Өрнектерді жеңілдету

Өрнектерді жеңілдету

Алгебрадағы ең көп таралған міндеттердің бірі: «Өрнекті жеңілдетіңіз». Мұны келесі әдістердің бірін қолдану арқылы жасауға болады, бірақ көбінесе сіз оларды біріктіруіңіз керек.

Ұқсас шарттарды келтіру.

Бұл қабылдаудың ең оңай. Тәрізді Олар бірдей алфавиттік бөлікке ие терминдер деп аталады. Мысалы, 5 өрнектер ажәне -6 а; -3. Ху. және 3. Мәссаған ; 2 және 10. Сонымен. Сіз тек ұқсас компоненттерді бүктеуге болады; Егер компоненттердің тура бөлігі басқаша болса, онда мұндай компоненттер қазірдің өзінде мүмкін емес. Келіңіз, егер менің өмірімде біз өз өмірімде тырнақтармен алма қосамыз, содан кейін бізде қандай да бір ойын болады), математикада да солай болады.

Мысалы, осындай өрнекті жеңілдетеді:

Ұқсас терминдер Мен әртүрлі түстерді бөліп, есептеймін. Айтпақшы, терминнің алдындағы белгі осы мерзімге қатысты.

Көріп отырғаныңыздай, сол алфавоздың бөліктерінен артық емес. Өрнек жеңілдетілген.

Бір қанатты және көпмүшелердің көбейту.

Мен дауласпаймын - сандарды көбейтуге болады. Егер әріптер, градус, кронштейндер оларға қосылса?

Мономиялық - Бұл сандар, әріптер, дәрежелер, градус өнімдерінен және міндетті түрде бәрі дұрыс болуы керек. Таңқаларлығы, 5-сан, сондай-ақ Ылғалданбайды, сонымен қатар жалғыз айнымалы х.

Бір панельдерді көбейту кезінде градустандық көбейту ережелерін қолданыңыз.

Үш бос орынды жылжытыңыз:

Әр түрлі түстер мен көбейтетінімді бөледі.

Көпмүшелік - Бұл бір қанатты қосынды.

Жақшалардың артындағы полиномдардағы өрнектерді жақшадағы әр адамға көбейту үшін көбейту. Толығырақ келесі мысалда.

Бұл көпмүшеліктерді көпмүшеліктерді көбейтуді еске түсіреді. Сонымен бірге, әрбір ұңғыманы бірінші жақшадағы әр адамға бірінші жақшалардағы көбейту керек, терминдердің белгілеріне байланысты нәтижелер бүктеу немесе шегерімдеу қажет.

Жақшаға ортақ фактор жасау.

Біз мысалды түсінеміз.

Бұл өрнек беріледі:

Осы екі терминге не ұқсайды? Дәл осыған дұрыс, екеуінде де көбейткіш бар. x. Ол жалпы фактор болады, оны шығару керек.

Тағы бір мысалды алыңыз.

Компоненттердегі екі сан да 2-ге бөлінеді, содан кейін 2 саны жалпы фактор болып табылады. Бірақ бұл гульстарда бәрі бірдей хат бар - Бірінші дәрежеде біреуі, екіншісі - екіншісінде. Біз оны аз дәрежеде қабылдаймыз, И.Е. Біріншісінде бұл екінші ортақ фактор болады. Жалпы, ол мұндай жазбаны шығарады:

Ал, үшінші мысал, тек түсініксіз.

Жақшалар (көбейту) арқылы жақшалар үшін жалпы фактордың дұрыстығын тексеруге болады.

Топтау әдісінің көбейткіштеріндегі көпмүшелердің ыдырауы.

Егер сіз көпмүшеліктермен көп мөлшерде пиномәтінділерге тұруыңыз керек болса, онда топтау әдісі сізге пайдалы болады.

Өрнектерді тек жақшаға жалпы факторлар жасау арқылы топтастыруға болады. Бірақ оны жақшалар бір-бірінен шығаратындай етіп жасау керек. Не үшін? Ия, содан кейін, содан кейін бұл жақшаларды басқа жақшаларға жасау үшін.

Мысал анық болады)

Мен не істеу керектігін түсіну үшін қарапайым, таза мысал келтіремін.

Алғашқы екі шартта жалпы фактор айнымалы болып табылады а: Біз оны кронштейнге шығарамыз. Екінші екі шартта жалпы фактор - 6 саны, ол жақшалар үшін де жүзеге асырылады.

Сіз екі бірдей жақшаны көрдіңіз бе? Қазір олар жалпы фактор. Біз оларды кронштейннің артында және екі жақшаның сүйкімді өнімін табамыз:

Алаңның ыдырауы - көбейту туралы үш шешім.

Алаңды үш ұсақтап жіберіңіз:

Мультипликаторларға ыдырау үшін шаршы теңдеуін шешу қажет

Келесі тамыр теңдеуі х1 и х2Келесі формуланы алмастырыңыз:

Біз тырысамыз.

Осы үш ескірді алыңыз:

Шаршы теңдеудің тамырын табыңыз.

Біз оларды квадраттың ыдырауының формуласына алмастырамыз, үшеуі мультипликаторлардың ыдырауы:

Екінші кронштейнде көптеген минус бір нәрсе. Аздап айырбастаңыз:

Қазір керемет)

Сіз әлі де ыңғайлы бола аласыз ба?

- қарапайым фракциялармен жұмыс істей білу;

- бөлшекті кесу мүмкіндігі;

- қысқартулар көбейту формулаларын білу.

Бірақ мұндай тапсырмалар сізбен емтиханнан кездесуі мүмкін.

1) Жеңілдетіңіз:

Мұнда шешім.

2) Айнымалылардың көрсетілген мәндерінде өрнектің мәнін табыңыз:

Мұнда шешім.

3) Айнымалылардың белгіленген мәндерінде өрнектің мәнін табыңыз:

Мұнда шешім.

Ұқсас міндеттер көп - олар бәріне сәйкес келмейді)

Сұрақтарыңыз бар ма? Маған жаз!

Сіздің жеке мұғаліміңіз.

Рационалды өрнектерді сауатты қайта құру

Рационалды өрнектер мен фракциялар алгебраның бүкіл курсының негізі болып табылады. Осындай өрнектермен жұмыс істеуге, оларды жеңілдететіндер, іс жүзінде олар кез-келген тапсырманы шеше алады, өйткені өрнектерді қайта құру кез-келген маңызды теңдеудің, теңсіздіктің, тіпті мәтіндік тапсырманың ажырамас бөлігі болып табылады.

Бұл бейнеде біз ұтымды өсиеттер мен фракцияларды жеңілдету үшін қысқартылған көбейту формулаларын қалай қолдануға болатынын көреміз. Мұндай формулаларды көруге үйретіңіз, қай жерде, бір қарағанда, ештеңе жоқ. Сонымен бірге, біз осындай қарапайым қабылдауды қайталаймыз, өйткені квадрат үштікті кемсітушілерге кемсітушілерге дейін көбейтеміз.

Сіз менің арқамға формулалар ойластырған болсаңыз, бүгінде біз қысқартулардың көбейту формулаларын және дәл, дәл емес, өздері формулаларды емес, оларды кешенді ұтымды өрнектерді жеңілдету және азайту үшін қолданамыз. Бірақ мысалдарды шешпес бұрын, осы формулаларға жақындайық немесе оларды есте сақтайық:

  1. $ {{a} {^ ^ {2}} {}}}} {{} {^ ^ {2} ^ {2}} {2}}}} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r (A-b \ оң) (A + B \ DISE) $ - квадраттардың айырмашылығы;
  2. $ {{\ сол жақ (A + B \ оң жақ)} ^ {2}} = {{a} {} {^ ^ {2}}} + 2AB + {{{{{{{}} {2}} $ - қосынды сомадан;
  3. $ {{\ сол жақ (A-B \ оң жақ)} ^ {2}} = {{a}} {{a}} {2}}} {2}}} {2} {}} {2}} $ - айырмашылықтың квадраты;
  4. $ {{a} {} ^ ^ {3}}} {3} {{} {} ^ {3}} ^ {3}} ^} \ \ \ \ \ \ \ \ \} {^ {^ {^ {2}}}} -}}} -}} ^ ^ ab + {{b} ^ 2}} \ оң) $ - текшелердің мөлшері;
  5. $ {{a} ^ {} {} ^ {3}}} {{} {3}} {^ ^ ^ ^} ^} \ \ \ \ {\} ^ {2} {^ 2}}} + {^ 2}} + {{{{{{b} ^ {{{{b} ^ {{{{{{{{} }} \ Оң) $ - текшелердің айырмашылығы.

Біздің мектептің білім беру жүйесі бұл тақырыпты зерттеумен байланысты екенін атап өткім келеді, яғни И.Е. Рационалды өрнектер, тамырлар, барлық студенттердің модульдері мен қазір түсіндіретін мәселені тудырады.

Фактілерді көбейту формулаларын және сәйкесінше, фракцияларды азайтуға арналған іс-әрекеттер (бұл 8-сынып), «егер бір нәрсе түсініксіз», - дейді: «Егер бірдеңе түсініксіз болса, онда сіз алаңдамайсыз, біз Бұл тақырыптар әлі де қайталап, орта мектептерде дәл солай болады. Біз оны талдаймыз ». Сонымен, 9-10 сыныптың кезегінде, дәл сол мұғалімдер рационалды фракцияларды қалай шешпейтін студенттерді түсіндіреді, олар: «Сіз алдыңғы екі жыл қайда болдыңыз? Ол алгебрада 8-сыныпта оқыды! Мұнда не түсініксіз болуы мүмкін? Бұл өте айқын! »

Алайда, мұндай түсініктемелердің кәдімгі шәкірттері мүлдем оңай емес: оларда екі ботқасы бар, сондықтан қазір біз екі қарапайым мысалды талдаймыз, оның негізінде екі қарапайым мысалды талдаймыз және біз бұл өрнектерді қалай бөлу үшін нақты тапсырмалардан қалай қарайтынын көреміз Бізді қысқартудың көбейту формулаларына және оны күрделі рационалды өрнектерді түрлендіруге қалай қолдануға болады.

Қарапайым рационалды фракцияларды азайту

Тапсырма нөмірі 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {4x + 3 {{{{} ^ {{}} ^ {{{}} {{{y} ^ {{y} ^ {{} ^ {4}} {4}} {{} {} ^ ^ {2}}}} \]

Біз бірінші кезекте білуіміз керек, бастапқы өрнектерде және жоғары дәрежеде дәл квадраттар бөлу, оның негізінде біз формулаларды қолдануға болады. Көріп отырайық:

\ [9 {{{}} {{}} ^ {} ^ {}} = {{3} \ cdot} {} \ cdot} ^ ^ ^ 4}} ^ ^ ^ 4}} {{} ^} {{3}} {2}} \ cdot \ cdot {{\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {{{ {Y} ^ {2}} ^ {2}} \ {2}} = ^ {2}} {{}}} ^ ^ {2}} ^ {2}}} \} ^ {2}}}} \]

\ [16 {{{} ^ {^ ^ {} {} {}} = {{2} ^ {^ ^ {4} {{4}} ^ {4}} \ cdot} \ cdot} ^ {} ^ ^ {2}} = {{}}} {{{}}} {{{2} ({{{2} ^ {{{{}) {2}}}} \ {2}} \ cdot {} {} ^ {2} ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^} ^ ^ ^} ^ ^} {^} {{} ^ {^ ^ {2}} ^ {2}} \ cdot x \ doice)} ^ {2} } = {{\ сол жақ (4 {{x} ^ {^ ^} ^}}}}}} \ {{2}} ^ {2}} \]

Осы фактілерді ескере отырып, біздің сөзімізді қайта жазайық:

\ [\ Frac {4x + 3 {{{{} {{} ^ {2}} ^ {2}} {{\}}} ^ ^ {2} ^ ^ ^ {2} \ {2} \ {2} \ {2}} - ^ {2}} - {{\ сол жақ (4x \) )} {{2}}} {\ {4x + 3 {{{{{{} {{{2} ^ {{2}} {{2}} {\} {\ {} ^ ^ ^ ^ ^ ^ {2}} ^ ^ {2}}} ^} ^ of}} {\ dofe) \ \ {\ {\ { y} ^ {2}}} {2}}} + 4x \ оң)} = \ {1} {1} {3 {{} ^ {2} ^ {2}} - 4x}} \]

Жауап: $ \ Frac {1} {3 {{{} ^ {2}} {2}} - 4x} $.

№ 2 тапсырма.

Екінші тапсырмақа барыңыз:

\ [\ Frac {8} {{{8} {{{} ^ {2}}}}}} + 5xy-6 {{{y} {{2}}} \] \]

Мұнда жеңілдететін ештеңе жоқ, өйткені сандарда үнемі бар, бірақ мен бұл міндетті екі айнымалысы бар полиномиалдарды көбейткіштерге қоюды үйрендім. Егер оның орнына ол көпмүшелік түрде жазылса, біз оны қалай безендіре аламыз?

\ [{{{x} ^ {^ {2}}}}}}} + 5x-6 = \ Left (x -... \ оң) \ сол жақ (x -... \ оң) \]

Теңдеуді шешіп, біз ұпайлардың орнына салуға болатын X $ табайық:

\ [{{x} ^ {^ {2}}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ CDOT \ сол жақ (-6 \ оң жақ) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{{x} _ {}}}}}}}} = \ frac {{-5 + 7} {2} {2} =} frac {2} {2} {2} {2} = 1 \]

\ [{{{x} _ {2}}}}}}}}} = \ frac {-5-7} {2} {} =} frac {-12} {2} {2} = - 6 \]

Үш дана келесідей қайта жаза аламыз:

\ [{{x} {^ {^ {^ {2}}} + 5xy-6 {{{{{} {{2} ^ {2} ^ {2}} ^ {2}} = \ \ \ \ \ \ \ \ r (x-1 \ оң) және сол жақ (x + 6 \ оң) \]

Шаршы квадратпен біз жұмыс істеуді үйрендік - бұл үшін осы бейне оқулықты жазу қажет болды. Егер $ x $ қоспағанда, егер $ Y $ тұрақты болса ше? Оларды коэффициенттердің тағы бір элементі ретінде қарастырайық, I. Біздің өрнекімізді келесідей жазайық:

\ [{{x} ^ {^ {2}}} + 5y \ CDOT X-6 {{Y} ^ ^ ^ {2}} \]

\ [A = 1; B = 5y; c = -6 {{{{Y} ^ {2} \]

\ [D = {{\ сол жақ (5y \ оң жақ)} ^ {2}} - 4 \ cdot \ сол жақ (-6 {{}} ^ {2} ^ {2}} \ {{{} {{{} ^ {{} ^ ^ {2} } +24 {{Y} {{{} {} {2}} = 49 {{Y} ^ ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{{{x} _ {1}}}}}}}} \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}}}}}}}}} = \ frac {-5y -7y} {2} {} =} frac {-12Y} {2} {2} = - 6y \]

Біздің шаршы дизайнымыздың ыдырауын жазыңыз:

\ [\ сол жақ (x-y \ оң жақ) \ сол жақ (x + 6y \ оң жақ) \]

Егер біз бастапқы өрнекке оралсақ және оны қайта жазсақ, оны қайта жазсақ, онда біз келесідей аламыз:

\ [\ Frac {8} {\ {\ lOLD (x-y \ оң) \ сол жақ (x + 6y \ оң)} \]

Бұл рекорд бізге не береді? Ештеңе, өйткені ол оны кесіп тастамайды, көбеймейді және бөлінбейді. Алайда, бұл бөлшек неғұрлым күрделі өрнектің ажырамас бөлігі болып табыла бастағанда, мұндай ыдырау жолмен айналады. Сондықтан, сіз квадрат үштікті көргеннен кейін (маңызды емес, қосымша параметрлермен ауырады немесе олай емес), әрқашан оны көбейтуге тырысыңыз.

Шешімдер

Рационалды өрнектерді түрлендірудің негізгі ережелерін есте сақтаңыз:

  • Барлық конфессиялар мен сандар көбейтуге немесе қысқартулармен немесе қысқарту формулаларында немесе кемсітушілікке ие болуы керек.
  • Осы алгоритмге сәйкес жұмыс істеу керек: біз қарап, қысқартуды көбейту формуласын бөліп, ең алдымен барлығын максималды дәрежеде аударуға тырысқанда. Осыдан кейін біз кронштейнге ортақ дәреже аламыз.
  • Параметрлермен өрнектер жиі кездеседі: басқа айнымалылар коэффициенттер ретінде пайда болады. Біз оларды квадрат ыдырау формуласына сәйкес табамыз.

Осылайша, сіз ұтымды фракцияларды көре салысымен, бірінші нәрсе - бұл бірінші нәрсе, ал санаушы, ал санаушы, ал көбейткіштер (сызықты өрнектерде), ал біз қысқартулар көбейтіліп немесе дискриминанттардың формулаларын қолданамыз.

Осындай рационалды өрнектерді қарастырайық және оларды көбейтуге тырысайық.

Кешенді мысалдарды шешу

Тапсырма нөмірі 1.

\ [\ FRAC {4 {{х} ^ {2}} - 6XY + 9 {{Y} ^ {2}}} {2x-3Y} \ Cdot \ FRAC {9 {{Y} ^ {2}} - 4 {{x} {^ ^ {2}}} {8 {{o} ^ ^ {{} ^ {3}} ^ 27 {{{{} {{{} ^ {3}}}} \]

Біз қайта жазып, шарттардың әрқайсысын ыдыраймыз:

\ [4 {{{} ^ {} {} ^ {}} {}} {} {} {} \ cdot {{} \ cdot {} \ cdot} ^ {2} ^ {^ 2}}}}} ^ ^ ^}}} = {{\ сол жақ (2x \ оң)} ^ {{2}} \]

\ [6xy = 2 \ CDOT 3 \ CDOT X \ CDOT \ CDOT \ CDOT \ CDOT 3Y \]

\ [9 {{{} ^ {} ^ {2}} = {{3}} {} \ cdot {} \ cdot} {} \ cdot} ^ {2} ^ ^ ^ {2}}}} ^ ^ 2}} = {{\}}}}}} {\}}} ^ {{2}} ^ {{2}}}]

\ [8 {{{}} ^ {3}} {}}} {} {}} \ cdot {} \ cdot {} \ cdot & {} \ cdot {} \ cdot ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 3}}} {^ ^ 3}} = {{\}}}}}}}} {\} 3}} \]

\ [27 {{}} {{} ^ {}} = {{3}} {} \ cdot {{} \ cdot} {} \ cdot} ^ {} ^ ^ {3}}} ^ ^ 3}} = {{\}}}}} {\}}} ^ {{3}}]

Осы фактілермен барлық ұтымды пікірімізді жазайық:

\ [\ Frac {{{\ {\ {\} {\}} {2 \}} ^ {2 \ cdo + {{\ {\ {\ {\ {\ {\}} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot Frac {{{\} {\ \}} {\ \} ^ {2}} {{\ \ сол жақ (2x \ оң)} ^ {2}}} ^ {{\ \ сол жақ (2x \)} ^ {{3}} ^ ^ {{3}}} ^ {{3}}} ^ {{3}} + {{\ сол жақ (3 \ оң жақ)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ {\ \ {\ \ {}} - ^ {2}} - ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ {\ {\ {\}} {\}}} ^ {2x-3y} \ cdot \ {\ \ {\ {\ \ \ \ \ \ {\ Оң жақ)}} {\ сол жақ (2x + 3y \ оң) және сол жақ ({{\ \ сол жақ (2x \ оң) ^ {2}}} - 2x \ Cdot 3y + {{{\ сол жақ (3y \ оң жақ)} ^ {2}}} \ оң)} = - 1 \]

Жауап: $ 1 $.

№ 2 тапсырма.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{} ^ {2} ^ {2}} ^ {2}}}}}}}}} + 4x + 8} \ cDOT \ cDOT {2x + 1} {{{{} ^ {2}}} + 4-4x}} \ CDOT \ Frac {8 - {{{} {^ {^ 3} {3}}}}} {4 {{as} ^ ^ {2} ^ {2}}}}}}} \]

Барлық фракцияларды қарастырайық.

Бірінші:

\ [3-6x = 3 \ сол жақ (1-2x \ оң жақ) \]

\ [2 {{x} ^ {^ {}}}}}}}}}}}}}}} Сол жақ ({{{} {^ {2}}}}}} + 2x + {{{{{{{{} ^ {2}} \ оң) \]

Екінші:

\ [{{x} {^ {^ {^ {2}}} + 4-4x = {{{} {{} ^ {2} ^ ^ {2 = {2 = {{{{{{{{{{} ^ {2}}}}}}}}}}} - 2 \ {\ {{{{{{{{{{{} ^ {{{} {2}} = {{{\ сол жақ (x-2 \ оң жақ)} ^ {2}} \]

Үшіншісі:

\ [8 - {{{} {} ^ {}} {} ^ {} {} {} {{} {{} {{} ^ {{} ^ {3} ^ {3}} {3}}} {} {3}}} {{} ^ 3}}} = \ \ \ \ \ \ π (2-x \ оң) ({{2} ^ {^ ^ {2}}} + 2x + {{{{} ^ {2}} \}} \ оң) \]

\ [4 {{{} ^ {} {} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {{{2} ^ {2} ^ {2} \ cDOT {} ^ {2} ^ {{2}} {{2}}} {{} ^ {2}} {2}}} = {{\} {\} сол жақта (2x \ оң)} ^ {2}} - {{1} ^ {2} ^ {2}} {2}}} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ оң жақ) \ int \ int \ inth (2x + 1 \ оң) \]

Біз барлық дизайнды өзгерте аламыз:

\ [\ Frac {3 \ {3 \ {1 \} сол жақ (1-2x \} ^ {2}}}} {{{{^ {2}}} + 2x + {{{{{{{{}} ^ {2}} \ оң)} \ cdot \ \ cdot \ frac {2x + 1} {{{{\ сол жақ (x-2 \ оң жақ)} ^ {2 \}}} \ cDOT \ frac \ rac {\ \ \ \ lOLD (2-X \ оң) және сол жақ ({{2} ^ ^ {^ ^ ^ {^ 2 ^} {{} ^ ^ {^ ^ ^ ^ ^ {} ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ {} ^ ^ ^ ^ ^ {} ^ ^ ^ {2 \} \ \ \ cdot (\}) + 2x + {{{{{} {{} ^ {2}} ^ {2} \ {2} \ оң)} {\ сол жақ (2x-1 \ оң) \ сол жақ (2x + 1 \ оң)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ сол жақ (-1 \ \ CDOT \)} {2 \ cdot \ re loft (x-2 \ doice) \ cdot \ сол жақ (-1 \ оң)} = \ frac {3} {2 \ сол жақ (x-2 \ оң жақ)} \]

Жауап: $ \ Frac {3} {2 \ {2 \ сол жақ (x-2 \ оң жақ)} $.

Шешімдер

Сонымен, біз жақында білгеніміз:

  • Әр шаршы үш есе көп емес, атап айтқанда, бұл, атап айтқанда, бұл соманың немесе айырмашылықтың текшелерінің бөлігі ретінде жиі кездесетін соманың немесе айырмашылықтың толық алаңын білдіреді.
  • Константалар, яғни. Олармен айнымалы жоқ шартты сандар ыдырау процесінде белсенді элементтер ретінде әрекет ете алады. Алдымен, оларды жақшадан шығаруға болады, екіншіден, тұрақтылар өздері градус түрінде ұсынылуы мүмкін.
  • Көбінесе, көбінесе көбінесе көбінесе барлық элементтердің ыдырауынан кейін қарама-қарсы құрылымдар пайда болады. Бұл фракцияларды азайту өте ұқыпты болуы керек, өйткені жоғарыдан асып кетуден немесе қосымша мультипликаталар бар немесе қосымша мультипликат бар - бұл $ -1 $ - бұл олардың керісінше болатындығының салдары.

Күрделі тапсырмаларды шешу

\ [\ Frac {27 {{a} {{a} {{a}} {{}} ^ {3}} {3}} ^ {3}} {{}} {{b}} {2}} {2}}} {2}}: \ frac {9 {{{{{a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{b} {{} ^ {2}}}} {{{b} ^ ^ {2}}}} + 4b + 4} \]

Әр терминді бөлек қарастырыңыз.

Бірінші бөлшек:

\ [27 {{{} {{} ^ {3}} {{} ^ {3} ^ {3} ^ {3} \ cdot {{{} {} ^ {} ^ {3} ^ {3}} = {\ 3}} = {{\ сол жақ (3а \ оң)} ^ {3}}}}} ]

\ [64 {b} {{{b}} ^ {3} = {{2} {} {} {} {6} {{6}} \ {6} \ cDOT {{} {{} ^ {3} ^ {3} ^ {{2}}} {{\} сол ({{\) {2}}}}}} \ cdot {{b} {{} {{} {{} {} {{}} = {{}} {{}} {{}} {{} {{^ ^ {^ ^ {2} \ cdot b \ оң) } ^ {3}} = {{{\ сол жақ (4b \ оң жақ)} ^ {3}} \]

\ [{{{\ сол жақ (3а \ оң жақ)} ^ {3}} - ^ {\ сол жақ (4b \ оң жақ)} ^ {\ оң жақ)} ^ {3}} = \ \ \ \ \ \ \ \ {{{\ \ сол жақ ({{\ сол) (3A \ оң)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ {{\ сол жақ (4b \ оң жақ)} ^ {2}} \ оң) \]

\ [{{b} ^ {^ ^ {2}} {{2}} {{{2} {^ {2} {2}} {2}}} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r (b-2 \ оң) және сол жақ (B + 2 \ оң) \]

Екінші:

\ [9 {{a} {{a}} {{}} = {{3}} {} \ cdot {{{} \ cdot {{} ^ {2}} ^ {2}}} = {{\ 2}} = {{\}}}}}}} {{2}} ^ {2}}}] \]

\ [16 {{b}} {{}} {{}} = {{4} \ cdot {{} \ cdot {{} \ cdot {{{2} {{2} {{2}} = {{2}} = {{\}}}}} {\}}} ^ {{2}}]

\ [12AB = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Екінші бөлшектің барлық алқабында біз келесідей қайта жаза аламыз:

\ [{{{\ сол жақ (3а \ оң жақ)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + \ cdot 4b + {{\ {\ {\} сол жақ (4b \ оң)} ^ {2}} \]

Енді номиналға қарап отырайық:

\ [{{b} {} {}}}}}}}}}}} + 4b + 4 = {{{2} ^ {2} ^ {2}} ^ {2} ^ {{2} {{{2} {{{2} ^ {{2} ^ {2} ^ {{}} {{\ {\ сол (b + 2 \) оң)} ^ {2}} \]

Жоғарыда аталған фактілерді ескере отырып, барлық ұтымды өрнекті қайта жазайық:

\ [\ Frac {\ {\ {\ сол жақ) \ \ {{\ оң жақ (3а \ оң)} ^ {\} \ cdot 4b + {\ {{{{{{{{\} сол жақ (4b \ оң)} ^ {2}} \ ^ {2}} \ оң) } {\ Сол жақ (B-2 \ оң жақ) \ \ cdot \ frac {\ cdot \ frac {{{\ {\ {do____ оң жақ)} ^ {2}}} {{{\} {{{\ {\ сол жақ ( 3а \ оңға)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4б + {{\ солға (4б \ оң жақта)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ {\ lound) \ сол жақ (b + 2 \ оң жақ)} {\ сол жақ (B-2 \ оң жақ)} \]

Жауап: $ \ Frac {\ {\ \ \ lOLD (3A-4B \ оң жақ) \} {\ сол жақ (b-2 \ оң жақ)} $.

Шешімдер

Біз тағы да сенімді, айырмашылықтың толық емес квадраттары, олар нақты ұтымды өрнектерде кездеседі, бірақ олардан қорықпайды, бірақ олардан қорықпайды, өйткені әр элементті түрлендіргеннен кейін олар әрдайым азаяды. Сонымен қатар, ешқандай жағдайда ешқандай жағдайда үлкен дизайннан қорықпауы керек, мүмкін, бұл сіздің қателіктеріңіз емес (егер егер бұл сіздің барлық көбейтіндістерге қойылған болса), және бұл автор осындай жауап тудырды.

Қорытындылай келе, мен бұдан былай рационалды фракцияларға тікелей тиесілі боламын, бірақ оның барлығын осы бақылауда және емтихандарда күткен барлық, атап айтқанда: көп бөлшектерді ыдырату, жалпыға ортақ бөлшектеу, а осындай шарттарды азайту. Біз дәл қазір барамыз.

Ұтымды өрнектерді жеңілдету және конверсиялау үшін қиын міндеттерді шешу

\ [\ (\ Frac {х} {{{х}} {2}} + 2x + 4} + \ FRAC {{{х} ^ {2}} + 8} {{{х} ^ {3} қалдырды } -8} - \ frac {1} {1} \ {{{{{{{{{{{{{{{{{} ^ {2}} ^ {{}}}}}}}}}}}}}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ оң) \]

Алдымен, бірінші кронштейнді қарастырамыз және ашыңыз: біз үш бөлек фракцияны көреміз, сондықтан біз әр түрлі фракцияны бір-бірімізге ортақ бөлшектерді жеткізу, және бұл үшін олардың әрқайсысының әрқайсысының мультипликаторлармен ыдырауы керек:

\ [{{x} {^ {^ {2}}}}}}}}} + 2x + 4 = {{{} ^ {} ^ {2}}}}}}}}}}}}} + 2 \ cdot x + {{2} {{^ ^ {2}}} \] \]

\ [{{{x} ^ {^ {2}}} - 8 = {{x} ^ {{} ^ {{} ^ {} ^ {} ^ {3}} {{}} {{} {} {^ ^ {2}}} {2}}}}} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{{\ оң) ^ {2}}} + 2x + {{{{2} ^ {2}} \} \ оң) \]

Біз барлық дизайнымызды келесідей қайта жазамыз:

\ [\ {X} {{x} {{}} {{}} {{} {{} {{} {{} {{}} ^ {2}} ^ {2}} {\ {} {{{} {{} {{} {{}}}}} {{{{\ {\ {\ {\ {\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ { x -2 \ \ \ {{{^ {^ {2}}} ({{of}}}}}} + 2x + {{{{{{{} ^ {2}} ^ {2}} \ оң)} \ {{1} {\ frac {1} {x-2} {x-2} \] \]

\ [= \ Frac {x \ rag {{\ {\} ^ {^ ^ {3}}}}}}}}}}} + 8- \ {^ {^ {2}} + 8x + {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}} +}} 2} \ оң)} {\ сол жақ (x-2 \ оң жақ) \ сол жақ ({{{} ^ {2}}}}}} + 2x + {{{{{{{{{}} ^ {2}} \ оң)} = \]

\ [= \ {{{{{} {{} {{} {{} {} {{}}}}}}}}}}}}}} {{}} ^ {2}} ^ {2}} ^ 8 - {2}} {{} ^ {2}}}}}}}}} - 2x-4} {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ link (x-) 2 \ оң) \ сол жақ) \ {{{x} {^}}}}}}}}}}} + 2x + {}}} {2} \ оң)} {2} \ оң)} = \ {{} ^ {{^ ^ ^ {2}}}}}}}}}}}} {\ {\ Сол жақ (x-2 \ оң жақ) \ сол жақ ({{{} ^ {^ {2}}}}}} + 2x + {{{{{{{{{{} ^ {2}} \ оң)} = \]

\ [= \ Frac {{\ {\ сол жақ (x-2 \ оң)} ^ {2 \}}} ^ \ \ сол жақ (x-2 \ оң жақ) \ сол жақ ({{{} ^ {2}}} + 2x + {{ 2 ^ {{2}}}} \ doice)} \ {\ {{x-2} {{{x} ^ {2}}}}}} + 2x + 4} \]

Бұл бірінші кронштейн бастап есептеу нәтижесі болып табылады.

Біз екінші кронштейн бар түсіну:

\ [{{Х} ^ {2}} - 4 = {{х} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ х + 2 (сол жақ \ (х-2 \ оңға) солға \ RIGHT) \]

Біз өзгерістер екінші Кронштейнді жазып:

\ [\ FRAC {{{х} ^ {2}}} {\ солға (х-2 \ оңға) \ солға (х + 2 \ оңға)} + \ FRAC {2} {х-2} = \ FRAC { {{х} ^ {2}} + 2 \ солға (х + 2 \ оңға)} {\ солға (х-2 \ оңға) \ солға (х + 2 \ оңға)} = \ FRAC {{{х} ^ {2}} + 2x + 4} {\ солға (х-2 \ оңға) \ солға (х + 2 \ оңға)} \]

Енді бүкіл көзі дизайн жазу:

\ [\ (Х-2 қалдырды FRAC {х-2} {{{х}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ Frac {{{х} ^ {2}} + 2x + 4} {\ \ оңға) \ х + 2 (сол жақ \ оң жақ)} = \ FRAC {1} {х + 2} \]

Жауап: $ \ FRAC {1} {х + 2} $.

Шешімдер

Өздеріңіз көріп отырғандай, жауап өте тағылып шықты. Алайда, Ескерту: тек айнымалы тек знаменателе кезде өте жиі, осындай ауқымды есептеулер бар, студенттер осы бөлгіш екенін ұмытып, ол thenime кезінде фракциясы тұрды және алым осы өрнек жазып тиіс - бұл өрескел қате болып табылады.

Сонымен қатар, мен мұндай міндеттер қалай жасалады Сіздің ерекше назар аударғым келеді. Кез келген күрделі есептеулер, барлық қадамдар іс-шаралар жүзеге асырылады: Біріншіден, біз оны бөлек қарастыру, содан кейін біз барлық бөліктерін біріктіруге және нәтиже қарастыру соңында бөлек және тек біріктіреді. Осылайша, біз, ақымақ қателер өздерін сақтандыра мұқият барлық есептеулерді жазып және сол уақытта ол бірінші көзқарас ретінде көрінуі мүмкін, қосымша уақыт жұмсайды емес.

Келесі кездескенше!

Сондай-ақ қараңыз:

  1. қатесіз ұтымды фракциялар төмендеуі қалай жасауға болады? бес түрлі міндеттерді мысалында Қарапайым алгоритм.
  2. Фракциялық ұтымды өрнектер
  3. математика емтихан тапсыруға қалай
  4. (Логарифмдерді жоқ) Сынақ EGE 2012 Таңдауы 12
  5. Interval әдісі: керемет теңсіздіктер жағдайда
  6. Easy деңгейі, 1 опция: проблемалары B14 тест

Пікірлер мұғалім

Сабақ: ұтымды өрнектерді түрлендіру

Бірінші ұтымды өрнекті анықтау туралы еске сала отырып.

Анықтама. Рационалды Айқындық - тамыры бар және қосу, алу, көбейту және бөлу (құрастыру) тек іс-шараларды қамтиды емес, алгебралық өрнек.

«Ұтымды өрнек айырбастау» тұжырымдамасы бойынша, біз, ең алдымен, оның оңайлату білдіреді. Және бұл бізге белгілі тәртіппен жүзеге асырылады: жақшада алғашқы іс-шараларды, содан кейін сандар жұмысы (Дәрежеде Erend) сандар, бөлу, содан кейін толықтырулар / азайту.

Бүгінгі сабақтың негізгі мақсаты ұтымды өрнектерді оңайлату үшін аса күрделі міндеттерді шешуде тәжірибе сатып алу болады.

1-мысал. Жеңілдету ұтымды өрнек .

Шешім. Алғашында, ол фракцияларда білдіру тиісті denominants толық квадраттарының формулалар өте ұқсас, өйткені көрсетілген фракциялары, азайтылуы мүмкін екенін көрінуі мүмкін. Бұл жағдайда, ол асықпай, бірақ бөлек ол тексеру үшін маңызды емес.

Бірінші фракциясының алымы тексеріңіз: . Енді алымы екінші болып табылады: .

Ретінде қарастыруға болады, біздің күту емес ақталды, және олар жұмыс жоқ екі есе, өйткені формуласында алымы білдіру, толық квадрат болып табылмайды. біз 7-сынып еске егер Мұндай өрнектер, толық емес алаңдар деп аталады. толық квадрат формуласы шатасуы толық емес өте жиі кездесетін қате болып табылады, және мұндай мысалдар студенттік ілтипатты тексеру, өйткені мұндай жағдайда өте мұқият болуы тиіс.

Төмендеу мүмкін болғандықтан, онда біз фракцияларды қосамыз. Бөлшектердің жалпы факторлары жоқ, сондықтан олар қарапайым жалпыға ортақ бөлінетін құрметті, ал әр бөлшек үшін қосымша фактор басқа бөлшектің номинаторы болып табылады.

 

Әрине, сіз жақшаларды ашып, содан кейін осыған ұқсас шарттарды жасай аласыз, алайда сіз келесі мерзімге қол жеткізе аласыз және бірінші термин текшелердің формуласы, ал екіншісі - текшелердің айырмашылығы . Ыңғайлы болу үшін, осы формулаларды жалпы түрінде еске түсірейік:

 и .

Біздің жағдайда санаттағы өрнек келесідей құлады:

Екінші өрнек ұқсас. Бізде бар:

.

Жауап. .

2-мысал. Жеңілдету ұтымды өрнек .

Шешім. Бұл мысал алдыңғыға ұқсас, бірақ ол мұнда бірден көріп отырады, бірақ ол мұнда толық емес квадраттар фрайдтарда орналасқан, сондықтан шешімдердің бастапқы сатысында төмендету мүмкін емес. Алдыңғы мысалға ұқсас біз фракцияларды жинаймыз:

Мұнда біз жоғарыда көрсетілген әдіспен, текшелердің мөлшері мен айырмашылығының формулалары бойынша өрнектерді байқап, байқады.

Жауап. .

3-мысал. Жеңілдету ұтымды өрнек .

Шешім. Екінші бөлшек деноминаторды текшелер формуласымен факторлармен ыдыратқанын атап өтуге болады. Біз білетін болсақ, номиналдардың факторларға ыдырауы ең кішкентай жалпыға ортақ деноминаторды іздеу үшін пайдалы.

.

Біз фракциялардың ең кішкентай жалпы көрсеткішін көрсетеміз, ол тең: , өйткені ол үшінші фракцияға бөлінген, ал бірінші өрнек, әдетте, тұтасымен, және кез-келген конфессияшы оған жарамды. Айқын қосымша ақауларды көрсете отырып, жазыңыз:

.

Жауап.

«Көп қабатты» фракциялармен күрделі мысалды қарастырыңыз.

4-мысал. Жеке басын дәлелдеу Айнымалының барлық рұқсат етілген мәндерімен.

Дәлелдеу. Көрсетілген сәйкестендіруді дәлелдеу үшін біз оның сол бөлігін (күрделі) бізден талап етілетін қарапайым түрлерге жеңілдетуге тырысамыз. Мұны істеу үшін сандық және бөлшектердің фракцияларымен барлық қадамдарды орындаңыз, содан кейін фракцияны бөліп, нәтижені жеңілдетіңіз.

. Айнымалы мәндердің барлық жарамды мәндері үшін дәлелденді.

Дәлелденді.

Реферат көзі: http://interneeturok.ru/kz/Chool/8-klass/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticeskie-eperaci-nad-algebaiceskimi-drobyami/preobrazovanie-robyami/preobrazanie-ratalnyh-Vyrazheniy?konsalnyH-vyrajeniy?KdratsionalnyHazazaza

Бейне көзі: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Қосарланған, алу, көбейту және бөлу қасиеттері пайдалы, бұл сізге есептеуге арналған мүмкіндіктер мен жұмыс жасауға мүмкіндік береді. Осы қасиеттерді қалай пайдалану керектігін біліңіз Өрнектерді жеңілдетіңіз .

Соманы есептеңіз:

52 + 287 + 48 + 13 =

Бұл өрнекте «дөңгелек» нөмірлері қосылған кезде сандар бар. Мұны байқап, ауызша есептеу оңай. Біз прогресті қайта бағалауды қолданамыз.

Қозғалыс мөлшерін жеңілдетіңіз

Сондай-ақ, жұмыстардың есебін жеңілдету үшін сіз көбейту қозғалысының әрекетін қолдана аласыз.

7 · 2Ал (2) · (2) · (7) = 10 · 63 = 630

Командалық және қозғалмалы қасиеттер қолданылады және Хат өрнектерін жеңілдетіңіз .

  • 6 · 2- 6 · 2 · A = 12A
  • 2 · · · · 2 · 2 · 2 · · · · 8AB
  • 5b + 8b = (5 + 8) · B = 13B
  • 14С - 12С = (14 - 12) · y = 2y

Мультипликациялау туралы заң есептеулерді жеңілдету үшін жиі қолданылады.

Тарату заңнамасыТарату туралы заңдық көбейтуге қатысты

Өрнекке байланысты көбейтудің таратылуын қолдану « (A + b) · c және (a - b) · c «Бізде кронштейндер жоқ өрнек аламыз.

Бұл жағдайда олар бізді айтады Анықталған (түсірілген) жақшалар . Қасиеттерді пайдалану мультипликатордың қайда жазылғаны маңызды емес » c«- жақшалар алдында немесе одан кейін.

Өрнектердегі жақшаларды еске түсіріңіз.

  • 2 (t + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 4 · 5 = 12x - 20
Есіңізде болсын! !

Егер хаттың жазылмаған болса, онда хаттың алдында сандық фактор бар деп түсініледі 1.

Жақшаға арналған мультипликатор

Біз теңдіктің оң және сол жағын өзгертеміз:

(A + b) c = ic + bc

Біз алып жатырмыз:

AC + BC = (A + B)

Мұндай жағдайларда олар мұны « AC + BC. » Жалпы мультипликатор жасалды «с«Жақшалар үшін.

Жақшалар үшін жалпы фактор мысалдары.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6 = 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий