Semplificazione delle espressioni

Semplificazione delle espressioni

Uno dei compiti più comuni in algebra suona come questo: "Semplifica l'espressione". Questo può essere fatto usando una delle seguenti tecniche, ma il più delle volte dovrai combinarli.

Portando termini simili.

Questo è il più facile dei ricevimenti. Simile Sono chiamati i termini che hanno la stessa parte alfabetica. Ad esempio, come espressioni 5 аe -6. а; -3. Hu. e 3. Oh ; 2 e 10. Così. È possibile piegare solo i componenti simili; Se la parte letterale dei componenti è diversa, tali componenti sono già impossibili. Sono d'accordo, se nella mia vita aggiungeremo mele con le unghie, allora avremo un qualche tipo di gioco) in matematica allo stesso modo.

Ad esempio, semplifica tale espressione:

Termini simili assegnerò diversi colori e calcolo. A proposito, il segno prima che il termine si riferisca a questo termine.

Come vedi, non ci sono più delle stesse parti alfabone. L'espressione è semplificata.

Moltiplicazione di singoli e polinomi.

Non discuterò - puoi moltiplicare i numeri. E se lettere, gradi, staffe aggiungono loro?

Monomiale - Questa è un'espressione composta da un prodotto di numeri, lettere, gradi, e deve necessariamente essere tutto bene. Sorprendentemente, solo il numero 5 è scontato, così come una variabile solitaria х.

Dopo la moltiplicazione dei pannelli singoli, utilizzare le regole di moltiplicazione dei gradi.

Sposta tre Unoblays:

Diversi colori assegnano ciò che mi moltiplicherò.

Polinomio - Questa è la somma di una ala.

Per moltiplicare l'espressione sui polinomi dietro le staffe per moltiplicare su ogni persona tra parentesi. Dettagli nell'esempio seguente.

Resta per richiamare la moltiplicazione del polinomio al polinomiale. Con questo, è necessario moltiplicare ogni bene nelle prime parentesi a ciascuna persona nelle prime parentesi, i risultati si piegano o deducono a seconda dei segni dei termini.

Fare un fattore comune per parentesi.

Comprenderemo l'esempio.

Questa espressione è data:

Cosa è comune a questi due termini? Ecco bene, ci sono un moltiplicatore in entrambi. x. Sarà un fattore generale che deve essere tolto.

Prendi un altro esempio

Entrambi i numeri nei componenti sono suddivisi in 2, quindi il numero 2 è un fattore comune. Ma ancora in questi homarali c'è la stessa lettera ma - Uno in primo grado, l'altro - nel secondo. Lo prendiamo in misura minore, cioè. Nel primo, sarà il secondo fattore comune. In generale, si rivelerà un tale record:

Bene, facciamo il terzo esempio, solo senza commenti.

È possibile verificare la correttezza del fattore generale per le staffe mediante rivelando parentesi (moltiplicazione).

Decomposizione dei polinomi sui moltiplicatori del metodo di raggruppamento.

Se è necessario decomporre un polinomio ai moltiplicatori, il metodo di raggruppamento ti sarà utile.

È possibile raggruppare le espressioni solo facendo fattori generali per staffa. Ma è necessario farlo in modo che le parentesi alla fine funzionino lo stesso. Per che cosa? Sì, quindi, quindi per creare queste staffe per altre parentesi.

L'esempio sarà più chiaro)

Prendo un esempio il più semplice, pulito per capire cosa dovrebbe essere fatto.

Nei primi due termini, il fattore comune è la variabile а: Lo svolgeremo per la staffa. Nelle seconde due termini, il fattore totale è il numero 6. Viene anche eseguito per parentesi.

Hai visto due parentesi identiche? Ora sono un fattore comune. Li sopportamo dietro la staffa e prendiamo un prodotto carino di due parentesi:

La decomposizione della piazza è tre decisioni sui moltiplicatori.

Lascia che il quadrato tre-shreddance:

Per decomparlo sui moltiplicatori è necessario risolvere l'equazione quadrata

Equazione successiva delle radici х1 и х2Sostituire la seguente formula:

Proviamo.

Prendi questo tre stantio:

Trova le radici dell'equazione quadrata.

Lo sostituiamo nella formula per la decomposizione della quadrata tre decomposizione dei moltiplicatori:

Qualcosa di troppi svantaggi nella seconda staffa. Leggermente convertirlo:

Ora meraviglioso)

Puoi ancora venire utile:

- capacità di lavorare con le frazioni ordinarie;

- Capacità di tagliare la frazione;

- Conoscenza delle formule di moltiplicazione abbreviata.

Ma tali compiti possono incontrarti all'esame.

1) Semplifica:

La soluzione qui.

2) Trova il valore dell'espressione a valori specificati delle variabili:

La soluzione qui.

3) Trova il valore dell'espressione a valori specificati delle variabili:

La soluzione qui.

Ci sono molti compiti simili - non si adattano a tutti)

Avere domande? Scrivimi!

Il tuo insegnante personale.

Trasformazione competente di espressioni razionali

Le espressioni e le frazioni razionali sono la pietra angolare dell'intero corso dell'algebra. Coloro che imparano a lavorare con tali espressioni, semplificarli e stentati sui moltiplicatori, infatti possono risolvere qualsiasi compito, poiché la trasformazione delle espressioni è parte integrante di qualsiasi equazione grave, disuguaglianza e persino un compito testuale.

In questo video, vedremo come applicare con competenza le formule della moltiplicazione abbreviata per semplificare le espressioni e le frazioni razionali. Insegna a vedere queste formule dove, a prima vista, non c'è nulla. Allo stesso tempo, ripetiamo una reception così semplice, come la decomposizione del quadrato triplo ai moltiplicatori attraverso il discriminante.

Come probabilmente ha indovinato le formule per la mia schiena, oggi studieremo le formule di moltiplicazione abbreviata e, più precisamente, non le formule stesse, ma il loro uso per semplificare e ridurre espressioni razionali complesse. Ma prima di passare alla risoluzione degli esempi, avviamo più vicino a queste formule o ricorderle:

  1. $ {{A} ^ {2}} - {{B} ^ {2}} = \ Sinistra (A-B \ destra) \ Sinistra (A + B \ destra) $ - La differenza dei quadrati;
  2. $ {{\ Sinistra (A + B \ destra)} ^ {2}} = {{A}} = {{A} ^ {2}} + 2AB + {{B} ^ {2}} $ - La somma dell'importo;
  3. $ {{\ Sx (A-B \ Destra)} ^ {2}} = {{A}} {2}} - 2AB + {{B} ^ {2}} $ - il quadrato della differenza;
  4. $ {{A} ^ {3}} + {{B}} {3}} = \ SINISTRA (A + B \ DESTRA) \ SINISTRA ({{A} ^ {2}} - AB + {{B} ^ 2}} \ destra) $ - la quantità di cubi;
  5. $ {{A} ^ {3}} - {{b}} {3}} = \ sinistra (ab \ destra) \ sinistra ({{a} ^ {2}} + AB + {{B} ^ {2 }} \ Destra) $ - la differenza dei cubi.

Vorrei anche notare che il nostro sistema scolastico di educazione è organizzato in modo tale da essere con lo studio di questo argomento, cioè. Le espressioni razionali, così come le radici, i moduli di tutti gli studenti sorgono lo stesso problema che spiegherò ora.

Il fatto è che all'inizio di studiare le formule di moltiplicazione abbreviata e, di conseguenza, azioni per ridurre le frazioni (questa è da qualche parte di classe 8) gli insegnanti dicono qualcosa come segue: "Se qualcosa non è chiaro, allora non ti preoccumo, lo siamo Questo argomento tornerà ancora ripetutamente, nelle scuole superiori in modo accurato. Lo analizzeremo. " Bene, allora a turno del 9-10 ° grado, gli stessi insegnanti spiegano gli stessi studenti che non sanno come risolvere frazioni razionali, circa quanto segue: "Dove sei stato i due anni precedenti? È stato studiato sull'algebra in grado 8! Cosa può essere incomprensibile qui? È così ovvio! "

Tuttavia, i soliti discepoli di tali spiegazioni non sono affatto più facili: hanno sia il porridge, e rimasero, così in questo momento analizzeremo due semplici esempi, sulla base del quale e vediamo come in alcuni compiti reali per assegnare queste espressioni che lo farà Portaci alle formule di moltiplicazione abbreviata e come applicare questo per convertire espressioni razionali complesse.

Ridurre le frazioni razionali semplici

Attività numero 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} {2 {}}} {9 {}}} {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

La prima cosa che dobbiamo imparare è quello di allocare quadrati esatti nelle espressioni iniziali e dei gradi più alti, sulla base della quale possiamo applicare le formule. Diamo un'occhiata:

\ [9 {{y}} {4}} = {{3}} = {} ^} {{y} ^ {4}} = {{}}} {2}} \} {2}} \ {{{\ \ Sx ({ {y} ^ {2}} \ destra)} ^ {2}} = {{\ Sx (3 {y} ^ {2}} \ Destra)} ^ {2}}}}}

\ [16 {{x}} {2}} = {{2}} = {{2}} {4}} \} {{X}} {2}} = {{\ Sx ({{2} ^ {2}} \ destra)} ^ {2}}} clot {{x} ^ {2}} = {{\ Sinistra ({{2} ^ {2}}}} Cdot x \ destra)} ^ {2} } = {{\ sinistra (4 {{x} ^ {2}} \ Destra)} ^ {2}} \]

Riscriviamo la nostra espressione tenendo conto di questi fatti:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} {{2}}} {{{\ \ sinistra (3 {y} ^ {2} \ Destra)} ^ {2}} - {{\ Sx (4x \ Destra )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} {\ {\}}} {\ \ sinistra (3 {{}} ^ {2}} - 4x \ destra) \ sinistra (3 {{ y} ^ {2}} + 4x \ destra)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

Risposta: $ \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Attività numero 2.

Vai al secondo compito:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5XY-6 {{Y} ^ {2}}}} \]

Non c'è nulla da semplificare qui, perché c'è una costante nel numeratore, ma ho suggerito questo compito per essere appreso per mettere i polinomi contenenti due variabili sui moltiplicatori. Se invece è stato scritto al di sotto del polinomiale, come lo decomponiamo?

\ [{{x} ^ {2}} + 5X-6 = \ Sinistra (X -... \ Destra) \ Sinistra (X -... \ Destra) \]

Risolviamo l'equazione e trova $ x $ che possiamo mettere invece dei punti:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ Cdot \ Sinistra (-6 \ destra) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Possiamo riscrivere tre pezzi come segue:

\ [{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ sinistra (x-1 \ destra) \ sinistra (x + 6 \ destra) \]

Con una tripla quadrata, abbiamo imparato a lavorare - per questo ed è stato necessario registrare questo tutorial video. E se, tranne $ x $ e c'è un altro $ y $ costante? Guardiamo a loro come un altro elementi dei coefficienti, cioè. Riscriviamo la nostra espressione come segue:

\ [{{{X} ^ {2}} + 5Y \ CDOT X-6 {{Y} ^ {2}} \]

\ [A = 1; B = 5Y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ \ sinistra (5y \ destra)} ^ {2}} - 4 \ clot \ sinistra (-6 {{y} ^ {2}} \ destra) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7Y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5Y + 7Y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5Y-7Y} {2} = \ frac {-12Y} {2} = - 6Y \]

Scrivi la decomposizione del nostro design quadrato:

\ [\ sinistra (x-y \ destra) \ sinistra (x + 6y \ destra) \]

Totale Se ritorniamo all'espressione iniziale e riscriverlo, tenendo conto delle modifiche, quindi otteniamo quanto segue:

\ [\ Frac {8} {\ \ sinistra (x-y \ destra) \ sinistra (x + 6y \ destra)} \]

Cosa ci dà questo record? Niente, perché non lo taglia, non si moltiplica e non è divisibile. Tuttavia, non appena questa frazione risulta essere parte integrante di un'espressione più complessa, tale decomposizione risulta essere a proposito. Pertanto, non appena vedi una tripla quadrata (non importa, è aggravata da parametri aggiuntivi o meno), cerca sempre di decomparlo sui moltiplicatori.

Sfumature soluzioni

Ricorda le principali regole per convertire le espressioni razionali:

  • Tutti i denominatori e i numeri devono essere posati sui moltiplicatori o attraverso le formule di moltiplicazione abbreviata o attraverso il discriminante.
  • È necessario lavorare secondo questo algoritmo: quando guardiamo e cerchiamo di evidenziare la formula della moltiplicazione abbreviata, quindi, prima di tutto, cercando di tradurre tutto nel grado massimo di grado possibile. Dopodiché, prendiamo un grado comune per la parentesi.
  • Le espressioni con il parametro verranno trovate molto spesso: altre variabili si verificheranno come coefficienti. Li troviamo secondo la formula di decomposizione quadrata.

Pertanto, non appena vedi frazioni razionali, la prima cosa da fare è decomporre e il numeratore e il denominatore per i moltiplicatori (su espressioni lineari), mentre usiamo le formule di moltiplicazione abbreviata o discriminante.

Diamo un'occhiata a un paio di espressioni così razionali e cercano di decomparli sui moltiplicatori.

Risolvere esempi più complessi

Attività numero 1.

\ [\ Frac {4 {{x} {2 {x}} {2}} - 6XY + 9 {{Y} {2X-3Y}} {2X-3Y} \ CDOT \ FRAC {9 {{Y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x}} {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Riscriviamo e cerchiamo di decomporre ciascuno dei termini:

\ [4 {{X} ^ {2}} = {{2}} = {} \ Cdot {{X} ^ {2}} = {{\ Sx (2x \ Destra)} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ clot 3 \ cdot x \ clot y = 2x \ cdot 3y \]

\ [9 {{y} ^ {2}} = {{3}} = {} \ Cdot {{y} ^ {2}} = {{\ \ Sinistra (3Y \ destra)} ^ {2}}}]

\ [8 {{x} ^ {3}} = {{2}} = {} \ Cdot {}} \ \ clot {{x} ^ {3}} = {{\ Sx (2x \ Destra)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y}} {3}} = {{3}} = {} \ clot {{y} ^ {3}} = {{\ \ sinistra (3Y \ destra)} ^ {3}} \]

Riscriviamo tutta la nostra espressione razionale con questi fatti:

\ [\ Frac {{{\ \ sinistra (2x \ destra)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ \ sinistra (3y \ destra)} ^ {2}}} {2X-3Y} \ Cdot \ Frac {{{\ \ sinistra (3y \ destra)} ^ {2}} - {{\ sinistra (2x \ destra)} {{2}}} {{{\}} {{{\ \ sinistra (2x \ destra)} ^ {3}} + {{\ Sinistra (3Y \ destra)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ \ sinistra (2x \ destra)}} {2}} - 2x \ clot 3y + {{\ sinistra (3y \ destra)} ^ {2}}} {2X-3Y} \ Cdot \ Frac {\ sinistra (3y-2x \ destra) \ sinistra (3y + 2x \ destra)} {\ sinistra (2x + 3y \ destra) \ sinistra ({{\ sinistra (2x \ destra) ^ {2}} - 2x \ Cdot 3y + {{\ sinistra (3y \ destra)} ^ {2}}} destra)} = - 1 \]

Risposta: $ -1 $.

Attività numero 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x}} {2}} + 4x + 8} \ Cdot \ frac {2x + 1} {{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ Clot \ frac {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{X} ^ {2}} - 1} \]

Consideriamo tutte le frazioni.

Primo:

\ [3-6x = 3 \ sinistra (1-2x \ destra) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ Sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} destra) \]

Secondo:

\ [{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ Sx (X-2 \ Destra)} ^ {2}} \]

Terzo:

\ [8 - {{X} ^ {3}} = {{}} = {{2} ^ {3}} - {3}} - {{X} ^ {3}} = \ Sinistra (2-X \ Destra) \ Sinistra ({{2} ^ {2}} + 2x + {{X} ^ {2}} \ Destra) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ Cdot {{x} ^ {2}} - {{1}} {2}} = {{\ Sx (2x \ destra)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ sinistra (2x-1 \ destra) \ sinistra (2x + 1 \ destra) \]

Riscriviamo l'intero design, tenendo in considerazione le modifiche:

\ [\ Frac {3 \ sinistra (1-2x \ destra)} {2 \ sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Destra)} \ Cdot \ frac {2x + 1} {{{\ Sx (X-2 \ Destra)} ^ {2}}}} {2}}} \ {2} Frac {\ Sinistra (2-x \ destra) \ sinistra ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ Destra)} {\ Sx (2x-1 \ destra) \ sinistra (2x + 1 \ destra)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ clot \ sinistra (-1 \ destra)} {2 \ cdot \ sinistra (x-2 \ destra) \ cdot \ sinistra (-1 \ destra)} = \ frac {3} {2 \ sinistra (x-2 \ destra)} \]

Risposta: $ \ frac {3} {2 \ sinistra (x-2 \ destra)} $.

Sfumature soluzioni

Quindi, cosa abbiamo appena imparato:

  • Non tutti i triple quadrati diminuiscono ai moltiplicatori, in particolare, questo si riferisce a un quadrato incompleto della quantità o della differenza, che si trovano molto spesso come parte dei cubetti della quantità o della differenza.
  • Costanti, cioè I numeri convenzionali che non hanno variabili con loro possono anche fungere da elementi attivi nel processo di decomposizione. Innanzitutto, possono essere portati fuori parentesi, in secondo luogo, le stesse costanti possono essere presentate sotto forma di gradi.
  • Molto spesso, dopo la decomposizione di tutti gli elementi sui moltiplicatori, sorgono strutture opposte. La riduzione di queste frazioni deve essere estremamente ordinata, perché dallo overclocking da sopra, o c'è un ulteriore moltiplicatore $ -1 $ - questa è la conseguenza di ciò che sono opposti.

Soluzione di compiti complessi

\ [\ Frac {27 {{}} {{3}} - 64 {{B}} {3}}} {{}}} {{}}}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{A} ^ {2}} + 12AB + 16 {{B} ^ {2}}} {{{}} {{{B}} {2}} + 4b + 4} \]

Considera ogni termine separatamente.

Prima frazione:

\ [27 {{A} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} \ CDOT {{A} ^ {3}} = {{\ SINISTRA (3A \ DESTRA)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{B} ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} \} {{B} ^ {3}} = {{\ Sx ({{2} ^ {2}} \ destra)} ^ {3}}} clot {{b} {{3}} = {{}} = {{\ Sx ({{2} ^ {2}}} CDOT B \ DESTRA) } ^ {3}} = {{\ Sinistra (4b \ destra)} ^ {3}} \]

\ [{{\ \ sinistra (3a \ destra)} ^ {3}} - {{\ sinistra (4b \ destra)} ^ {3}} = \ sinistra (3a-4b \ destra) \ sinistra ({{\ Sinistra (3a \ destra)} ^ {2}} + 3a \ clot 4b + {{\ sinistra (4b \ destra)} ^ {2}} \ Destra) \]

\ [{{{B} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ SINISTRA (B-2 \ DESTRA) \ SINISTRA (B + 2 \ DESTRA) \] \]

Secondo:

\ [9 {{A} ^ {2}} = {{}}} = {} ^} {{A} ^ {2}} = {{\ SINISTRA (3A \ DESTRA)} ^ {2}}}]

\ [16 {{B} ^ {2}} = {{4}} = {} {} {2}} = {{{2}} = {{\ Sx (4b \ Destra)} ^ {2}}}} {2}} \]

\ [12ab = 3 \ clot 4ab = 3a \ clot 4b \]

L'intero numeratore della seconda frazione che possiamo riscrivere come segue:

\ [{{\ \ sinistra (3a \ destra)} ^ {2}} + 3a \ clot 4b + {{\ \ sinistra (4b \ destra)} ^ {2}} \]

Ora guardiamo il denominatore:

\ [{{{B} ^ {2}} + 4b + 4 = {{B} ^ {2}} + 2 \ CDOT 2B + {{2} ^ {2}} = {{\}} = {{\ Sx (B + 2 \ Destra)} ^ {2}} \]

Riavvizio un'espressione di tutte le razionali, tenendo conto dei fatti di cui sopra:

\ [\ Frac {\ sinistra) \ sinistra ({{{\ \ sinistra (3a \ destra)} ^ {2}} + 3a \ {2}} + 3a \ clot 4b + {{\ \ sinistra (4b \ destra)} ^ {2}}}} {2}}} destra) } {\ Sinistra (B-2 \ destra) \ sinistra (B + 2 \ destra)} \ clot \ frac {{{\ \ sinistra (B + 2 \ destra)} ^ {2}}} {{{\} 3a \ destra)} ^ {2}} + 3a \ clot 4b + {{\ Sx (4b \ destra)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ \ sinistra) \ sinistra (B + 2 \ destra)} {\ sinistra (B-2 \ destra)} \]

Risposta: $ \ frac {\ sinistra (3a-4b \ destra) \ sinistra (B + 2 \ destra)} {\ sinistra (B-2 \ destra)} $.

Sfumature soluzioni

Mentre ancora una volta convinto, i quadrati incompleti della quantità o dei quadrati incompleti della differenza, che si trovano spesso in reali espressioni razionali, ma non aver paura di loro, perché dopo aver convertito ogni elemento, sono quasi sempre ridotti. Inoltre, in nessun caso non dovrebbe aver paura dei grandi disegni nella risposta totale - è abbastanza possibile che questo non sia il tuo errore (specialmente se tutto è disposto per i moltiplicatori), e questo autore ha concepito una tale risposta.

In conclusione, vorrei smontare un altro esempio complesso, che non appartiene più direttamente alle frazioni razionali, ma contiene tutto ciò che ti sta aspettando in questi controlli ed esami, vale a dire: decomposizione dei moltiplicatori, portando a un comune denominatore, a riduzione di tali termini. Questo è esattamente quello che andremo ora.

Risolvere un compito difficile per la semplificazione e la conversione delle espressioni razionali

\ [\ sinistra (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{{x}} {2 {x}}} {}} + 8} {{{X} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ destra) \ cdot \ sinistra (\ frac {{{x} {{}}} {{{x}}} {{{X}} {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ Destra) \]

Innanzitutto, considera e rivela la prima parentesi: vediamo tre frazioni separate con diversi denominatori, quindi la prima cosa che dobbiamo fare è portare tutte e tre le frazioni a un denominatore comune, e per questo, ognuno di loro dovrebbe essere decomposto sui moltiplicatori:

\ [{{x} ^ {2}} + 2X + 4 = {{X} ^ {2}} + 2 \ CDOT X + {{2} ^ {2}}}}

\ [{{x} ^ {2}} - 8 = {{X} ^ {3}} - {{2}} {2}} = \ sinistra (x-2 \ destra) \ sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Destra) \]

Riscriviamo il nostro intero design come segue:

\ [\ Frac {x} {{{{X}} {2}} + 2X + {{2} ^ {2}}} + \ FRAC {{{X} ^ {2}} + 8} {\} sinistra ( x -2 \ destra) \ sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \} destra)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ \ sinistra (x-2 \ destra) + {{x} ^ {3}} + 8- \ \ \ sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ destra)} {\ sinistra (x-2 \ destra) \ sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} destra)} = \]

\ [= \ frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{X} ^ {2}} - 2X-4} {\ Sx (X- 2 \ destra) \ sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2}} destra)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ A sinistra (x-2 \ destra) \ sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Destra)} = \]

\ [= \ Frac {{\ \ sinistra (x-2 \ destra)} ^ {2}}} {\ \ sinistra (x-2 \ destra) \ sinistra ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ destra)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Questo è il risultato dei calcoli della prima staffa.

Comprendiamo con la seconda staffa:

\ [{{x} ^ {2}} - 4 = {{X} ^ {2}} - {{2}} {2}} = \ Sinistra (X-2 \ Destra) \ Sinistra (X + 2 \ GIUSTO) \]

Riscriviamo la seconda staffa con le modifiche:

\ [\ Frac {{{x}} {2}}} {\ \} sinistra (x-2 \ destra) \ sinistra (x + 2 \ destra)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ Sinistra (x + 2 \ destra)} {\ sinistra (x-2 \ destra) \ sinistra (x + 2 \ destra)} = \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ sinistra (x-2 \ destra) \ sinistra (x + 2 \ destra)} \]

Ora scrivi l'intero design sorgente:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ clot \ frac {{{x} ^ {2 {X} ^ {2}} + 2X + 4} {\ Sx (X-2 \ Destra) \ sinistra (x + 2 \ destra)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Risposta: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Sfumature soluzioni

Come puoi vedere, la risposta si è rivelata piuttosto sana. Tuttavia, nota: molto spesso, con calcoli così su larga scala, quando l'unica variabile è solo nel denominatore, gli studenti dimenticano che questo è il denominatore e avrebbe dovuto in piedi la frazione in poi e scrivere questa espressione in un numeroso - questo è un errore grossolano.

Inoltre, vorrei attingere la tua particolare attenzione su come vengono effettuate tali compiti. In tutti i calcoli complessi, tutte le fasi vengono eseguite sulle azioni: Innanzitutto, lo consideriamo separatamente, quindi ci combiniamo separatamente e solo alla fine combiniamo tutte le parti e consideriamo il risultato. Pertanto, assicuriamo da sé da errori stupidi, scriviamo con cautela tutti i calcoli e allo stesso tempo non trascorrere un tempo extra, come può sembrare a prima vista.

A nuovi incontri!

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Commenti insegnante

Lezione: Trasformazione di espressioni razionali

Richiamando prima determinazione dell'espressione razionale.

Definizione. Razionale Espressione - Espressione algebrica che non contiene radici e include solo le azioni dell'aggiunta, della sottrazione, della moltiplicazione e della divisione (erezione).

Sotto il concetto di "convertire un'espressione razionale", intendiamo, soprattutto, la sua semplificazione. E questo viene effettuato nella procedura nota a noi: le prime azioni tra parentesi, quindi Lavoro dei numeri (Intenzione al grado), divisione dei numeri e quindi aggiunte / sottrazione.

Lo scopo principale della lezione di oggi sarà l'acquisizione dell'esperienza nella risoluzione di compiti più complessi per semplificare le espressioni razionali.

Esempio 1. Semplifica l'espressione razionale .

Decisione. All'inizio, può sembrare che le frazioni specificate possano essere ridotte, poiché le espressioni nelle frazioni sono molto simili alle formule dei quadrati completi dei denominanti corrispondenti. In questo caso, è importante non correre correre, ma controllare separatamente se lo è.

Controlla il numeratore della prima frazione: . Ora il numeratore è il secondo: .

Come si può vedere, le nostre aspettative non sono state giustificate, e le espressioni nei numeri non sono quadrati complete, dal momento che non hanno raddoppio del lavoro. Tali espressioni, se ricordiamo il grado 7, sono chiamate quadrati incompleti. Dovrebbe essere molto attento in tali casi, poiché la confusione di una formula quadrata completa con incompleta è un errore molto comune, e tali esempi controllano l'attenzione dello studente.

Poiché la riduzione è impossibile, allora eseguiremo l'aggiunta di frazioni. I denominatori non hanno fattori comuni, quindi semplicemente cambiano per ottenere il più piccolo denominatore comune e un fattore aggiuntivo per ogni frazione è il denominatore di un'altra frazione.

 

Ovviamente, quindi è possibile rivelare parentesi e quindi portare termini simili, tuttavia, in questo caso è possibile eseguire la seguente forza e notare che nel numeratore il primo termine è la formula della somma dei cubi, e il secondo è la differenza dei cubetti . Per comodità, richiamiamo queste formule in forma generale:

 и .

Nel nostro caso, l'espressione nel numeratore è crollata come segue:

La seconda espressione è simile. Abbiamo:

.

Risposta. .

ESEMPIO 2. Semplifica l'espressione razionale .

Decisione. Questo esempio è simile a quello precedente, ma è immediatamente visto qui che i quadrati incompleti si trovano nelle fringati, quindi la riduzione della fase iniziale delle soluzioni è impossibile. Simile all'esempio precedente piegiamo frazioni:

Qui siamo simili al metodo specificato sopra, notato e arricciato espressioni da parte delle formule della quantità e della differenza dei cubi.

Risposta. .

ESEMPIO 3. Semplifica l'espressione razionale .

Decisione. Si può notare che la seconda frazione denominatore è decomposta sui fattori dalla formula dei cubi. Come già sappiamo, la decomposizione dei denominatori sui fattori è utile per cercare ulteriormente il più piccolo denominatore comune.

.

Indichiamo il minimo denominatore generale delle frazioni, è uguale: , poiché è diviso in un denominatore della terza frazione, e la prima espressione è generalmente il tutto, e qualsiasi denominatore è adatto per questo. Indicando gli ovvi guasti aggiuntivi, scrivi:

.

Risposta.

Considera un esempio più complesso con frazioni "multi-storey".

ESEMPIO 4. Dimostrare identità Con tutti i valori ammissibili della variabile.

Prova. Per dimostrare l'identità specificata, proveremo a semplificare la sua parte sinistra (complicata) alle specie semplici che ci sono richieste. Per fare ciò, eseguire tutti i passaggi con le frazioni nel numeratore e sul denominatore, quindi dividere la frazione e semplificare il risultato.

. Dimostrato per tutti i valori validi della variabile.

Dimostrato.

Fonte astratta: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-eperienza-nad-algebraicheskim--Robyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-Vyrazheniy?Konspekt&chapter_id=13.

Fonte video: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq-

Le proprietà di aggiunta, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono utili in quanto ti permette di trasformare somme e lavori in espressioni convenienti per il calcolo. Scopri come usare queste proprietà Semplifica le espressioni .

Calcola la quantità:

52 + 287 + 48 + 13 =

In questa espressione ci sono numeri, quando i numeri "rotondi" sono aggiunti. Notando questo, è facile calcolare per via orale. Usiamo la rivalutazione dei progressi.

Semplifica la quantità del movimento

Anche per semplificare il calcolo delle opere, è possibile utilizzare il movimento dell'atto di moltiplicazione.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Le proprietà combinatorie e in movimento sono utilizzate e Semplifica le espressioni di lettera .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12A
  • 2 · A · 4 · B = 2 · 4 · A · B = 8AB
  • 5b + 8b = (5 + 8) · B = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · y = 2Y

La legge sulla distribuzione della moltiplicazione viene spesso utilizzata per semplificare i calcoli.

Moltiplicazione della legge sulla distribuzioneMoltiplicazione della legge di distribuzione relativa alla sottrazione

Applicazione della proprietà di distribuzione della moltiplicazione relativa all'aggiunta o alla sottrazione all'espressione " (A + B) · C e (A - B) · c "Otteniamo un'espressione che non contiene parentesi.

In questo caso, dicono che noi parentesi rivelata (abbassate) . Per utilizzare le proprietà non importa dove il moltiplicatore è registrato " c"- davanti a parentesi o dopo.

Richiama le parentesi in espressioni.

  • 2 (T + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Ricordare! !

Se la lettera non è registrata nel caso, è inteso che c'è un fattore numerico davanti alla lettera 1.

Moltiplicatore per parentesi

Cambiamo la parte giusta e sinistra dell'uguaglianza:

(A + B) C = AC + BC

Noi abbiamo:

AC + BC = (A + B) con

In questi casi, lo dicono da " AC + BC. » Il moltiplicatore comune è stato fatto «с"Per parentesi.

Esempi di un fattore generale per parentesi.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

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