Vereenvoudiging van uitdrukkingen

Vereenvoudiging van uitdrukkingen

Een van de meest voorkomende taken in Algebra klinkt als volgt: "Vereenvoudig de uitdrukking". Dit kan worden gedaan met behulp van een van de volgende technieken, maar meestal moet je ze combineren.

Vergelijkbare voorwaarden brengen.

Dit is de gemakkelijkste recepties. Vergelijkbaar Ze worden de voorwaarden genoemd die hetzelfde alfabetische deel hebben. Bijvoorbeeld, zoals uitdrukkingen 5 аen -6 а; -3. Hu. en 3. Wauw ; 2 en 10. SO. U kunt de vergelijkbare componenten alleen vouwen; Als het letterlijke deel van de componenten anders is, dan zijn dergelijke componenten al onmogelijk. Mee eens, als we in mijn leven appels met nagels toevoegen, dan zullen we op dezelfde manier een soort spel hebben) in de wiskunde.

Vereenvoudigt bijvoorbeeld een dergelijke uitdrukking:

Vergelijkbare voorwaarden I Wijs verschillende kleuren toe en bereken. Trouwens, het bord voordat de term verwijst naar deze term.

Zoals je ziet, zijn er niet langer dan dezelfde alfabon-onderdelen. De uitdrukking is vereenvoudigd.

Vermenigvuldiging van enkelvleugel en polynomen.

Ik zal niet beweren - je kunt de cijfers vermenigvuldigen. En als letters, graden, haakjes daaraan toevoegen?

Monomiaal - Dit is een uitdrukking die bestaat uit een product van cijfers, letters, graden, en het moet noodzakelijkerwijs in orde zijn. Verrassend genoeg is alleen het nummer 5 ook niet-geroepeerd, evenals een eenzame variabele х.

Bij vermenigvuldiging van single-panelen gebruikt u de vermenigingsregels.

Verplaats drie onroabaaien:

Verschillende kleuren weken wat ik zal vermenigvuldigen.

Polynoom - Dit is de som van één-vleugel.

Om de uitdrukking op de polynomen achter de beugels te vermenigvuldigen om te vermenigvuldigen met elke persoon tussen haakjes. Details in het volgende voorbeeld.

Het blijft om de vermenigvuldiging van de polynoom op de polynoom te herinneren. Hiermee is het noodzakelijk om elk putje in de eerste haakjes aan elke persoon in de eerste haakjes te vermenigvuldigen, de resultaten vouwen of aftrekken afhankelijk van de tekenen van de voorwaarden.

Een gemeenschappelijke factor maken voor haakjes.

We zullen het voorbeeld begrijpen.

Deze uitdrukking wordt gegeven:

Wat is het gebruikelijk voor deze twee termen? Dat klopt, er zijn een multiplier in beide. x. Hij zal een algemene factor zijn die moet worden uitgehaald.

Neem een ​​ander voorbeeld.

Beide cijfers in de componenten zijn onderverdeeld in 2, dan is het nummer 2 een veelvoorkomende factor. Maar nog steeds in deze homeralen is er dezelfde letter maar - Één in de eerste graad, de andere - in de tweede. We nemen het in mindere mate, d.w.z. In de eerste zal het de tweede gemeenschappelijke factor zijn. In het algemeen wordt het een dergelijk record uitgeschakeld:

Nou, laten we het derde voorbeeld, alleen zonder opmerking.

U kunt de juistheid van de algemene factor voor haakjes controleren door haakjes (vermenigvuldiging) te openen.

Ontbinding van polynomen op de vermenigvuldigers van de groeperingsmethode.

Als u een polynoom moet ontbinden aan vermenigvuldigers, is de groeperingsmethode nuttig voor u.

Het is mogelijk om uitdrukkingen alleen te groeperen door algemene factoren per beugel te maken. Maar het is noodzakelijk om het zo te maken dat de beugels uiteindelijk hetzelfde zullen uitwerken. Waarvoor? Ja, dan, vervolgens om deze beugels voor andere haakjes te maken.

Het voorbeeld zal duidelijker zijn)

Ik neem een ​​voorbeeld van het eenvoudigste, schoon om te begrijpen wat er moet gebeuren.

In de eerste twee termen is de gemeenschappelijke factor de variabele а: We dragen het uit voor de beugel. In de tweede twee termen is de totale factor het nummer 6. Het wordt ook uitgevoerd voor beugels.

Heb je twee identieke haakjes gezien? Nu zijn ze een veelvoorkomende factor. We verdragen ze achter de beugel en krijgen een schattig product van twee haakjes:

De ontbinding van het plein is drie beslissingen over multipliers.

Laat het vierkant drie-shreddance:

Om het te ontbinden op vermenigvuldigers is het nodig om de vierkante vergelijking op te lossen

Volgende Roots-vergelijking х1 и х2Vervanging van de volgende formule:

We proberen.

Neem deze drie muffe:

Zoek de wortels van de vierkante vergelijking.

We vervangen ze in de formule voor de afbraak van het vierkant, drie decompositie van multipliers:

Iets te veel minussen in de tweede beugel. Converteer het enigszins:

Nu geweldig)

Kun je nog steeds van pas komen:

- het vermogen om met gewone fracties te werken;

- Mogelijkheid om de fractie te snijden;

- Kennis van de formules van verkorte vermenigvuldiging.

Maar dergelijke taken kunnen u ontmoeten op het examen.

1) Vereenvoudig:

De oplossing hier.

2) Zoek de waarde van de uitdrukking bij opgegeven waarden van de variabelen:

De oplossing hier.

3) Zoek de waarde van de uitdrukking bij opgegeven waarden van de variabelen:

De oplossing hier.

Er zijn veel soortgelijke taken - ze zullen niet allemaal passen)

Vragen hebben? Schrijf me!

Je persoonlijke leraar.

Bevoegde transformatie van rationele uitdrukkingen

Rationele uitdrukkingen en fracties zijn de hoeksteen van de hele gang van algebra. Degenen die leren werken met dergelijke uitdrukkingen, vereenvoudigen ze en leggen op multipliers, in feite kunnen ze elke taak oplossen, aangezien de transformatie van uitdrukkingen een integraal onderdeel is van een ernstige vergelijking, ongelijkheid en zelfs een tekstuele taak.

In deze video zullen we zien hoe we competent de formules van de verkorte vermenigvuldiging moeten toepassen om rationele uitdrukkingen en fracties te vereenvoudigen. Leer om deze formules te zien waar, in het eerste gezicht, er niets is. Tegelijkertijd herhalen we zo'n eenvoudige ontvangst, als de ontbinding van de vierkante driedubbel naar vermenigvuldigers door de discriminant.

Naarmate je de formules voor mijn rug hebt geraden, zullen we vandaag de formules van verkorte vermenigvuldiging bestuderen, en, nauwkeuriger, niet de formules zelf, maar hun gebruik om complexe rationele uitdrukkingen te vereenvoudigen en te verminderen. Maar voordat u overschakelt naar het oplossen van voorbeelden, laten we dichter bij deze formules komen of hen onthouden:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ links (A-b \ rechts) \ links (A + B \ rechts) $ - het verschil van vierkanten;
  2. $ {{\ Left (A + B \ Right)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2AB + {{b} ^ {2}} $ - de som van het bedrag;
  3. $ {{\ links (A-B \ Right)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2AB + {{B} ^ {2}} $ - het vierkant van het verschil;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ Links (A + B \ Right) \ Left ({{a} ^ {2}} - ab + {{b} ^ 2}} \ Rechts) $ - de hoeveelheid kubussen;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ links (ab \ rechts) \ links ({{a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} \ Rechts) $ - het verschil van kubussen.

Ik zou ook graag opmerken dat ons schoolsysteem van onderwijs op zo'n manier is geregeld dat het bij de studie van dit onderwerp is, d.w.z. De rationele uitdrukkingen, evenals de wortels, de modules van alle studenten ontstaan ​​hetzelfde probleem dat ik nu zal uitleggen.

Het feit is dat aan het begin van het bestuderen van de formules van verkorte vermenigvuldiging en, dienovereenkomstig, acties om fracties te verminderen (dit is ergens klasse 8) leraren iets als volgt zeggen: "Als iets onduidelijk is, dan maak je je geen zorgen Dit onderwerp is nog steeds herhaaldelijk terug, op middelbare scholen zo nauwkeurig. We zullen het analyseren. " Nou, dan aan de beurt van de 9-10e klas, leggen dezelfde leraren dezelfde studenten uit die niet weten hoe ze rationele fracties kunnen oplossen, over het volgende: "Waar ben je de vorige twee jaar geweest? Het werd bestudeerd op Algebra in Grade 8! Wat kan hier onbegrijpelijk zijn? Het is zo voor de hand liggend! "

De gebruikelijke discipelen uit dergelijke uitleg zijn echter helemaal niet gemakkelijker: ze hebben beide pap en bleven echter, dus nu zullen we twee eenvoudige voorbeelden analyseren, op basis waarvan en laten we eens kijken hoe in echte taken deze uitdrukkingen kunnen toewijzen Leid ons naar de formules van verkorte vermenigvuldiging en hoe dit toepassen om complexe rationele uitdrukkingen te converteren.

Vermindering van eenvoudige rationele fracties

Taaknummer 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {9 {{} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

Het eerste dat we moeten leren, is om exacte vierkanten in de eerste uitdrukkingen en hogere graden toe te wijzen, op basis waarvan we vervolgens formules kunnen toepassen. Laten we eens kijken:

\ [9 {{} ^ {4}} = {{3}} = {} \ cdot {}} ^ {4}} = {{3}} {2}} \ CDOT {{\ Left ({ {y} ^ {2}} \ RECHTS)} ^ {2}} = {{\ links (3 {y} ^ {2}} \ Right)} ^ {2}} \]

\ [16 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {}} ^ {4}} \ CDOT {}} ^ {2}} = {{\ linker ({{2} ^ {2}} \ RECHTS)} ^ {2}} \ CDOT {{x} ^ {2}} = {{\ linker ({{2} ^ {2}} \ cdot x \ rechts)} ^ {2} } = {{\ links (4 {{x} ^ {2}} \ Right)} ^ {2}} \]

Laten we onze uitdrukking herschrijven, rekening houdend met deze feiten:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{{\ links (3 {y} ^ {2} \ Right)} ^ {2}} - {{\ linker (4x \ Right )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {\ links (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ Right) \ Links (3 {{ y} ^ {2}} + 4x \ Right)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

Antwoord: $ \ FRAC {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Taaknummer 2.

Ga naar de tweede taak:

\ [\ Frac {8} {{} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \]

Er is niets om hier te vereenvoudigen, omdat er een constante in de teller is, maar ik stelde aan dat deze taak wordt geleerd om polynomen te plaatsen die twee variabelen op multipliers bevatten. Als het in plaats daarvan is geschreven onder de polynoom, hoe zouden we het ontbinden?

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ links (x -... \ rechts) \ links (x -... \ rechts) \]

Laten we de vergelijking oplossen en $ x $ vinden die we kunnen plaatsen in plaats van punten:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ CDOT \ LINKS (-6 \ RECHTS) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ FRAC {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

We kunnen drie stukken herschrijven als volgt:

\ [{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ links (x-1 \ rechts) \ links (x + 6 \ rechts) \]

Met een vierkante triple leerden we te werken - hiervoor en het was noodzakelijk om deze video-tutorial op te nemen. En wat als, behalve $ x $ en er nog een $ y $ constant is? Laten we naar hen kijken als nog een elementen van de coëfficiënten, d.w.z. Laten we onze uitdrukking als volgt herschrijven:

\ [{{x} ^ {2}} + 5Y \ CDOT X-6 {{y} ^ {2}} \]

\ [a = 1; b = 5Y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ links (5Y \ Right)} ^ {2}} - 4 \ CDOT \ LINKS (-6 {{Y} ^ {2}} \ Right) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7Y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5Y + 7Y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ FRAC {-5Y-7Y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6Y \]

Schrijf de ontbinding van ons vierkante ontwerp:

\ [\ links (x-y \ rechts) \ links (x + 6Y \ rechts) \]

Totaal als we terugkeren naar de initiële expressie en het herschrijven, rekening houden met wijzigingen, dan verkrijgen we het volgende:

\ [\ Frac {8} {\ links (x-y \ rechts) \ links (x + 6Y \ rechts)} \]

Wat geeft dit record ons? Niets, omdat het het niet snijdt, vermenigvuldigt het niet en is niet deelbaar. Zodra deze fractie echter een integraal onderdeel blijkt van een meer complexe expressie, blijkt een dergelijke ontbinding onderweg te zijn. Daarom, zodra u een vierkante triple ziet (het maakt niet uit, het wordt verergerd door extra parameters of niet), probeer het altijd te ontbinden op vermenigvuldigers.

Nuances-oplossingen

Onthoud de belangrijkste regels voor het omzetten van rationele uitdrukkingen:

  • Alle noemers en cijfers moeten worden gelegd op vermenigvuldigers of via de formules van verkorte vermenigvuldiging, of via de discriminant.
  • Het is noodzakelijk om te werken volgens dit algoritme: wanneer we eruit zien en proberen de formule van verkorte vermenigvuldiging te benadrukken, dan eerst proberen alles naar de maximaal mogelijke mate te vertalen. Daarna nemen we een gemeenschappelijke mate voor de beugel.
  • Uitdrukkingen met de parameter zullen heel vaak worden gevonden: andere variabelen zullen optreden als coëfficiënten. We vinden ze volgens de vierkante decomposition-formule.

Dus, zodra u rationele fracties ziet, is het eerste ding om te ontbinden en de teller en de noemer voor vermenigvuldigers (op lineaire uitdrukkingen), terwijl we de formules van verkorte vermenigvuldiging of discriminant gebruiken.

Laten we eens kijken naar een aantal van dergelijke rationele uitdrukkingen en probeer ze te ontbinden op multipliers.

Meer complexe voorbeelden oplossen

Taaknummer 1.

\ [\ Frac {4 {{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{y} ^ {2}}} {2x-3Y} \ CDOT \ FRAC {9 {{y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {}} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

We herschrijven en proberen elk van de voorwaarden te ontbinden:

\ [4 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {} \ cdot {}} ^ {2}} = {{\ linker (2x \ rechts)} ^ {2}} \]

\ [6XY = 2 \ CDOT 3 \ CDOT X \ CDOT Y = 2X \ CDOT 3Y \]

\ [9 {{} ^ {2}} = {}}} = {} \ cdot {}} ^ {2}} = {{\ links (3Y \ rechts)} ^ ^ {2}} \]

\ [8 {{x} ^ {3}} = {}}} = {} \ CDOT {}} \ CDOT {{x} ^ {3}} = {{\ linker (2x \ rechts)} ^ ^ 3}} \]

\ [27 {{} ^ {3}} = {}}} = {} \ cdot {{y} ^ {3}} = {{\ links (3Y \ rechts)} ^ ^ {3}} \]

Laten we al onze rationele uitdrukking met deze feiten herschrijven:

\ [\ Frac {{{\ linker (2x \ rechts)} ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ linker (3Y \ rechts)} ^ {2}}} {2x-3Y}} {2x-3Y} \ CDOT \ CDOT \ CDOT \ Frac {{{\ Left (3Y \ Right)} ^ {2}} - {{\ Left (2x \ Right)} ^ {2}}} {{{\ Left (2x \ Right)} ^ ^ \ 3}} + {{\ linker (3Y \ rechts)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ linker (2x \ rechts)} ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ linker (3Y \ rechts)} ^ {2}}}} {2x-3Y}} {2x-3y} \ CDOT \ CDOT \ FRACT {\ LINKS (3Y-2X \ RECHTS) \ LINKS (3Y + 2X \ RECHTS)} {\ Links (2x + 3Y \ RECHTS) \ LINKS ({{\ LINKS (2X \ RECHTS) ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ Left (3Y \ Right)} ^ {2}} \ Right)} = - 1 \]

Antwoord: $ -1 $.

Taaknummer 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ CDOT \ FRAC {2X + 1} {{}} ^ {2}} + 4-4x} \}} + 4-4x}} CDOT \ FRAC {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

Laten we alle fracties bekijken.

Eerst:

\ [3-6x = 3 \ links (1-2x \ rechts) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Right) \]

Tweede:

\ [{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ CDOT 2X + {{2} ^ {2}} = {{\ links (x-2 \ rechts)} ^ {2}} \]

Derde:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ ^ {3}} = \ links (2-x \ rechts) \ Links ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ Right) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ CDOT {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\ linker (2x \ Right)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ links (2x-1 \ rechts) \ links (2x + 1 \ rechts) \]

We herschrijven het hele ontwerp, rekening houdend met veranderingen:

\ [\ Frac {3 \ links (1-2x \ Right)} {2 \ links ({}} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} \ Right)} \ CDOT \ FRAC {2x + 1} {{{\ linker (x-2 \ rechts)} ^ {2}}} \ cdot \ frac {\ linker (2-x \ rechts) \ links ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ Right)} {\ links (2x-1 \ rechts) \ links (2x + 1 \ rechts)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ CDOT \ LINKS (-1 \ RECHTS)} {2 \ CDOT \ LINKS (X-2 \ RECHTS) \ CDOT \ LINKS (-1 \ RECHTS)} = \ FRAC {3} {2 \ links (x-2 \ juist)} \]

Antwoord: $ \ frac {3} {2 \ links (x-2 \ rechts)} $.

Nuances-oplossingen

Dus, wat we net hebben geleerd:

  • Niet elke vierkante driedubbel daalt met name naar vermenigvuldigers, dit verwijst naar een onvolledig vierkant van het verschil of verschil, dat vaak wordt gevonden als onderdeel van kubussen van het bedrag of verschil.
  • Constanten, d.w.z. Conventionele getallen die geen variabelen met hen hebben, kunnen ook optreden als actieve elementen in het ontbindingsproces. Ten eerste kunnen ze uit haakjes worden gehaald, ten tweede, de constanten zelf kunnen in de vorm van graden worden gepresenteerd.
  • Heel vaak, na ontbinding van alle elementen op vermenigvuldigers, ontstaan ​​tegenovergestelde structuren. Het verminderen van deze fracties moet extreem netjes zijn, omdat met van overklokken van bovenaf of er een extra multiplier $ -1 $ is - dit is het gevolg van wat ze tegenovergesteld zijn.

Oplossing van complexe taken

\ [\ Frac {27 {{a} {{}} ^ {3}}} {{}}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4b + 4} \]

Overweeg elke term afzonderlijk.

Eerste fractie:

\ [27 {{a} ^ ^ 3}} = {}} ^ {3}} \ CDOT {{a} ^ {3}} = {{\ Left (3A \ Right)} ^ ^ {3}}} ]

\ [64 {{b} ^ {3}} = {{2} ^ {6}} \ cdot {}} ^ {3}} = {{\ linker ({{2} ^ {2}} \ RECHTS)} ^ {3}} \ CDOT {{b} {{3}} = {{}} = {{\ linker ({{2} ^ {2}} \ cdot b \ rechts) } ^ {3}} = {{\ Left (4B \ Right)} ^ {3}} \]

\ [{{\ linker (3A \ \ Right)} ^ {3}} - {{\ Left (4B \ Right)} ^ {3}} = \ links (3A-4B \ RECHTS) \ LINKS ({{\ LINKS (3A \ RECHTS)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ links (4B \ Right)} ^ {2}} \ Right) \]

\ [{{b} ^ {2}} {{2} ^ {2}} = \ links (B-2 \ rechts) \ links (B + 2 \ rechts) \]

Tweede:

\ [9 {{a} ^ {2}} = {}}} = {} \ cdot {{a} ^ {2}} = {{\ Left (3A \ Right)} ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ {2}} = {}}} = {} \ cdot {}} {{2}} = {{\ linker (4B \ rechts)} ^ {2}} \]

\ [12AB = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

De gehele teller van de tweede fractie kunnen we als volgt herschrijven:

\ [{{\ Left (3A \ \ Right)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ LINKS (4B \ RECHTS)} ^ {2}} \]

Laten we nu naar de noemer kijken:

\ [{{b} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ CDOT 2B + {{2} ^ {2}} = {{\ Left (B + 2 \ \ rechts)} ^ {2}} \]

Laten we een alle rationele uitdrukking herschrijven, rekening houdend met de bovenstaande feiten:

\ [\ Frac {\ Left) \ Left ({{\ Left (3A \ Right)} ^ ^ 2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ Left (4B \ Right)} ^ ^ {2}} \ Right) } {\ Links (B-2 \ RECHTS) \ LINKS (B + 2 \ RECHTS)} \ CDOT \ FRACT {{{\ LINKS (B + 2 \ RECHT)} ^ {2}}}} {{{\ Left ( 3A \ RECHTS)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ links (4B \ Right)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ linker) \ links (b + 2 \ rechts)} {\ links (B-2 \ rechts)} \]

Antwoord: $ \ FRAC {\ LINKS (3A-4B \ RECHTS) \ LINKS (B + 2 \ RECHTS)} {\ Left (B-2 \ Right)} $.

Nuances-oplossingen

Terwijl we opnieuw overtuigd zijn, onvolledige vierkanten van het bedrag of onvolledige vierkanten van het verschil, die vaak worden aangetroffen in echte rationele uitdrukkingen, maar niet bang voor hen zijn, omdat ze na het converteren van elk element bijna altijd worden verminderd. Bovendien mag in geen geval niet bang zijn voor grote ontwerpen in het totale antwoord - het is vrij mogelijk dat dit niet uw fout is (vooral als alles is aangelegd voor vermenigvuldigers), en deze auteur heeft zo'n antwoord opgevat.

Concluderend, zou ik een ander complex voorbeeld willen demonteren, dat niet langer rechtstreeks rechtstreeks bij rationele fracties behoort, maar het bevat alles wat het op u wacht in deze controle en examens, namelijk: ontbinding van vermenigvuldigers, een gemeenschappelijke noemer, een vermindering van dergelijke voorwaarden. Dat is precies wat we nu zullen gaan.

Het oplossen van een moeilijke taak voor vereenvoudiging en conversie van rationele uitdrukkingen

\ [\ links (\ frac {x} {{} + 2x + 4} + \ frac {{}} ^ {2}} + 8} {{}} ^ {} } -8} - \ FRAC {1} {x-2} \ RECHTS) \ CDOT \ LINKS (\ FRAC {} {x} ^ {2}}} {}}} {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ rechts) \]

Overweeg eerst en onthul de eerste beugel: we zien drie afzonderlijke fracties met verschillende noemers, dus het eerste dat we moeten doen, is om alle drie fracties naar een gemeenschappelijke noemer te brengen, en hiervoor moet elk van hen worden afgebroken op multipliers:

\ [{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ CDOT x + {{2} ^ {2}} \]

\ [{{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ links (x-2 \ rechts) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Right) \]

We herschrijven ons hele ontwerp als volgt:

\ [\ Frac {x} {{}}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ frac {{}} ^ {2}} + 8} {\ linker ( x -2 \ RECHTS) \ LINKS ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Right)} - ​​\ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ links (x-2 \ rechts) + {{x} ^ {3}} + 8- \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {{} ^ ^ {} 2}} \ RECHTS)} {\ links (x-2 \ rechts) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} \ Right)} = \]

\ [= \ frac {{}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ links (x- 2 \ Rechts) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ Right)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ \} - 4x-4} {\} Links (x-2 \ rechts) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Right)} = \]

\ [= \ Frac {{\ linker (x-2 \ rechts)} ^ {2}}} {\ linker (x-2 \ rechts) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{} 2} ^ {2}} \ Right)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Dit is het resultaat van berekeningen van de eerste beugel.

We begrijpen met de tweede beugel:

\ [{{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ links (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ \ \ RECHTSAF) \]

We herschrijven de tweede beugel met de wijzigingen:

\ [\ Frac {{}}} {\ linker (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ rechts)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ links (x + 2 \ rechts)} {\ links (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ rechts)} = \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ linker (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ rechts)} \]

Schrijf nu het volledige bronontwerp:

\ [\ Frac {x-2} {}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{} x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ linker (x-2 \ Rechts) \ links (x + 2 \ rechts)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Antwoord: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Nuances-oplossingen

Zoals je kunt zien, bleek het antwoord vrij gezond. Let op: Heel vaak: heel vaak, met dergelijke grootschalige berekeningen, wanneer de enige variabele alleen in de noemer is, vergeten de studenten dat dit de noemer is en dat hij de fractie bij toen moet hebben en deze uitdrukking in een cijfer in een teller moet hebben, is een bruto fout.

Bovendien wil ik uw bijzondere aandacht vestigen op hoe dergelijke taken worden gemaakt. In eventuele complexe berekeningen worden alle stappen uitgevoerd op acties: eerst beschouwen we het afzonderlijk, dan combineren we afzonderlijk en alleen aan het einde combineren we alle onderdelen en beschouwen we het resultaat. Daarom verzekeren we zichzelf van stomme fouten, nauwkeurig alle berekeningen op te schrijven en tegelijkertijd geen extra tijd door te brengen, omdat het op het eerste gezicht lijkt.

Naar nieuwe vergaderingen!

Zie ook:

  1. Hoe een vermindering van rationele fracties zonder fouten? Een eenvoudig algoritme in het voorbeeld van vijf verschillende taken.
  2. Fractionele rationele uitdrukkingen
  3. Hoe het examen in de wiskunde door te geven
  4. Trial Ege 2012. Optie 12 (zonder logaritmen)
  5. Intervalmethode: het geval van ongelooflijke ongelijkheden
  6. Test op problemen B14: eenvoudig niveau, 1 optie

Opmerkingen docent

Les: Transformatie van rationele uitdrukkingen

Herinnerend aan het eerst bepalen van de rationele uitdrukking.

Definitie. Rationeel Uitdrukking - Algebraïsche expressie die geen wortels bevat en alleen de acties van de toevoeging, aftrekking, vermenigvuldiging en divisie (erectie) omvat.

Onder het concept van "een rationele uitdrukking converteren", bedoelen we, vooral de vereenvoudiging ervan. En dit wordt uitgevoerd in de procedure die het bij ons bekende: eerste acties tussen haakjes, dan Werk van cijfers (In de mate), de divisie van nummers en vervolgens toevoegingen / aftrekking.

Het hoofddoel van de les van vandaag zal de verwerving van ervaring zijn bij het oplossen van meer complexe taken voor het vereenvoudigen van rationele uitdrukkingen.

Voorbeeld 1. Vereenvoudig de rationele uitdrukking .

Beslissing. In eerste instantie lijkt het misschien dat de opgegeven fracties kunnen worden verminderd, omdat de uitdrukkingen in de fracties erg lijken op de formules van de volledige vierkanten van de overeenkomstige denominanten. In dit geval is het belangrijk om niet te haasten, maar controleer apart of het is.

Controleer de teller van de eerste fractie: . Nu is de cijferteller de tweede: .

Zoals te zien is, zijn onze verwachtingen niet gerechtvaardigd en zijn de uitdrukkingen in de tellers geen complete vierkanten, omdat ze geen verdubbeling hebben van het werk. Dergelijke uitdrukkingen, als we het cijfer 7 herinneren, worden onvolledige vierkanten genoemd. Het moet in dergelijke gevallen zeer attent zijn, aangezien de verwarring van een complete vierkante formule met onvolledig een veel voorkomende fout is, en dergelijke voorbeelden controleren de aandacht van de student.

Aangezien de reductie onmogelijk is, zullen we de toevoeging van fracties uitvoeren. De noemers hebben geen gemeenschappelijke factoren, dus verandert ze gewoon om de kleinste gemeenschappelijke noemer te verkrijgen, en een extra factor voor elke fractie is de noemer van een andere fractie.

 

Natuurlijk kunt u haakjes onthullen en vervolgens vergelijkbare termen brengen, in dit geval kunt u in dit geval de volgende sterkte doen en merken dat in de teller de eerste term de formule van de kubussensom is, en de tweede is het verschil van kubussen . Laat ons voor het gemak deze formules herinneren in het algemeen formulier:

 и .

In ons geval wordt de uitdrukking in de teller ingestort als volgt:

De tweede expressie is vergelijkbaar. Wij hebben:

.

Antwoord. .

Voorbeeld 2. Vereenvoudig de rationele uitdrukking .

Beslissing. Dit voorbeeld is vergelijkbaar met de vorige, maar hier wordt hier onmiddellijk gezien dat onvolledige vierkanten zich in de frains bevinden, daarom is de vermindering in de eerste fase van oplossingen onmogelijk. Vergelijkbaar met het vorige voorbeeld vouwen we fracties:

Hier zijn we vergelijkbaar met de hierboven gespecificeerde methode, opgemerkt en gekrulde uitdrukkingen door de formules van het bedrag en het verschil van kubussen.

Antwoord. .

Voorbeeld 3. Vereenvoudig de rationele uitdrukking .

Beslissing. Opgemerkt kan worden dat de tweede fractie-noemer is afgebroken op de factoren met de formule van de kubussen. Zoals we al weten, is de ontbinding van noemers op factoren handig om verder te zoeken naar de kleinste gemeenschappelijke noemer.

.

We geven de kleinste algemene noemer van fracties aan, het is gelijk: Aangezien het is verdeeld in een noemer van de derde fractie, en de eerste uitdrukking in het algemeen het geheel is, is er een noemer geschikt voor. Die de voor de hand liggende extra fouten aangeeft, schrijf:

.

Antwoord.

Overweeg een complexer voorbeeld met "multi-storey" -fracties.

Voorbeeld 4. Bewijzen identiteit Met alle toegestane waarden van de variabele.

Een bewijs. Om de opgegeven identiteit te bewijzen, zullen we proberen het linkerdeel (gecompliceerd) aan de eenvoudige soort die van ons is vereenvoudigd. Om dit te doen, voert u alle stappen uit met fracties in de teller en de noemer en split u de fractie en vereenvoudigen het resultaat.

. Bewezen voor alle geldige waarden van de variabele.

Bewezen.

Abstracte bron: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-Irdimmeticheskie-epacii-nad-algebraicheskim-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

Videobron: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

De eigenschappen van toevoeging, aftrekking, vermenigvuldiging en divisie zijn nuttig doordat u in staat stelt om sommen te transformeren en in handige uitdrukkingen voor het berekenen. Leer hoe u deze eigenschappen kunt gebruiken Vereenvoudig uitdrukkingen .

Bereken het bedrag:

52 + 287 + 48 + 13 =

In deze uitdrukking zijn er nummers, wanneer de "ronde" nummers optellen. Het opmerken van dit, het is gemakkelijk om oraal te berekenen. We gebruiken de herbeoordeling van de voortgang.

Vereenvoudig de hoeveelheid van de beweging

Ook om de berekening van werken te vereenvoudigen, kunt u de bewegingswet van vermenigvuldiging gebruiken.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

De combinatie- en bewegende eigenschappen worden gebruikt en Vereenvoudig letteruitdrukkingen .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · a = 12A
  • 2 · A · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8AB
  • 5b + 8B = (5 + 8) · B = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · y = 2Y

De vermenigingswetgeving wordt vaak gebruikt om berekeningen te vereenvoudigen.

Distributierecht VermenigvuldigingDistributierecht Vermenigvuldiging ten opzichte van aftrekking

Het toepassen van de distributie-eigenschap van vermenigvuldiging ten opzichte van de toevoeging of aftrekking aan de uitdrukking " (A + B) · C en (A - B) · C "We krijgen een uitdrukking die geen beugels bevat.

In dit geval zeggen ze dat wij geopenbaarde (verlaagde) beugels . Om eigenschappen te gebruiken, maakt niet uit waar de vermenigvuldiger wordt opgenomen " c"- voor haakjes of na.

Herinneringsbeugels in uitdrukkingen.

  • 2 (t + 8) = 2t + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Herinneren! !

Als de brief niet in het geval is vastgelegd, is het duidelijk dat er een numerieke factor voor de brief is 1.

Vermenigvuldiger voor haakjes

We veranderen het juiste en linkerdeel van de gelijkheid:

(A + B) C = AC + BC

We krijgen:

AC + BC = (A + B) met

In dergelijke gevallen zeggen ze dat van " AC + BC. » Gemeenschappelijke multiplier is gemaakt «с"Voor haakjes.

Voorbeelden van een algemene factor voor haakjes.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - X - 6 = (7 - 1) X - 6 = 6x - 6 = 6 (X - 1)

Добавить комментарий