki.

Jest to najłatwiejsze z przyjęć. Podobny Nazywają się terminami, które mają tę samą część alfabetyczną. Na przykład taki jak wyrażenia 5 аi -6. а; -3. Hu. i 3. Wow ; 2 i 10. Więc. Możesz złożyć tylko podobne elementy; Jeśli literalna część elementów jest inna, to takie elementy są już niemożliwe. Zgadzam się, jeśli w moim życiu dodamy jabłka z paznokciami, wtedy będziemy mieli jakąś rodzaj grę w matematyce w ten sam sposób.

Na przykład upraszcza takie wyrażenie:

Wyrażenia podobne przydzienię różne kolory i obliczę. Przy okazji, znak przed terminem odnosi się do tego terminu.

Jak widzisz, nie ma już tych samych części alfabonowych. Wyrażenie jest uproszczone.

Mnożenie pojedynczego skrzydła i wielomianów.

Nie będę się kłócić - możesz pomnożyć liczby. A jeśli litery, stopnie, wsporniki do nich dodają?

Monomiały. - Jest to wyrażenie składające się z produktu liczb, liter, stopni, i musi koniecznie być w porządku. Zaskakująco, tylko numer 5 jest również nieakceptowany, a także samotna zmienna х.

Po mnożenia pojedynczych paneli wykorzystują zasady mnożenia stopni.

Przenieś trzy unebrays:

Różne kolory przydzielają to, co pomnorzę.

Wielomian - To suma jednokołowca.

Aby pomnożyć wyrażenie na wielomianach za wspornikami, aby pomnożyć każdą osobę w nawiasach. Szczegóły w poniższym przykładzie.

Pozostaje przypomnieć namnożenie wielomianu wielomianem. Dzięki temu konieczne jest pomnożenie każdej studni w pierwszych nawiasach do każdej osoby w pierwszych wspornikach, wyników składają lub odliczają w zależności od oznak warunków.

Dokonywanie wspólnego współczynnika wsporników.

Zrozumiemy przykład.

To wyrażenie jest podane:

Co jest powszechne dla tych dwóch warunków? W porządku, jest mnożnik w obu obu. x. On będzie ogólnym czynnikiem, który należy wyjąć.

Weź inny przykład.

Obie liczby w składnikach są podzielone na 2, a liczba 2 jest wspólnym czynnikiem. Ale nadal w tych homorałach jest ten sam list ale - Jeden w pierwszym stopniu, drugi - w drugim. Bierzemy go w mniejszym stopniu, tj. W pierwszym, będzie to drugi wspólny czynnik. Ogólnie rzecz biorąc, okaże się taki rekord:

Cóż, trzecim przykładem, tylko bez komentarza.

Możesz sprawdzić poprawność współczynnika ogólnego wspornika, ujawniając wsporniki (mnożenie).

Rozkład wielomianów na mnożnikach metody grupowania.

Jeśli potrzebujesz rozkładu wielomianu do mnożników, metoda grupowania będzie dla Ciebie przydatna.

Możliwe jest grupowanie wyrażeń tylko poprzez dokonanie ogólnych czynników na wspornik. Ale konieczne jest, aby wsporniki ostatecznie będą działać tak samo. Po co? Tak, a następnie, aby wykonać te wsporniki na inne wsporniki.

Przykład będzie wyraźny)

Podejmuję przykład najprostszy, czysty, aby zrozumieć, co należy zrobić.

W pierwszych dwóch terminach wspólnym czynnikiem jest zmienna а: Przeprowadzamy go na wspornik. W dwóch dwóch warunkach całkowity czynnik jest numer 6. Jest również przeprowadzany na wsporniki.

Czy widziałeś dwa identyczne wsporniki? Teraz są wspólnym czynnikiem. Wytrzymamy je za wspornikiem i dostać słodki produkt dwóch wsporników:

Rozkład kwadratu jest trzy decyzje dotyczące mnożników.

Pozwól kwadratowi trzy strzępości:

Aby rozłożyć go na mnożnikach, konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego

Następne równanie korzeni х1 и х2Zastąp w następującym wzorze:

Próbujemy.

Weź to trzy stęchy:

Znajdź korzenie równania kwadratowego.

Zastępujemy je w formule do rozkładu kwadratu Trzy rozkładu mnożników:

Coś za dużo minusów w drugim wsporniku. Nieco konwertuj:

Teraz wspaniały)

Czy nadal możesz się przydać:

- Zdolność do pracy ze zwykłymi frakcjami;

- zdolność do cięcia frakcji;

- znajomość formuł skróconych mnożenia.

Ale takie zadania mogą cię spotkać na egzaminie.

1) Uprość:

Rozwiązanie tutaj.

2) Znajdź wartość wyrażenia w określonych wartościach zmiennych:

Rozwiązanie tutaj.

3) Znajdź wartość ekspresji w określonych wartościach zmiennych:

Rozwiązanie tutaj.

Jest wiele podobnych zadań - nie pasują do nich wszystkich)

Mieć pytania? Napisz do mnie!

Twój osobisty nauczyciel.

Właściwa transformacja racjonalnych wyrażeń

Racjonalne wyrażenia i frakcje są kamieniem węgielnym całego przebiegu algebry. Ci, którzy uczą się pracować z takimi wyrażeniami, upraszczają je i położyć na mnożnikach, w rzeczywistości mogą rozwiązać wszelkie zadania, ponieważ transformacja wyrażeń jest integralną częścią jakichkolwiek poważnych równania, nierówności, a nawet zadania tekstowego.

W tym filmie zobaczymy, jak kompetentnie stosować formuły skróconego mnożenia, aby uprościć racjonalne wyrażenia i frakcje. Naucz widzieć te formuły, gdzie na pierwszy rzut oka nie ma nic. Jednocześnie powtarzamy taki prosty odbiór, jak rozkład kwadratowych potrójnych do mnożników przez dyskryminujący.

Jak pewnie domyśliłeś formuły na plecy, dziś będziemy studiować formuły skróconego mnożenia, a dokładniej, a nie same wzory, ale ich stosowanie do uproszczenia i zmniejszenia złożonych wyrażeń racjonalnych. Ale przed przełączeniem na rozwiązywanie przykładów, zbliżyćmy się do tych formuł lub zapamiętaj ich:

  1. $ {2}} {{2} - {{2} ^ {2}} = Left (A-B Po prawej) Lewa (A + B Prawa) $ - różnica kwadratów;
  2. $ {{left (a + b prawo)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2Ab + {{b} ^ {2}} $ - suma kwoty;
  3. $ {{left (a-b prawo)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2Ab + {{b} ^ {2}} $ - kwadrat różnicy;
  4. $ {3}} ^ {3} ^ {3}} = left (a + b prawo) Left ({{A} ^ {2}} - AB + {{B} ^ 2}} Prawo) $ - ilość kostek;
  5. $ {3} - {{3} ^ {{3} ^ {3}} = left (ab right) lewą ({{a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} Prawo) $ - różnica kostek.

Chciałbym również zauważyć, że nasz system szkolny edukacji jest zorganizowany w taki sposób, że jest z badaniem tego tematu, tj. Racjonalne wyrażenia, a także korzenie, moduły wszystkich uczniów powstają ten sam problem, który teraz wyjaśnię.

Faktem jest, że na samym początku studiowania formuł skróconych mnożenia, a zatem działania mające na celu zmniejszenie frakcji (jest gdzieś klasa 8) nauczyciele mówią coś w następujący sposób: "Jeśli coś jest niejasne, nie martw się, jesteśmy Ten temat nadal będzie wielokrotnie powrót w szkołach średnich, jak dokładnie. Przeanalizujemy go. " Cóż, wtedy na przełomie 9-10 klas, ten sam nauczyciele wyjaśniają tego samego uczniów, którzy nie wiedzą, jak rozwiązać racjonalne frakcje, o następujących przypadkach: "Gdzie byłeś poprzednie dwa lata? Był badany na algebrze w klasie 8! Co może być tutaj niezrozumiałe? Jest tak oczywiste! "

Jednak zwykłe uczniowie z takich wyjaśnień nie są wcale łatwiejsze: mają zarówno owsiankę, jak i pozostali, więc teraz przeanalizujemy dwa proste przykłady, na podstawie których i zobaczymy, jak w prawdziwych zadaniach przydziela te wyrażenia, które będą Poprowadź nas do formuł skróconych mnożenia i jak zastosować to, aby przekonwertować złożone wyrażenia racjonalne.

Zmniejszenie proste racjonalne frakcje

Numer zadania 1.

[Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {9 {{Y} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}}]

Pierwszą rzeczą, którą musimy się nauczyć, jest przeznaczenie dokładnych kwadratów w początkowej wyrażeniach i wyższych stopniach, na podstawie których możemy zastosować wzory. Spójrzmy:

[9 {{y} ^ {4}} = {{3}} = {} Cdot {{Y} ^ {4}} = {{3}} {2}} Cdot {{Left ({ {Y} ^ {2}}}} ^ {2}} = {{left (3 {y} ^ {2}} Prawo)} ^ {2}}]

[16 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} cdot {{x} ^ {2}} = {{left ({{2} ^ {2}} Prawo)} ^ {2}} Cdot {{X} ^ {2}} = {{lewe ({{2} ^ {2}} cdot x prawym)} ^ {2} } = {{left (4 {{x} ^ {2}} po prawej)} ^ {2}}]

Przepiszmy nasze wyrażenie z uwzględnieniem tych faktów:

[Frac {4x + 3 {{Y} ^ {2}}} {{{left (3 {y} ^ {2} prawej)} ^ {2}} - {{left (4x )} ^ {2}}} = frac {4x + 3 {{Y} ^ {2}}} {Left (3 {{Y} ^ {2}} - 4x Po prawej) Left (3 {{{ y} ^ {2}} + 4x Prawo)} = frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x}

Odpowiedź: $ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Zadanie numer 2.

Idź do drugiego zadania:

[Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}}]

Nie ma tu nic do uproszczenia, ponieważ jest stała w liczbie, ale zasugerowałem to zadanie, aby nauczyć się umieścić wielomianów zawierających dwie zmienne na mnożnikach. Jeśli zamiast tego napisano poniżej wielomianę, jak go rozkłada?

[{{X} ^ {2}} + 5x-6 = Left (X -... Prawa) Left (X -... PRAWO)]

Rozwiążmy równanie i znajdźmy $ X $, że możemy umieścić zamiast punktów:

[{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0

[D = 25-4 CDOT Left (-6 Po prawej) = 25 + 24 = 49

[sqrt {d} = 7

[{{x} _ {1}} = frac {-5 + 7} {2} = frac {2} {2} = 1

[{{x} _ {2}} = frac {-5-7} {2} = frac {-12} {2} = - 6

Możemy przepisać trzy kawałki w następujący sposób:

[{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{Y} ^ {2}} = left (x-1 po prawej) Left (x + 6 po prawej)

Dzięki kwadratowej potrójnej, nauczyliśmy się pracować - w tym celu i konieczne było nagranie tego samouczka wideo. A co, jeśli, z wyjątkiem $ x $ i jest kolejna $ y $ stała? Spójrzmy na nich za więcej elementów współczynników, tj. Przepiszmy nasze wyrażenie w następujący sposób:

[{{x} ^ {2}} + 5Y CDOT X-6 {{Y} ^ {2}}]

[A = 1; B = 5Y; C = -6 {{Y} ^ {2}}]

[D = {{Left (5Y)} ^ {2}} - 4 CDOT Left (-6 {{Y} ^ {2}} Prawo) = 25 {{Y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}}]

[sqrt {d} = 7Y

[{{x} _ {1}} = frac {-5y + 7y} {2} = y

[{{x} _ {2}} = frac {-5y-7Y} {2} = frac {-12y} {2} = - 6Y

Napisz dekompozycję naszego kwadratowego projektu:

[Left (X-Y PRAWO) LEWO (X + 6Y PRAWO)]

Całkowity, jeśli wrócimy do początkowej ekspresji i przepisujemy go, z uwzględnieniem zmian, a następnie otrzymujemy następujące elementy:

[Frac {8} {Left (X-Y PRAWO) Left (x + 6Y po prawej)}]

Co nam daje ten rekord? Nic, ponieważ nie przeciąwa go, nie pomnoży i nie jest podzielna. Jednakże, gdy tylko ta frakcja okazuje się integralną częścią bardziej złożonego wyrażenia, taki rozkład się okazuje się przy okazji. Dlatego, gdy tylko zobaczysz potrójną część kwadratową (nie ma znaczenia, jest ono pogorszenia przez dodatkowe parametry, czy nie), zawsze staraj się rozkładać go na mnożnikach.

Nuanse Solutions.

Pamiętaj, że główne zasady konwersji racjonalnych wyrażeń:

  • Wszystkie mianowniki i cyfry muszą być układane na mnożnikach lub przez wzory skróconego mnożenia lub przez dyskryminujący.
  • Konieczne jest pracowanie zgodnie z tym algorytmem: Kiedy patrzymy i próbujemy podkreślić formułę skróconej mnożenia, po pierwsze, starając się przełożyć wszystko do maksymalnego możliwego stopnia. Następnie wyruszymy wspólny stopień na wsporniku.
  • Wyrażenia z parametrem zostaną znalezione bardzo często: inne zmienne będą występować jako współczynniki. Znajdujemy je zgodnie z kwadratowym formułą rozkładu.

Tak szybko, jak tylko zobaczysz racjonalne frakcje, pierwszą rzeczą do zrobienia jest rozkłada i cyfrowo, a mianownik do mnożników (na liniowych wyrażeniach), podczas gdy używamy wzorów skróconego mnożenia lub dyskryminacji.

Spójrzmy na kilka takich racjonalnych wyrażeń i spróbuj je rozkładać je na mnożnikach.

Rozwiązywanie bardziej złożonych przykładów

Numer zadania 1.

[Frac {4 {x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{Y} ^ {2}}} {2x-3Y}} {2x-3Y} CDOT FRAC {9 {{Y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}} {8 {{X} ^ {3}} + 27 {{Y} ^ {3}}}

Przepisujemy i próbujemy rozkładać każdy z terminów:

[4 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {} cdot {{x} ^ {2}} = {{lewe (2x po prawej)} ^ {2}}]

[6xy = 2 CDOT 3 CDOT X CDOT Y = 2x CDOT 3Y

[9 {{y} ^ {2}} = {{3}} = {} cdot {{y} ^ {2}} = {{left (3Y po prawej)} ^ {2}}]

[8 {{x} ^ {3}} = {{2}} = {} cdot {}} cdot {{x} ^ {3}} = {{left (2x po prawej)} ^ { 3}}]

[27 {{Y} ^ {3}} = {{3}} = {} cdot {{y} ^ {3}} = {{left (3Y po prawej)} ^ {3}}]

Przepiszmy wszystkie nasze racjonalne wyrażenie z tymi faktami:

(Frac {{{left (2x po prawej)} ^ {2}} - 2x CDOT 3Y + {{Left (3Y PRAWO)} ^ {2}}} {2x-3Y} CDOT Frac {{{left (3y po prawej)} ^ {2}} - {{left (2x po prawej)} ^ {2}}} {{2}}} {{{left (2x racja)} ^ {3}} + {{left (3Y po prawej)} ^ {3}}} =

[= Frac {{lewe (2x)} ^ {2}} - 2x CDOT 3Y + {{Left (3Y PRAWO)} ^ {2}}} {2x-3Y} CDOT Frac {Left (3Y-2X PRAWO) LEWO (3Y + 2X PRAWO)} {Left (2x + 3Y po prawej) Left ({{left (2x) ^ {2}} - 2x CDOT 3Y + {{Left (3Y Po prawej)} ^ {2}} Prawo)} = - 1

Odpowiedź: $ -1 $.

Zadanie numer 2.

(Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} ^ {2}} + 4x + 8} CDOT FRAC {2X + 1} {{2X {X} ^ {2}} + 4-4x} Cdot frac {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1}

Rozważmy wszystkie frakcje.

Najpierw:

[3-6x = 3 Left (1-2x racja)

[2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 Left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}

Druga:

[{{X} ^ {2}} + 4-4x = {x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 CDOT 2X + {{2} ^ {2}} = {{left (x-2 po prawej)} ^ {2}}]

Trzeci:

[8 - {{x} ^ {3}} = {{2} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = left (2-x prawy) ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}}

[4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} Cdot {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{ (2x racja)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = Left (2x-1 po prawej) Left (2x + 1 po prawej)

Przepiszliśmy cały projekt, z uwzględnieniem zmian:

[Frac {3 Left (1-2x Prawa)} {2 Left ({{X} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} Prawo)} Cdot Frac {2X + 1} {{{left (X-2 po prawej)} ^ {2}}} CDOT FRAC {Left (2-x prawy) Left ({{2} ^ {2}} + 2x + {x} ^ {2}} po prawej)} {Left (2x-1 Po prawej) Left (2x + 1 po prawej)} =

[= Frac {3 Cdot Left (-1 Po prawej)} {2 CDOT Left (X-2 PRAWO) CDOT Left (-1 Po prawej)} = frac {3} {2 Left (X-2 po prawej)}]

Odpowiedź: $ frac {3} {2 left (X-2 po prawej)} $.

Nuanse Solutions.

Więc to, czego się nauczyliśmy:

  • Nie każde potrójne kwadratowe zmniejsza się do mnożników, w szczególności odnosi się to do niekompletnego kwadratu kwoty lub różnicy, które są bardzo często występujące jako część kostek kwoty lub różnicy.
  • Stałe, tj. Konwencjonalne liczby, które nie mają z nimi zmiennych, mogą działać jako aktywne elementy w procesie rozkładu. Po pierwsze, można je wyjąć z nawiasów, po drugie, same stałe mogą być prezentowane w formie stopni.
  • Bardzo często po rozkładzie wszystkich elementów na mnożnikach pojawiają się przeciwne struktury. Zmniejszenie tych frakcji musi być niezwykle schludny, ponieważ z podkręcaniem albo z góry, albo jest dodatkowy mnożnik -1 $ - jest to konsekwencja tego, co są przeciwne.

Rozwiązanie złożonych zadań

[Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{b} ^ {3}}} {{3}} {{2}} {2}} - 4}: frac {9 {{A} ^ {2}} + 12Ab + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4b + 4}]

Rozważ każdy termin oddzielnie.

Pierwsza frakcja:

\ [27 {{A} ^ {3}} = {{3}, ^ {3}} \ cdot {{A} ^ {3}} = {{\ lewo (3a \ prawo)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{B}, ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} \ cdot {{B}, ^ {3}} = {{\ lewo ({{2} ^ {2}} \ prawy)} ^ {3}} \ cdot {{b}, {{3}} = {{}} = {{\ lewo ({{2} ^ {2}} \ cDOT b \ prawy) } ^ {3}} = {{\ lewo (4B \ prawy)} ^ {3}} \]

\ [{{\ Lewo (3a \ prawej)} ^ {3}} - {{\ lewo (4b \ prawej)} ^ {3}} = \ lewo (3A-4B \ prawy) \ lewo ({{\ lewej (3A \ prawy)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ lewo (4b \ prawej)} ^ {2}} \ prawy) \]

\ [{{B}, ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ lewo (b-2 \ po prawej) \ lewo (b + 2 \ prawy) \]

Druga:

\ [9 {{A} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{A} ^ {2}} = {{\ lewo (3a \ prawej)} ^ {2}} \]

\ [16 {{B}, ^ {2}} = {{4}} = {} \ cdot {{B}, {{2}} = {{\ lewo (4b \ prawej)} ^ {2}} \]

\ [12ab = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Cały licznik drugiej frakcji można przepisać w następujący sposób:

\ [{{\ Lewo (3a \ prawej)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ lewej (prawej) 4b \} ^ {2}} \]

Teraz przyjrzyjmy się mianownika:

\ [{{B}, ^ {2}} + 4b + 4- {{B}, ^ {2}} + 2 \ cdot 2B + {{2} ^ {2}} = {{\ lewo (b + 2 \ w prawo)} ^ {2}} \]

Załóżmy przepisać wszystko racjonalnego wyrażenia, biorąc pod uwagę powyższe fakty:

\ [\ FRAC {\ lewo) \ lewo ({{\ lewo (3a \ prawej)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ lewo (4b \ prawej)} ^ {2}} \ prawy) } {\ lewy (B-2 \ prawy) \ lewy (B + 2 \ prawy)} \ CDOT \ FRAC {{{\ lewo (b + 2 \ prawy)} ^ {2}}} {{{\ lewo ( 3a \ prawej)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ lewo (4b \ prawej)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ FRAC {\ lewo) \ lewo (b + 2 \ po prawej)} {\ lewy (B-2 \ prawy)} \]

Odpowiedź: $ \ FRAC {\ left (3A-4B \ right) \ left (B + 2 \ right)} {\ left (B-2 \ right)} $.

Nuanse Solutions.

Jak po raz kolejny przekonany, niekompletne kwadratów ilości lub niekompletnych kwadratów różnic, które często znajdują się w prawdziwych wyrażeń wymiernych, ale nie bój się ich, ponieważ po konwersji każdego elementu, są one prawie zawsze zmniejszona. Ponadto, w żadnym wypadku nie należy bać się dużych wzorów w całkowitej odpowiedzi - to jest całkiem możliwe, że to nie jest błąd (zwłaszcza jeśli wszystko jest określone dla multiplikatorów) i ten autor pomyślany taką odpowiedź.

Podsumowując, chciałbym demontować kolejny skomplikowany przykład, którego nie należy już bezpośrednio do racjonalnych frakcji, ale zawiera wszystko, co czeka na Ciebie w tych kontroli i egzaminów, a mianowicie: rozkład mnożników, przynosząc do wspólnego mianownika, A redukcja w takich warunkach. To jest dokładnie to, co będziemy teraz iść.

Rozwiązując trudne zadanie uproszczenie i przekształcania wyrażeń wymiernych

\ [\ Lewo (\ Frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ FRAC {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ FRAC {1} {x-2} \ prawy) \ Cdot \ lewo (\ FRAC {{{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ FRAC {2}, {2-x} \ prawy) \]

Po pierwsze, należy rozważyć i ujawniają pierwszy wspornik: widzimy trzy osobne frakcje o różnych mianownikach więc pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to przynieść wszystkie trzy frakcje do wspólnego mianownika, a do tego każda z nich powinna być rozłożona na mnożników:

\ [{{X} ^ {2}} + 2x + 4- {{x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}} \]

\ [{{X} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ lewo (x 2 \ po prawej) \ lewo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ prawy) \]

Mamy przepisać cały nasz projekt w następujący sposób:

\ [\ FRAC {x} {{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ FRAC {{{x} ^ {2}} + 8} {\ lewo ( x -2 \ prawy) \ lewo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ prawej)} - \ szczelinowania {1} {x-2} = \]

\ [= \ FRAC {x \ lewo (x 2 \ po prawej) + {{x} ^ {3}} + 8 \ w lewo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ prawy)} {\ lewo (x 2 \ po prawej) \ lewo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ prawy)} = \]

\ [= \ Frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2X-4} {\ lewo (X 2 \ prawy) \ lewo ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ prawy)} = \ FRAC {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ lEWO (x-2 \ prawy) \ lewo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ prawy)} = \]

\ [= \ FRAC {{\ lewo (x 2 \ po prawej)} ^ {2}}} {\ lewo (x 2 \ po prawej) \ lewo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ prawy)} = \ {x FRAC-2}, {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Jest to wynik obliczeń z pierwszego wspornika.

Rozumiemy drugim wspornikiem:

[{{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = Left (X-2 po prawej) Left (X + 2 DOBRZE) \]

Przepiszliśmy drugi wspornik ze zmianami:

[Frac {{{X} ^ {2}}} {Left (X-2 Po prawej) Left (x + 2 Po prawej)} + frac {2} {x-2} = frac {x-2} = {{X} ^ {2}} + 2 Left (X + 2 Po prawej)} {Left (X-2 Po prawej) Left (x + 2 Po prawej)} = frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {Left (X-2 Po prawej) Left (X + 2 Po prawej)}]

Teraz napisz cały projekt źródłowy:

(Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} cdot frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {Left (X-2 Prawda) Lewa (x + 2 po prawej)} = frac {1} {x + 2}]

Odpowiedź: $ frac {1} {x + 2} $.

Nuanse Solutions.

Jak widać, odpowiedź okazała się dość rozsądna. Uwaga: Bardzo często, z takimi obliczeniami na dużą skalę, gdy jedyna zmienna jest tylko w mianowniku, uczniowie zapominają, że jest to mianownik, a on powinien był stał ułamek w diecie i napisać to wyrażenie do licznika - to jest błędem brutto.

Ponadto chciałbym zwrócić szczególną uwagę na sposób wykonania takich zadań. W dowolnych skomplikowanych obliczeniach wszystkie kroki są wykonywane na działaniach: Najpierw uważamy go oddzielnie, a następnie łączymy oddzielnie i dopiero na końcu łączymy wszystkie części i rozważamy wynik. W ten sposób ubezpieczamy się od głupich błędów, starannie zapisz wszystkie obliczenia, a jednocześnie nie spędzać dodatkowego czasu, jak może wydawać się na pierwszy rzut oka.

Do nowych spotkań!

Zobacz też:

  1. Jak dokonać redukcji racjonalnych frakcji bez błędów? Prosty algorytm na przykładzie pięciu różnych zadań.
  2. Frakcyjne wyrażenia racjonalne
  3. Jak zdać egzamin w matematyce
  4. Próbna EGE 2012. Opcja 12 (bez logarytmów)
  5. Metoda interwałowa: przypadek niesamowitych nierówności
  6. Testowanie problemów B14: Easy Level, 1 opcja

Uwagi nauczyciel

Lekcja: Transformacja wyrażeń racjonalnych

Przypominając najpierw określając racjonalną ekspresję.

Definicja. Racjonalny Wyrażenie - Wyrażenie algebraiczne, które nie zawiera korzeni i obejmuje tylko działania dodatku, odejmowania, mnożenia i podziału (erekcja).

Pod koncepcją "Konwersja racjonalnego wyrażenia", mamy na myśli przede wszystkim jego uproszczenie. I jest przeprowadzona w procedurze znanej nam: pierwsze działania w nawiasach Praca liczb (Rzuć się do stopnia), podział liczb, a następnie dodatki / odejmowanie.

Głównym celem dzisiejszej lekcji będzie nabywanie doświadczeń w rozwiązywaniu bardziej złożonych zadań w celu uproszczenia racjonalnych wyrażeń.

Przykład 1. Uprość racjonalne wyrażenie .

Decyzja. Początkowo może wydawać się, że określone frakcje można zmniejszyć, ponieważ wyrażenia w frakcjach są bardzo podobne do formuł pełnych kwadratów odpowiednich mianów. W tym przypadku ważne jest, aby nie spieszyć się, ale oddzielnie sprawdź, czy jest to.

Sprawdź licznik pierwszej frakcji: . Teraz numer jest drugi: .

Jak widać, nasze oczekiwania nie były uzasadnione, a wyrażenia w licznikach nie są kompletnymi kwadratami, ponieważ nie mają podwojenia pracy. Takie wyrażenia, jeśli przypomniemy ocenę 7, nazywane są niekompletne kwadraty. Powinien być bardzo uprzejmy w takich przypadkach, ponieważ zamieszanie kompletnego formuły kwadratowej z niekompletnym jest bardzo częstym błędem, a takie przykłady sprawdzają uwagę ucznia.

Ponieważ redukcja jest niemożliwa, wykonujemy dodanie frakcji. Niewygodne nie mają wspólnych czynników, więc po prostu zmieniają się, aby uzyskać najmniejszy wspólny mianownik, a dodatkowy czynnik dla każdej frakcji jest mianownik innej frakcji.

 

Oczywiście, możesz ujawnić wsporniki, a następnie przynieść podobne warunki, jednak w tym przypadku możesz wykonać następującą siłę i zauważyć, że w liczniku pierwsza kadencja jest formułą sumy kostki, a druga jest różnicą kostek . Dla wygody wycofajmymy te wzory w formie ogólnej:

 и .

W naszym przypadku wyrażenie w numeratorze jest zawalony w następujący sposób:

Druga ekspresja jest podobna. Mamy:

.

Odpowiadać. .

Przykład 2. Uprość racjonalne wyrażenie .

Decyzja. Ten przykład jest podobny do poprzedniego, ale jest natychmiast widoczny, że niekompletne kwadraty znajdują się w frainach, dlatego redukcja na początkowym etapie rozwiązań jest niemożliwa. Podobny do poprzedniego przykładu składamy frakcje:

Tutaj jesteśmy podobni do metody określonej powyżej, zauważyła i zwinięta wyrażenia przez wzory ilości i różnicy kostek.

Odpowiadać. .

Przykład 3. Uprość racjonalne wyrażenie .

Decyzja. Można zauważyć, że drugi mianownik frakcji jest rozkładany na czynniki według wzoru kostek. Jak już wiemy, rozkład mianowników na czynniki jest przydatna do dalszego poszukiwania najmniejszego wspólnego mianownika.

.

Wskazujemy najmniejszy ogólny mianownik frakcji, jest równy: Ponieważ jest on podzielony na mianownik trzeciej frakcji, a pierwsze wyrażenie jest ogólnie całe, a każdy mianownik jest odpowiedni dla niego. Wskazując oczywiste dodatkowe błędy, napisz:

.

Odpowiadać.

Rozważ bardziej złożony przykład z frakcjami "Multi-Storey".

Przykład 4. Udowodnić tożsamość Ze wszystkimi dopuszczalnymi wartościami zmiennej.

Dowód. Aby udowodnić określoną tożsamość, spróbujemy uprościć jego lewą część (skomplikowaną) do prostego gatunku, które jest wymagane od nas. Aby to zrobić, wykonaj wszystkie kroki z frakcjami w liczniku i mianowniku, a następnie podzielić frakcję i uprościć wynik.

. Okazał się dla wszystkich ważnych wartości zmiennej.

Udowodnione.

Abstrakcyjne źródło: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-eepry-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-rationsalnyH-vyrazheniy?konSpekt&chapter_id=13.

Źródło wideo: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i podziału są przydatne, ponieważ pozwala przekształcić sumy i prace w wygodnych wyrażeniach obliczeń. Dowiedz się, jak używać tych właściwości Uprość wyrażenia .

Oblicz kwotę:

52 + 287 + 48 + 13 =

W tym wyrażeniu znajdują się liczby, gdy "okrągłe" liczby są dodawane. Zauważając to, łatwo jest obliczyć ustnie. Używamy ponownej oceny postępu.

Uprość ilość ruchu

Aby uprościć również obliczenie robót, możesz użyć aktu ruchu mnożenia.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Właściwości kombinatywne i poruszające są używane i Uprość wyrażenia listów .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · a = 12a
  • 2 · 4 · B = 2 · 4 · A · B = 8Ab
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · y = 2Y

Prawo dystrybucji mnożenia jest często używane do uproszczenia obliczeń.

Mnożenie prawa dystrybucyjnegoMnożenie prawa dystrybucyjnego w stosunku do odejmowania

Stosowanie właściwości dystrybucji mnożenia w stosunku do dodawania lub odejmowania wyrażenia " (A + b) · c i (a - b) · c "Dostajemy wyrażenie, które nie zawiera wsporników.

W takim przypadku mówią, że my ujawnione (obniżone) wsporniki . Aby użyć właściwości nie ma znaczenia, gdzie odnotowano mnożnik " c"- przed nawiasami lub po.

Przypomnij wsporniki w wyrażeniach.

  • 2 (t + 8) = 2t + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Pamiętać! !

Jeśli litera nie zostanie zapisana w przypadku, rozumie się, że przed literą jest współczynnik numeryczny 1.

Mnożnik do nawiasów

Zmieniamy prawą i lewą część równości:

(A + B) C = AC + BC

Dostajemy:

AC + BC = (A + B) z

W takich przypadkach mówią to z " AC + BC. » Wspólny mnożnik został wykonany «с"Dla wsporników.

Przykłady ogólnego współczynnika wsporników.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - X - 6 = (7 - 1) X - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий