Forenkling av uttrykk

Forenkling av uttrykk

En av de vanligste oppgavene i algebra lyder som dette: "Forenkle uttrykket". Dette kan gjøres ved hjelp av en av følgende teknikker, men oftest må du kombinere dem.

Bringe lignende vilkår.

Dette er den enkleste av mottakelser. Lignende De kalles vilkårene som har samme alfabetisk del. For eksempel, for eksempel uttrykk 5 аog -6. а; -3. Hu. og 3. Wow. ; 2 og 10. SO Du kan bare brette de lignende komponentene; Hvis den bokstavelige delen av komponentene er annerledes, er slike komponenter allerede umulige. Enig, hvis i mitt liv vil vi legge til epler med negler, så vil vi ha en slags spill) i matematikk på samme måte.

For eksempel forenkler et slikt uttrykk:

Lignende vilkår jeg vil tildele forskjellige farger og beregne. Forresten, tegnet før begrepet refererer til dette begrepet.

Som du ser, er det ikke lenger enn de samme alfabetene. Uttrykket er forenklet.

Multiplikasjon av single-wing og polynomials.

Jeg vil ikke argumentere - du kan multiplisere tallene. Og hvis bokstaver, grader, braketter legger til dem?

Monomial - Dette er et uttrykk som består av et produkt av tall, bokstaver, grader, og det må nødvendigvis være greit. Overraskende, bare nummer 5 er også uberørt, så vel som en ensom variabel х.

Ved multiplikasjon av enkeltpaneler bruk reglene for multiplikasjon av grader.

Flytt tre unoblays:

Ulike farger tilordner det jeg vil multiplisere.

Polynom - Dette er summen av en-vinge.

Å multiplisere uttrykket på polynomene bak brakettene for å formere seg til hver person i parentes. Detaljer i følgende eksempel.

Det gjenstår å huske multiplikasjonen av polynomet til polynomet. Med dette er det nødvendig å multiplisere hver brønn i de første parentesene til hver person i de første parentesene, resultatene foldes eller trekkes avhengig av tegn på vilkårene.

Gjør en felles faktor for parentes.

Vi vil forstå eksemplet.

Dette uttrykket er gitt:

Hva er vanlig for disse to vilkårene? Det er riktig, det er en multiplikator i begge dem. x. Han vil være en generell faktor som må tas ut.

Ta et annet eksempel.

Begge tallene i komponentene er delt inn i 2, så er nummer 2 en felles faktor. Men fortsatt i disse homoralene er det samme brev men - En i første grad, den andre - i den andre. Vi tar det i mindre grad, dvs. I det første vil det være den andre vanlige faktoren. Generelt vil det vise seg en slik rekord:

Vel, la oss det tredje eksemplet, bare uten kommentar.

Du kan sjekke korrektheten av den generelle faktoren for parentes ved å avsløre parentes (multiplikasjon).

Dekomponering av polynomer på multiplikatorene i grupperingsmetoden.

Hvis du trenger å dekomponere et polynom for multiplikatorer, vil grupperingsmetoden være nyttig for deg.

Det er mulig å kun gruppere uttrykk ved å gjøre generelle faktorer per brakett. Men det er nødvendig å gjøre det slik at brakettene til slutt vil utarbeide det samme. Til hva? Ja, da, så for å lage disse parentesene for andre parenteser.

Eksemplet vil være tydeligere)

Jeg tar et eksempel på det enkleste, rene for å forstå hva som skal gjøres.

I de to første vilkårene er den vanlige faktoren den variabelen а: Vi bærer det ut for braketten. I andre to vilkår er totalfaktoren nummeret 6. Det utføres også for parentes.

Har du sett to identiske parenteser? Nå er de en felles faktor. Vi tåler dem bak braketten og får et søtt produkt av to parenteser:

Dekomponering av torget er tre beslutninger om multiplikatorer.

La kvadratmet tre-shreddance:

Å dekomponere det på multiplikatorer er det nødvendig å løse kvadratligningen

Neste røtterligning х1 и х2Erstatte følgende formel:

Vi prøver.

Ta denne tre foreldet:

Finn røttene til kvadratligningen.

Vi erstatter dem i formelen for dekomponering av kvadratet tre nedbrytning av multiplikatorer:

Noe for mange minuser i den andre braketten. Litt konvertere det:

Nå fantastisk)

Kan du fortsatt komme til nytte:

- Evne til å arbeide med vanlige fraksjoner;

- Evne til å kutte fraksjonen;

- Kunnskap om formlene for forkortet multiplikasjon.

Men slike oppgaver kan møte deg på eksamenen.

1) Forenkle:

Løsningen her.

2) Finn verdien av uttrykket ved spesifiserte verdier av variablene:

Løsningen her.

3) Finn verdien av uttrykket ved spesifiserte verdier av variablene:

Løsningen her.

Det er mange lignende oppgaver - de vil ikke passe dem alle)

Har spørsmål? Skriv meg!

Din personlige lærer.

Kompetent transformasjon av rasjonelle uttrykk

Rasjonelle uttrykk og fraksjoner er hjørnesteinen i hele løpet av algebra. De som lærer å jobbe med slike uttrykk, forenkler dem og legger seg på multiplikatorer, faktisk kan de løse enhver oppgave, siden transformasjonen av uttrykk er en integrert del av alvorlig ligning, ulikhet og til og med en tekstlig oppgave.

I denne videoen vil vi se hvordan du er kompetent på å bruke formlene til forkortet multiplikasjon for å forenkle rasjonelle uttrykk og fraksjoner. Lær å se disse formlene hvor, ved første øyekast er det ingenting. Samtidig gjentar vi en så enkel mottak, som dekomponering av torget trippel mot multiplikatorer gjennom diskriminerende.

Som du sikkert gjettet formlene for ryggen min, vil vi i dag studere formlene for forkortet multiplikasjon, og mer presist, ikke formlene selv, men deres bruk for å forenkle og redusere komplekse rasjonelle uttrykk. Men før du bytter til å løse eksempler, la oss komme nærmere disse formlene eller huske dem:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ venstre (A-B \ høyre) \ venstre (A + B \ høyre) $ - forskjellen på firkanter;
  2. $ {{\ ward (a + b \ høyre)} ^ {2}} = {{a}} = {{a}} {2}} + 2ab + {{b} ^ {2}} $ - summen av beløpet;
  3. $ {{\ venstre (a-b \ høyre)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2ab + {{b} ^ {2}} $ - torget av forskjellen;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ venstre (A + B \ høyre) \ venstre ({{a} {2}} - ab + {{b}} 2}} \ høyre) $ - mengden kuber;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ venstre (ab \ høyre) \ venstre ({{a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} \ Høyre) $ - forskjellen på kuber.

Jeg vil også merke seg at vårt skolesystem av utdanning er ordnet på en slik måte at den er med studiet av dette emnet, dvs. De rasjonelle uttrykkene, så vel som røttene, oppstår modulene til alle studenter det samme problemet jeg vil forklare nå.

Faktum er at i begynnelsen av å studere formlene av forkortet multiplikasjon, og følgelig sier handlinger for å redusere fraksjoner (dette er et sted klasse 8) lærere sier noe som følger: "Hvis noe er uklart, så er du ikke bekymret, vi er Dette emnet vil fortsatt være tilbake gjentatte ganger, i videregående skoler så nøyaktig. Vi vil analysere det. " Vel, da i begynnelsen av 9-10-klasse, forklarer de samme lærerne de samme studentene som ikke vet hvordan de skal løse rasjonelle fraksjoner, om følgende: "Hvor har du vært de to foregående årene? Det ble studert på algebra i klasse 8! Hva kan være uforståelig her? Det er så åpenbart! "

Imidlertid er de vanlige disiplene fra slike forklaringer ikke enklere: de har både grøt, og forblir, så akkurat nå vil vi analysere to enkle eksempler, på grunnlag av hvilken og la oss se hvordan i reelle oppgaver for å tildele disse uttrykkene som vil Led oss ​​til formlene for forkortet multiplikasjon og hvordan du bruker dette for å konvertere komplekse rasjonelle uttrykk.

Redusere enkle rasjonelle fraksjoner

Oppgave nummer 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {9 {{Y} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

Det første vi trenger å lære er å tildele nøyaktige firkanter i de første uttrykkene og høyere grader, på grunnlag av hvilken vi deretter kan bruke formler. La oss ta en titt:

\ [9 {{Y} ^ {4}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {4} {{{{3}} {2}} \ cdot {{\ ward ({ {y} ^ {2}} \ høyre)} ^ {2}} = {{\ venstre (3 {y} ^ {2}} \ høyre)} ^ {2}} \]

\ [16 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {{2} {{4}} {2 {{x} ^ {2}} = {{\ {{{2}} {2}} \ høyre)} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ {{{2 {{{2}} \ cdot x \}}} {2} } = {{\ venstre (4 {{x} ^ {2}} \ høyre)} ^ {2}} \]

La oss omskrive vårt uttrykk å ta hensyn til disse fakta:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{{\ venstre (3 {y} ^ {2} \ høyre)} ^ {2}} - {{\}} - {{\}} )}} {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {\ venstre (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ høyre) \ venstre (3 {{{ y} ^ {2}} + 4x \ høyre)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

Svar: $ \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Oppgave nummer 2.

Gå til den andre oppgaven:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \]

Det er ingenting å forenkle her, fordi det er en konstant i telleren, men jeg foreslo denne oppgaven for å bli lært å sette polynomer som inneholdt to variabler på multiplikatorer. Hvis det i stedet ble skrevet under polynomet, hvordan ville vi dekomponere det?

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ venstre (x -... \ høyre) \ venstre (x -... \ høyre) \]

La oss løse ligningen og finne $ x $ som vi kan sette i stedet for poeng:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ cdot \ venstre (-6 \ høyre) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Vi kan omskrive tre stykker som følger:

\ [{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ venstre (x-1 \ høyre) \ venstre (x + 6 \ høyre) \]

Med en firkantet trippel lærte vi å jobbe - for dette, og det var nødvendig å registrere denne videoopplæringen. Og hva om, bortsett fra $ x $ og det er en annen $ y $ konstant? La oss se på dem som ene elementer i koeffisientene, dvs. La oss omskrive vårt uttrykk som følger:

\ [{{x} ^ {2}} + 5y \ cdot x-6 {{y} ^ {2}} \]

\ [A = 1; b = 5Y; C = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ venstre (5y \ høyre)} ^ {2}} - 4 \ cdot \ venstre (-6 {{y} ^ {2}} \ høyre) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12Y} {2} = - 6y \]

Skriv nedbrytningen av vår firkantede design:

\ [\ venstre (x-y \ høyre) \ venstre (x + 6y \ høyre) \]

Totalt Hvis vi kommer tilbake til det første uttrykket og omskriver det, tar du hensyn til endringer, så får vi følgende:

\ [\ Frac {8} {\ venstre (x-y \ høyre) \ venstre (x + 6y \ høyre)} \]

Hva gir denne posten oss? Ingenting, fordi det ikke kutter det, det multipliserer ikke og ikke deles. Men så snart denne fraksjonen viser seg å være en integrert del av et mer komplisert uttrykk, viser en slik dekomponering å være forresten. Derfor, så snart du ser en firkantet trippel (det spiller ingen rolle, forverres det av flere parametere eller ikke), prøv alltid å dekomponere det på multiplikatorer.

Nyanser løsninger

Husk hovedreglene for å konvertere rasjonelle uttrykk:

  • Alle nevner og tall må legges på multiplikatorer eller gjennom formlene for forkortet multiplikasjon, eller gjennom diskriminatoren.
  • Det er nødvendig å jobbe i henhold til denne algoritmen: Når vi ser ut og forsøker å markere formelen for forkortet multiplikasjon, så, først og fremst, prøver å oversette alt i maksimal mulig grad. Etter det tar vi ut en felles grad for braketten.
  • Uttrykk med parameteren vil bli funnet veldig ofte: Andre variabler vil oppstå som koeffisienter. Vi finner dem i henhold til den firkantede dekomponeringsformelen.

Således, så snart du ser rasjonelle fraksjoner, er det første å gjøre dekomponere og telleren, og nevneren for multiplikatorer (på lineære uttrykk), mens vi bruker formlene for forkortet multiplikasjon eller diskriminant.

La oss se på et par slike rasjonelle uttrykk og prøve å dekomponere dem på multiplikatorer.

Løse mer komplekse eksempler

Oppgave nummer 1.

\ [\ Frac {4 {{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{y} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ frac {9 {{y} ^ {2}} 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Vi omskriver og prøver å dekomponere hver av vilkårene:

\ [4 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ {2x \ høyre)} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ cdot 3 \ cdot x \ cdot y = 2x \ cdot 3y \]

\ [9 {{y} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {2} {{y} ^ {2}} = {{\ venstre (3y \ høyre)} ^ {2}} \]

\ [8 {{x} ^ {3}} = {{2}} = {} {2} {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ venstre (2x \ høyre)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y} ^ {3}} = {{3}} = {} {3 {{y} ^ {3} {{y} ^ {3}} = {{\ venstre (3y \ høyre)} ^ {3}} \]

La oss omskrive alt vårt rasjonelle uttrykk med disse fakta:

\ [\ Frac {{{\ venstre (2x \ høyre)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ venstre (3y \ høyre)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ Frac {{{\ venstre (3Y \ høyre)} ^ {2}} - {{\ venstre (2x \ høyre)} ^ {2}}} {{{\ venstre (2x \ høyre)} {3}}}}} + {{\ venstre (3Y \ høyre)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ venstre (2x \ høyre)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ venstre (3Y \ høyre)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ Frac {\ venstre (3y-2x \ høyre) \ venstre (3y + 2x \ høyre)} {\ venstre (2x + 3y \ høyre) \ venstre ({{\ venstre (2x \ høyre) ^ {2}} - 2x \ Cdot 3Y + {{\ venstre (3Y \ høyre)} ^ {2}} \ høyre)} = - 1 \]

Svar: $ -1 $.

Oppgave nummer 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ Cdot \ frac {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

La oss vurdere alle fraksjonene.

Først:

\ [3-6x = 3 \ venstre (1-2x \ høyre) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ høyre) \]

Sekund:

\ [{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2} cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ venstre (x-2 \ høyre)} ^ {2}} \]

Tredje:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{{}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ venstre (2-x \ høyre) \ venstre ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ høyre) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\} (2x \ høyre)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ venstre (2x-1 \ høyre) \ venstre (2x + 1 \ høyre) \]

Vi omskriver hele designen, med tanke på endringer:

\ [\ Frac {3 \ venstre (1-2x \ høyre)} {2 \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2}} {2}} \}} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{\ venstre (x-2 \ høyre)} ^ {2}}} \ cdot \ frac {\ venstre (2-x \ høyre) \ venstre ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ høyre)} {\ venstre (2x-1 \ høyre) \ venstre (2x + 1 \ høyre)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ venstre (-1 \ høyre)} {2 \ cdot \ venstre (x-2 \ høyre) \ cdot \ venstre (-1 \ høyre)} = \ frac {3} {2 \ venstre (x-2 \ høyre)} \]

Svar: $ \ frac {3} {2 \ venstre (x-2 \ høyre)} $.

Nyanser løsninger

Så, det vi bare lærte:

  • Ikke alle firkantede tredoblinger reduseres til multiplikatorer, spesielt dette refererer til et ufullstendig kvadrat av mengden eller forskjellen, som ofte finnes som en del av kuber av mengden eller forskjellen.
  • Konstanter, dvs. Konvensjonelle tall som ikke har variabler med dem, kan også fungere som aktive elementer i dekomponeringsprosessen. Først kan de tas ut av parentes, for det andre, de konstanterne selv kan bli presentert i form av grader.
  • Svært ofte, etter dekomponering av alle elementene på multiplikatorer, oppstår motsatte strukturer. Redusere disse fraksjonene må være ekstremt pent, fordi med fra overklokking enten fra oven, eller det er en ekstra multiplikator $ -1 $ - dette er konsekvensen av hva de er motsatte.

Løsning av komplekse oppgaver

\ [\ Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{B} ^ {3}}} {{{B}} {2} {9 {{A}}} {2}} + 12ab + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4b + 4} \]

Vurder hvert sikt separat.

Første fraksjon:

\ [27 {{a} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} \ cdot {{a} ^ {3}} = {{\ {3A \ høyre)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{b} ^ {3}} = {{2}} = {{2} {6} {2} {{6}} {3 {{b}} {3}} = {{\ ward ({{2}} {2}} \ høyre)} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3}} = {{{3}} = {{}} = {{\ venstre ({{2} ^ {2}} \ cdot b \ høyre) } ^ {3}} = {{\ venstre (4b \ høyre)} ^ {3}} \]

\ [{{\ ward (3a \ høyre)} ^ {3}} - {{\ venstre (4b \ høyre)} ^ {3}} = \ venstre (3a-4b \ høyre) \ venstre ({{\ venstre (3a \ høyre)} ^ {2}} + 3A \ cdot 4b + {{\ venstre (4b \ høyre)} ^ {2}} \ høyre) \]

\ [{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ venstre (B-2 \ høyre) \ venstre (b + 2 \ høyre) \]

Sekund:

\ [9 {{a} ^ {2}} = {{3}} = {} {3 {{a} ^ {2} {a} ^ {2}} = {{\ venstre (3a \ høyre)} ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {} {2 {{b} {{2}} = {{\ {4b \ høyre)} ^ {2}} \]

\ [12ab = 3 \ cdot 4ab = 3a \ cdot 4b \]

Hele telleren av den andre fraksjonen vi kan omskrive som følger:

\ [{{\ venstre (3a \ høyre)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ venstre (4b \ høyre)} ^ {2}} \]

La oss nå se på denominatoren:

\ [{{b} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ cdot 2b + {{2} ^ {2}} = {{\ venstre (b + 2 \ \ høyre)} ^ {2}} \]

La oss omskrive et alt rasjonelt uttrykk, ta hensyn til de ovennevnte fakta:

\ [\ Frac {\ venstre) \ venstre ({{\ venstre (3a \ høyre)} ^ {2}} + 3A \ cdot 4b + {{\ venstre (4b \ høyre)} ^ {2}} \ høyre) } {\ Venstre (B-2 \ Høyre) \ Venstre (B + 2 \ Høyre)} \ cdot \ frac {{{\ venstre (B + 2 \ høyre)} ^ {2}}} {{{\ venstre ( 3a \ høyre)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ venstre (4b \ høyre)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ venstre) \ venstre (b + 2 \ høyre)} {\ venstre (B-2 \ høyre)} \]

Svar: $ \ frac {\ venstre (3A-4B \ høyre) \ venstre (B + 2 \ høyre)} {\ venstre (B-2 \ høyre)} $.

Nyanser løsninger

Som vi igjen overbeviste, ufullstendige firkanter av mengden eller ufullstendige firkantene i forskjellen, som ofte finnes i ekte rasjonelle uttrykk, men ikke være redd for dem, fordi de etter å ha konvertert hvert element, blir de nesten alltid redusert. I tillegg bør det ikke være redd for store design i det totale svaret - det er ganske mulig at dette ikke er feilen din (spesielt hvis alt er lagt ut for multiplikatorer), og denne forfatteren oppfattet et slikt svar.

I konklusjonen vil jeg gjerne demontere et annet komplekst eksempel, som ikke lenger tilhører rationelle fraksjoner, men det inneholder alt det som venter på deg i denne kontrollen og eksamenene, nemlig: dekomponering av multiplikatorer, og bringer til en fellesnevner, a reduksjon i slike vilkår. Det er akkurat det vi nå skal gå.

Løse en vanskelig oppgave for forenkling og konvertering av rasjonelle uttrykk

\ [\ venstre (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ høyre) \ cdot \ venstre (\ frac {{{x} ^ {2}}} {{{x}} {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ høyre) \]

Først bør du vurdere og avsløre den første braketten: Vi ser tre separate fraksjoner med forskjellige nevner, slik at det første vi trenger å gjøre er å bringe alle tre fraksjoner til en fellesnevner, og for dette skal hver av dem dekomponeres på multiplikatorer:

\ [{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}} \]

\ [{{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ venstre (x-2 \ høyre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ høyre) \]

Vi skriver om hele vårt design som følger:

\ [\ Frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {\}} x -2 \ høyre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ høyre)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ venstre (x-2 \ høyre) + {{x} ^ {3}} + 8- \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ høyre)} {\ venstre (x-2 \ høyre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ høyre)} = \]

\ [= \ frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ venstre (x- 2 \ høyre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ høyre)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ Venstre (x-2 \ høyre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ høyre)} = \]

\ [= \ Frac {{\ venstre (x-2 \ høyre)} ^ {2}}} {\ venstre (x-2 \ høyre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{{ 2} ^ {2}} \ høyre)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Dette er resultatet av beregninger fra den første braketten.

Vi forstår med den andre braketten:

\ [{{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ venstre (x-2 \ høyre) \ venstre (x + 2 \ IKKE SANT) \]

Vi omskriver den andre braketten med endringene:

\ [\ Frac {{{x} ^ {2}}} {\ venstre (x-2 \ høyre) \ venstre (x + 2 \ høyre)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ venstre (x + 2 \ høyre)} {\ venstre (x-2 \ høyre) \ venstre (x + 2 \ høyre)} = \ frac {{{x} ^ ^ {2}} + 2x + 4} {\ Venstre (X-2 \ Høyre) \ Venstre (X + 2 \ Høyre)} \]

Skriv nå hele kildedesignet:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ venstre (x-2 \ Høyre) \ venstre (x + 2 \ høyre)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Svar: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Nyanser løsninger

Som du kan se, viste svaret seg ganske sane. Imidlertid, merk: veldig ofte, med slike store beregninger, når den eneste variabelen bare er i nevneren, glemmer elevene at dette er nevneren, og han burde ha stått fraksjonen på Thundime og skrive dette uttrykket til en tunator - dette er en grov feil.

I tillegg vil jeg gjerne tegne din spesielle oppmerksomhet til hvordan slike oppgaver er gjort. I alle komplekse beregninger utføres alle trinnene på handlinger: Først anser vi det separat, så kombinerer vi separat og bare på slutten kombinerer vi alle deler og vurderer resultatet. Dermed forsikrer vi seg fra dumme feil, nøye nedskrivning av alle beregningene, og samtidig ikke bruke ekstra tid, da det kan virke ved første øyekast.

Til nye møter!

Se også:

  1. Hvordan reduksjon i rasjonelle fraksjoner uten feil? En enkel algoritme på eksemplet på fem forskjellige oppgaver.
  2. Fraksjonelle rasjonelle uttrykk
  3. Hvordan bestå eksamen i matematikk
  4. Trial Ege 2012. Alternativ 12 (uten logaritmer)
  5. Intervallmetode: Saken av utrolige ulikheter
  6. Test på problemer B14: Easy Level, 1 Alternativ

Kommentarer lærer

Lekse: Transformasjon av rasjonelle uttrykk

Husker først å bestemme det rasjonelle uttrykket.

Definisjon. Rasjonell Uttrykk - Algebraisk uttrykk som ikke inneholder røtter og inkluderer bare handlingene i tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (ereksjon).

Under begrepet "konvertere et rasjonelt uttrykk", mener vi fremfor alt forenkling. Og dette utføres i prosedyren kjent for oss: Første handlinger i parentes, da Arbeid av tall (Heter i graden), deling av tall, og deretter tillegg / subtraksjon.

Hovedformålet med dagens leksjon vil være oppkjøpet av erfaring med å løse mer komplekse oppgaver for å forenkle rasjonelle uttrykk.

Eksempel 1. Forenkle rasjonelt uttrykk .

Beslutning. I begynnelsen kan det virke som de angitte fraksjonene kan reduseres, siden uttrykkene i fraksjonene er svært lik formlene av de fulle firkantene til de tilsvarende beneominanter. I dette tilfellet er det viktig å ikke rush, men separat sjekk om det er.

Sjekk telleren til den første fraksjonen: . Nå er telleren den andre: .

Som det kan ses, var våre forventninger ikke rettferdiggjort, og uttrykkene i tunatørene er ikke komplette firkanter, siden de ikke har noen dobling av arbeidet. Slike uttrykk, hvis vi husker klasse 7, kalles ufullstendige firkanter. Det bør være svært oppmerksom i slike tilfeller, siden forvirringen av en komplett firkantformel med ufullstendig er en svært vanlig feil, og slike eksempler sjekker studentens oppmerksomhet.

Siden reduksjonen er umulig, vil vi utføre tillegg av fraksjoner. Nettet har ingen felles faktorer, slik at de bare endres for å oppnå den minste fellesnevneren, og en ekstra faktor for hver brøkdel er nevneren til en annen brøkdel.

 

Selvfølgelig kan du avsløre parenteser og deretter ta lignende vilkår, men i dette tilfellet kan du gjøre følgende styrke og merk at i telleren er det første uttrykket formelen i kubene, og den andre er forskjellen på kuber . For enkelhets skyld, la oss huske disse formlene i generell form:

 и .

I vårt tilfelle kollapses uttrykket i telleren som følger:

Det andre uttrykket er lik. Vi har:

.

Svar. .

Eksempel 2. Forenkle rasjonelt uttrykk .

Beslutning. Dette eksemplet ligner den forrige, men det ses umiddelbart her at ufullstendige firkanter er plassert i skogene, derfor er reduksjonen ved det første trinn av løsninger umulig. I likhet med det forrige eksempelet vi bretter fraksjoner:

Her ligner vi metoden som er angitt ovenfor, lagt merke til og krøllete uttrykk ved formlene av mengden og forskjellen på kuber.

Svar. .

Eksempel 3. Forenkle rasjonelt uttrykk .

Beslutning. Det kan bemerkes at den andre fraksjonsbeskyttelsen dekomponeres på faktorene med formelen av kubene. Som vi allerede vet, er dekomponeringen av nevner på faktorer nyttig for videre å søke etter den minste fellesnevneren.

.

Vi indikerer den minste overordnede nevner for fraksjoner, det er lik: , siden den er delt inn i en nevner for den tredje fraksjonen, og det første uttrykket er generelt det hele, og en hvilken som helst nevner er egnet for den. Indikerer de åpenbare ytterligere feilene, skriv:

.

Svar.

Tenk på et mer komplekst eksempel med "multi-etasjes" fraksjoner.

Eksempel 4. Bevise identitet Med alle tillatte verdier av variabelen.

Bevis. For å bevise den angitte identiteten, vil vi prøve å forenkle den venstre delen (komplisert) til de enkle artene som kreves av oss. For å gjøre dette, utfør alle trinnene med fraksjoner i telleren og denominatoren, og del deretter fraksjonen og forenkle resultatet.

. Viste seg for alle gyldige verdier av variabelen.

Bevist.

Abstrakt kilde: http://interneturok.ru/no/School/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-eperacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13.

Videokilde: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Egenskapene til tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon er nyttige ved at det lar deg forvandle summer og fungerer i praktiske uttrykk for databehandling. Lær hvordan du bruker disse egenskapene Forenkle uttrykk .

Beregn beløpet:

52 + 287 + 48 + 13 =

I dette uttrykket er det tall, når de "runde" tallene er tillegg. Legg merke til dette, det er lett å beregne oralt. Vi bruker revurderingen av fremdriften.

Forenkle mengden av bevegelsen

Også for å forenkle beregningen av verk, kan du bruke bevegelseshandlingen av multiplikasjon.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

De kombinative og bevegelige egenskapene brukes og Forenkle bokstavsuttrykk .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12A
  • 2 · a · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8ab
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · Y = 2Y

Distribusjonsloven til multiplikasjon brukes ofte til å forenkle beregninger.

Distribusjonsrett multiplikasjonDistribusjonsrett multiplikasjon i forhold til subtraksjon

Bruk av distribusjonsegenskapen til multiplikasjon i forhold til tillegget eller subtraksjonen til uttrykket " (A + B) · C og (A - B) · C "Vi får et uttrykk som ikke inneholder parentes.

I dette tilfellet sier de at vi avslørt (senket) parenteser . Å bruke egenskaper spiller ingen rolle hvor multiplikatoren er registrert " c"- foran parentes eller etterpå.

Tilbakekallingsbraketter i uttrykk.

  • 2 (T + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Huske! !

Hvis brevet ikke er registrert i saken, er det forstått at det er en numerisk faktor foran brevet 1.

Multiplikator for parentes

Vi endrer høyre og venstre del av likestillingen:

(A + B) C = AC + BC

Vi får:

AC + BC = (A + B) med

I slike tilfeller sier de det fra " AC + BC. » Vanlig multiplikator er laget «с"For parentes.

Eksempler på en generell faktor for parentes.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий