अभिव्यक्ति का सरलीकरण

अभिव्यक्ति का सरलीकरण

बीजगणित में सबसे आम कार्यों में से एक इस तरह लगता है: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं"। यह निम्नलिखित तकनीकों में से एक का उपयोग करके किया जा सकता है, लेकिन अक्सर आपको उन्हें गठबंधन करने की आवश्यकता होगी।

समान शब्द लाना।

यह रिसेप्शन का सबसे आसान है। एक जैसा उन्हें उन शर्तों को कहा जाता है जिनमें एक ही वर्णमाला हिस्सा होता है। उदाहरण के लिए, जैसे अभिव्यक्ति 5 аऔर -6 а; -3। हू। और 3। बहुत खूब ; 2 और 10. इसलिए। आप केवल समान घटकों को फोल्ड कर सकते हैं; यदि घटकों का शाब्दिक हिस्सा अलग है, तो ऐसे घटक पहले से ही असंभव हैं। सहमत हैं, अगर मेरे जीवन में हम नाखूनों के साथ सेब जोड़ देंगे, तो हमारे पास गणित में कुछ प्रकार का खेल होगा) उसी तरह से।

उदाहरण के लिए, ऐसी अभिव्यक्ति को सरल बनाता है:

इसी तरह के शब्द मैं विभिन्न रंगों को आवंटित करूंगा और गणना करूंगा। वैसे, इस शब्द को संदर्भित करने से पहले संकेत।

जैसा कि आप देखते हैं, एक ही अल्फाबोन भागों से अधिक नहीं हैं। अभिव्यक्ति को सरल बना दिया गया है।

एकल विंग और बहुपदों का गुणा।

मैं बहस नहीं करूंगा - आप संख्याओं को गुणा कर सकते हैं। और यदि पत्र, डिग्री, ब्रैकेट उन्हें जोड़ते हैं?

एकपदीय - यह एक अभिव्यक्ति है जिसमें संख्याओं, अक्षरों, डिग्री, और यह ठीक से ठीक होना चाहिए। हैरानी की बात है, केवल संख्या 5 भी अनलॉक है, साथ ही साथ एक लोन वैरिएबल भी х.

एकल पैनलों के गुणा पर डिग्री के गुणा के नियमों का उपयोग करते हैं।

तीन Unoblays को ले जाएं:

विभिन्न रंग आवंटित करते हैं जो मैं गुणा करूंगा।

बहुपद - यह एक पंख का योग है।

ब्रैकेट में प्रत्येक व्यक्ति को गुणा करने के लिए कोष्ठक के पीछे बहुपदों पर अभिव्यक्ति को गुणा करने के लिए। निम्नलिखित उदाहरण में विवरण।

यह बहुपद के बहुपद के गुणा को याद करने के लिए बनी हुई है। इसके साथ, प्रत्येक व्यक्ति को पहले कोष्ठक में प्रत्येक व्यक्ति को पहले ब्रैकेट में गुणा करना आवश्यक है, परिणाम शर्तों के संकेतों के आधार पर परिणाम गुना या कटौती करना आवश्यक है।

कोष्ठक के लिए एक आम कारक बनाना।

हम उदाहरण को समझेंगे।

यह अभिव्यक्ति दी गई है:

इन दो शर्तों के लिए क्या आम है? यह सही है, दोनों में एक गुणक हैं। x। वह एक सामान्य कारक होगा जिसे बाहर निकालने की जरूरत है।

एक और उदाहरण लें।

घटकों में दोनों संख्याओं को 2 में विभाजित किया गया है, फिर संख्या 2 एक आम कारक है। लेकिन फिर भी इन समलैंगिकों में एक ही पत्र है लेकिन - पहली डिग्री में, दूसरा - दूसरे में। हम इसे कम हद तक लेते हैं, यानी। पहले में, यह दूसरा आम कारक होगा। आम तौर पर, यह इस तरह के एक रिकॉर्ड को बदल देगा:

खैर, चलिए तीसरे उदाहरण, केवल टिप्पणी के बिना।

आप कोष्ठक (गुणा) का खुलासा करके ब्रैकेट के लिए सामान्य कारक की शुद्धता की जांच कर सकते हैं।

समूहबद्ध विधि के गुणक पर बहुपदों का अपघटन।

यदि आपको गुणक को बहुपद को विघटित करने की आवश्यकता है, तो ग्रुपिंग विधि आपके लिए उपयोगी होगी।

प्रति ब्रैकेट सामान्य कारकों को बनाकर केवल अभिव्यक्ति को समूह बनाना संभव है। लेकिन इसे बनाना आवश्यक है ताकि ब्रैकेट अंततः वही काम करेंगे। किस लिए? हां, फिर, इन ब्रैकेट को अन्य ब्रैकेट के लिए बनाने के लिए।

उदाहरण स्पष्ट होगा)

मैं एक उदाहरण लेता हूं कि क्या किया जाना चाहिए यह समझने के लिए साफ, साफ।

पहले दो शब्दों में, सामान्य कारक चर है а: हम इसे ब्रैकेट के लिए बाहर ले जाते हैं। दूसरे दो शब्दों में, कुल कारक संख्या 6 है। इसे ब्रैकेट के लिए भी किया जाता है।

क्या आपने दो समान ब्रैकेट देखा है? अब वे एक आम कारक हैं। हम उन्हें ब्रैकेट के पीछे सहन करते हैं और दो ब्रैकेट का प्यारा उत्पाद प्राप्त करते हैं:

वर्ग के अपघटन मल्टीप्लायरों पर तीन निर्णय है।

चलो वर्ग तीन shreddance:

मल्टीप्लायरों पर यह विघटित करने के लिए यह वर्ग समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक है

अगला जड़ों समीकरण х1 и х2निम्न सूत्र के लिए स्थानापन्न:

हम कोशिश करेंगे।

इस तीन बासी लें:

वर्ग समीकरण के मूल का पता लगाएं।

हम उन्हें मल्टीप्लायरों के वर्ग तीन अपघटन के अपघटन के लिए सूत्र में स्थानापन्न:

कुछ दूसरे ब्रैकेट में भी कई minuses। थोड़ा परिवर्तित:

अब अद्भुत)

आप अभी भी काम में आ सकता है:

- साधारण अंशों के साथ काम करने की क्षमता;

- क्षमता अंश कटौती करने के लिए;

- संक्षिप्त गुणा के सूत्रों का ज्ञान।

लेकिन इस तरह के कार्यों परीक्षा पर आप पूरा कर सकते हैं।

1) सरल:

यहाँ समाधान।

2) चर के निर्दिष्ट मानों पर अभिव्यक्ति के मूल्य खोजें:

यहाँ समाधान।

3) चर के निर्दिष्ट मानों पर अभिव्यक्ति के मूल्य खोजें:

यहाँ समाधान।

वहाँ कई समान कार्य कर रहे हैं - वे उन्हें सभी फिट नहीं होगा)

कोई सवाल? मुझे लिखो!

आपकी निजी शिक्षक।

तर्कसंगत भाव के सक्षम परिवर्तन

वाजिब भाव और अंशों बीजगणित का पूरा कोर्स की आधारशिला है। जो लोग, इस तरह के भाव के साथ काम उन्हें सरल बनाने और मल्टीप्लायरों पर बाहर बिछाने के लिए जानने के लिए, वास्तव में वे किसी भी कार्य हल कर सकते हैं, भाव के परिवर्तन के बाद से किसी भी गंभीर समीकरण, असमानता का एक अभिन्न हिस्सा है और यहां तक ​​कि एक शाब्दिक काम है।

इस वीडियो में, हम कैसे सुयोग्य तर्कसंगत भाव और अंशों को आसान बनाने के लिए संक्षिप्त गुणा के फार्मूले लागू करने के लिए देखेंगे। इन सूत्रों जहां, पहली नजर में, वहाँ कुछ भी नहीं है देखने के लिए सिखाओ। एक ही समय में, हम विभेदक के माध्यम से मल्टीप्लायरों के लिए वर्ग ट्रिपल के अपघटन के रूप में इस तरह के एक सरल स्वागत दोहराए जाते हैं,।

आप शायद मेरी पीठ के लिए फार्मूले अनुमान लगाया, आज हम संक्षिप्त गुणा के सूत्रों का अध्ययन करेंगे, और, और अधिक स्पष्ट, नहीं फार्मूले खुद को, लेकिन सरल और जटिल तर्कसंगत भाव कम करने के लिए उनके उपयोग। लेकिन हल उदाहरण के लिए स्विच करने से पहले, चलो इन सूत्रों की ओर बढ़ते जाएंगे या उन्हें याद करते हैं:

  1. $ {{A} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ छोड़ दिया (एक-बी \ right) \ छोड़ दिया (ए + बी \ right) $ - वर्गों का अंतर;
  2. $ {{\ छोड़ दिया (ए + बी \ right)} ^ {2}} = {{एक}} = {{एक} ^ {2}} + 2AB + {{ख} ^ {2}} $ - योग राशि का;
  3. $ {{\ छोड़ दिया (एक-बी \ right)} ^ {2}} = {{एक}} {2}} - 2AB + {{ख} ^ {2}} $ - अंतर का वर्ग;
  4. $ {{A} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ छोड़ दिया (ए + बी \ right) \ छोड़ दिया ({{एक} ^ {2}} - एबी + {{बी} ^ 2}} \ right) $ - क्यूब्स की राशि;
  5. $ {{A} ^ {3}} - {{बी} ^ {3}} = \ छोड़ दिया (अब \ right) \ छोड़ दिया ({{एक} ^ {2}} + एबी + {{बी} ^ {2 }} \ right) $ - घनों के अंतर।

मैं भी टिप्पणी करने के लिए की तरह शिक्षा के हमारे स्कूल प्रणाली को इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है कि होता है कि यह इस विषय है, अर्थात के अध्ययन के साथ है तर्कसंगत भाव है, साथ ही जड़ों, सभी छात्रों के मॉड्यूल एक ही समस्या है कि अब मैं समझा जाएगा उत्पन्न होती हैं।

"अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो आप चिंता नहीं, हम कर रहे हैं है: तथ्य यह है कि बहुत, संक्षिप्त गुणा के सूत्रों का अध्ययन करने की शुरुआत और, तदनुसार अंशों को कम करने के कार्यों में इस प्रकार शिक्षकों कुछ कहना है (यह कहीं वर्ग 8) है यह विषय अभी भी सही ढंग से के रूप में बार-बार वापस हो जाएगा, उच्च विद्यालयों में। हम यह विश्लेषण करेगा। " ठीक है, तो 9-10th ग्रेड के मोड़ पर, एक ही शिक्षकों को एक ही छात्रों को, जो तर्कसंगत अंशों हल करने के लिए कैसे, निम्नलिखित के बारे में पता नहीं है समझाने: "आप कहां पिछले दो वर्षों के लिए किया गया है? यह ग्रेड 8 में बीजगणित पर अध्ययन किया गया था! क्या समझ से बाहर यहाँ हो सकता है? यह बहुत स्पष्ट है! "

हालांकि, इस तरह के स्पष्टीकरण से सामान्य चेलों सब आसान पर नहीं हैं: वे दोनों दलिया है, और बना रहा है, इसलिए अभी हम जो के आधार पर दो सरल उदाहरण का विश्लेषण करेगा, और की वास्तविक कार्यों में कैसे इन भाव आवंटित करने के लिए कि इच्छा देखते हैं हमें संक्षिप्त गुणा और कैसे की फार्मूले के लिए नेतृत्व इस जटिल तर्कसंगत भाव कन्वर्ट करने के लिए लागू करने के लिए।

सरल तर्कसंगत अंशों को कम करना

टास्क नंबर 1।

\ [\ Frac {4 एक्स + 3 {{Y} ^ {2}}} {9 {{y} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

पहली बात यह है कि हम सीखने की जरूरत है, प्रारंभिक भाव और उच्च डिग्री में सटीक वर्गों आवंटित करने के लिए जिसके आधार पर हम फिर सूत्रों आवेदन कर सकते हैं पर है। चलो एक नज़र लेते हैं:

\ [9 {{y} ^ {4}} = {{3}} = {} \ सी-डॉट {{y} ^ {4}} = {{3}} {2}} \ सी-डॉट {{\ छोड़ दिया ({ {y} ^ {2}} \ right)} ^ {2}} = {{\ छोड़ दिया (3 {y} ^ {2}} \ right)} ^ {2}} \]

\ [16 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} \ सी-डॉट {{x} ^ {2}} = {{\ छोड़ दिया ({{2} ^ {2}} \ right)} ^ {2}} \ सी-डॉट {{x} ^ {2}} = {{\ छोड़ दिया ({{2} ^ {2}} \ सी-डॉट एक्स \ right)} ^ {2} } = {{\ छोड़ दिया (4 {{x} ^ {2}} \ right)} ^ {2}} \]

चलो हमारे अभिव्यक्ति को फिर से लिखने के खाते में इन तथ्यों को ले जा रहा है:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{{\ छोड़ दिया (3 {y} ^ {2} \ right)} ^ {2}} - {{\ छोड़ दिया (4x \ अधिकार )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{Y} ^ {2}}} {\ छोड़ दिया (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ right) \ वाम (3 {{ y} ^ {2}} + 4x \ right)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

उत्तर: $ \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $।

कार्य संख्या 2।

दूसरा काम पर जाएँ:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy -6 {{y} ^ {2}}} \]

अंश में एक स्थिर है क्योंकि, लेकिन मैं मल्टीप्लायरों पर दो चर युक्त बहुआयामी पद डाल करने के लिए सीखा जा करने के लिए इस कार्य को सुझाव दिया वहाँ, यहाँ आसान बनाने के लिए कुछ नहीं है। अगर इसके बजाय यह बहुपद नीचे लिखा गया था, हम इसे कैसे विघटित होगा?

\ [{{X} ^ {2}} + 5x -6 = \ छोड़ दिया (एक्स -... \ right) \ बाईं (एक्स -... \ right) \]

के समीकरण को हल और $ x $ है कि हम अंक के बजाय डाल सकते हैं पता करते हैं:

\ [{{X} ^ {2}} + 5x -6 = 0 \]

\ [डी = 25-4 \ सी-डॉट \ छोड़ दिया (-6 \ सही) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ Sqrt {घ} = 7 \]

\ [{{X} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{X} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

इस प्रकार हम तीन टुकड़े पुनर्लेखन कर सकते हैं:

\ [{{X} ^ {2}} + 5XY -6 {{Y} ^ {2}} = \ छोड़ दिया (एक्स 1 \ right) \ छोड़ दिया (x + 6 \ right) \]

एक वर्ग ट्रिपल के साथ, हम काम करना सीखा - इस के लिए है और यह इस वीडियो ट्यूटोरियल रिकॉर्ड करने के लिए जरूरी हो गया था। और क्या अगर, $ x $ छोड़कर और वहाँ एक और $ y $ स्थिर है? गुणांकों के एक और तत्व है, यानी के रूप में उन पर आइए नज़र चलो हमारे अभिव्यक्ति इस प्रकार पुनर्लेखन करते हैं:

\ [{{X} ^ {2}} + 5 वर्ष \ सी-डॉट एक्स 6 {{Y} ^ {2}} \]

\ [एक = 1; ख = 5 वर्ष ग = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [डी = {{\ छोड़ दिया (5 वर्ष \ right)} ^ {2}} - 4 \ सी-डॉट \ छोड़ दिया (-6 {{y} ^ {2}} \ right) = 25 {{Y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ Sqrt {घ} = 7y \]

\ [{{X} _ {1}} = \ frac {-5Y + 7Y} {2} = y \]

\ [{{X} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12Y} {2} = - 6y \]

हमारे स्क्वायर डिजाइन के अपघटन लिखें:

\ [\ छोड़ दिया (एक्स-y \ right) \ छोड़ दिया (x + 6y \ right) \]

कुल अगर हम प्रारंभिक अभिव्यक्ति में लौटने और यह फिर से लिखने, आने वाले परिवर्तनों पर उठाना चाहते हैं तो हम निम्नलिखित प्राप्त:

\ [\ Frac {8} {\ छोड़ दिया (एक्स-y \ right) \ छोड़ दिया (x + 6y \ right)} \]

क्या इस रिकॉर्ड हमें देता है? कुछ भी नहीं है, क्योंकि यह इसे काट नहीं है, यह नहीं गुणा करता है और विभाज्य नहीं है। हालांकि, जैसे ही इस अंश पता चला है के रूप में एक अधिक जटिल अभिव्यक्ति का एक अभिन्न हिस्सा हो सकता है, इस तरह के एक अपघटन पता चला है जिस तरह से किया जाना है। इसलिए, जैसे ही आप एक वर्ग ट्रिपल देखने के रूप में (यह नहीं है बात है, यह अतिरिक्त पैरामीटर या नहीं द्वारा बिगड़ जाती है), हमेशा मल्टीप्लायरों पर यह विघटित करने के लिए प्रयास करें।

बारीकियों समाधान

तर्कसंगत भाव परिवर्तित करने के लिए मुख्य नियम याद रखें:

  • सभी हरों और अंकों के विभेदक के माध्यम से मल्टीप्लायरों पर या संक्षिप्त गुणा के सूत्रों के माध्यम से रखा जाना चाहिए, या।
  • यह इस एल्गोरिथ्म के अनुसार काम करने के लिए आवश्यक है: जब हम देखते हैं और संक्षिप्त गुणा के सूत्र को उजागर करना है, तो कोशिश करते हैं, सब से पहले, अधिकतम संभव हद तक सब कुछ अनुवाद की कोशिश। उसके बाद, हम ब्रैकेट के लिए एक आम डिग्री बाहर ले।
  • पैरामीटर के साथ भाव बहुत बार मिल जाएगा: अन्य चर गुणांक के रूप में हो जाएगा। हम वर्ग अपघटन सूत्र के अनुसार उन्हें खोजने के।

इस प्रकार, जैसे ही आप तर्कसंगत अंश देखते हैं, करने वाली पहली बात यह है कि विघटनकारी और संख्याकार, और गुणक के लिए denominator (रैखिक अभिव्यक्तियों पर), जबकि हम संक्षिप्त गुणा या भेदभाव के सूत्रों का उपयोग करते हैं।

आइए ऐसे कुछ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को देखें और उन्हें गुणक पर विघटित करने का प्रयास करें।

अधिक जटिल उदाहरणों को हल करना

टास्क नंबर 1।

\ [\ Frac {4 {{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{{{{} {{2}}} {2x-3y} \ cdot \ frac {9 {{{{{{2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

हम फिर से लिखते हैं और प्रत्येक शर्त को विघटित करने का प्रयास करते हैं:

\ [4 {{x} ^ {2}} = {{{}} = {} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ Left (2x \ राइट)} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ cdot 3 \ cdot x \ cdot y = 2x \ cdot 3y \]

\ [9 {{y} ^ {2}} = {{{{{{{y {{y} {{2}} = {{\ {{{{{{{{{{{_ {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}} {{2}} \]

\ [8 {{x} ^ {3}} = {{{{{}} = {} \ cdot {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ Left (2x \ राइट)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y} ^ {3}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} {{3}} = {{\ bept (3y \ राइट)} ^ {3}} \]

आइए इन तथ्यों के साथ हमारी सभी तर्कसंगत अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\ [\ Frac {{{\ Left (2x \ दाएं)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ Left (3y \ दाएं)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ Frac {{{\ Left (3y \ दाएं)} ^ {2}} - {{\}}} ^ {2}}} {{{\ बाएं (2x \ दाएं)} ^ {3}} + {{\ _ बाएं (3y \ दाएं)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ _ बाएं (2x \ दाएं)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ बाएं (3y \ दाएं)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ FRAC {\ Left (3y-2x \ दाएं) \ Left (3y + 2x \ दाएं)} {\ छोड़ा (2x + 3y \ दाएं) \ Left ({{\ बाएं (2x \ दाएं) ^ {2}} - 2x \ Cdot 3y + {{\ Left (3y \ दाएं)} ^ {2}} \ राइट)} = - 1 \]

उत्तर: $ -1 $।

कार्य संख्या 2।

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ सीडीओटी \ frac {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

आइए सभी अंशों पर विचार करें।

प्रथम:

\ [3-6x = 3 \ Left (1-2x \ दाएँ) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ Left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ राइट) \]

दूसरा:

\ [{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ बाएं (x-2 \ दाएं)} ^ {2}} \]

तीसरा:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ Left (2-x \ राइट) \ Left ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ राइट) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\} (2x \ दाएं)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ बाएं (2x-1 \ दाएं) \ Left (2x + 1 \ दाएं) \]

हम पूरे डिजाइन को फिर से लिखते हैं, ध्यान में रखते हुए परिवर्तन:

\ [\ Frac {3 \ बाएं (1-2x \ दाएं)} {2 \ बाएं ({{x} {{2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ राइट)} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{\ bept (x-2 \ दाएं)} ^ {2}}} \ cdot \ frac {\ Left (2-x \ दाएँ) \ Left ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ राइट)} {\ Left (2x-1 \ दाएं) \ Left (2x + 1 \ दाएं)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ Left (-1 \ दाएं)} {2 \ cdot \ bept (x-2 \ दाएं) \ cdot \ बाएं (-1 \ दाएं)} = \ frac {3} {2 \ Left (X-2 \ दाएं)} \]

उत्तर: $ \ frac {3} {2 \ बाएं (x-2 \ दाएं)} $।

बारीकियों समाधान

तो, हमने अभी क्या सीखा:

  • प्रत्येक वर्ग ट्रिपल गुणक को कम नहीं करता है, विशेष रूप से, यह राशि या अंतर के अधूरे वर्ग को संदर्भित करता है, जो अक्सर राशि या अंतर के क्यूब्स के हिस्से के रूप में अक्सर पाए जाते हैं।
  • स्थिरांक, यानी पारंपरिक संख्याएं जिनके पास उनके साथ चर नहीं हैं, वे अपघटन प्रक्रिया में सक्रिय तत्वों के रूप में भी कार्य कर सकते हैं। सबसे पहले, उन्हें ब्रैकेट से बाहर ले जाया जा सकता है, दूसरी बात, स्थिरांक स्वयं डिग्री के रूप में प्रस्तुत किए जा सकते हैं।
  • अक्सर, गुणक पर सभी तत्वों के अपघटन के बाद, विपरीत संरचनाएं उत्पन्न होती हैं। इन अंशों को कम करने के लिए बेहद साफ होना चाहिए, क्योंकि ऊपर से ओवरक्लॉकिंग के साथ, या एक अतिरिक्त गुणक $ -1 $ है - यह परिणाम है कि वे क्या विपरीत हैं।

जटिल कार्यों का समाधान

\ [\ Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{b} ^ {3}}} {{{b}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{a} ^} {2}} + 12AB + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4b + 4} \]

प्रत्येक शब्द को अलग से देखें।

सबसे पहले अंश:

\ [27 {{एक} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} \ सी-डॉट {{एक} ^ {3}} = {{\ छोड़ दिया (3 ए \ right)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{बी} ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} \ सी-डॉट {{ख} ^ {3}} = {{\ छोड़ दिया ({{2} ^ {2}} \ right)} ^ {3}} \ सी-डॉट {{ख} {{3}} = {{}} = {{\ छोड़ दिया ({{2} ^ {2}} \ सी-डॉट बी \ right) } ^ {3}} = {{\ छोड़ दिया (4 बी \ right)} ^ {3}} \]

\ [{{\ छोड़ दिया (3 ए \ right)} ^ {3}} - {{\ छोड़ दिया (4 बी \ right)} ^ {3}} = \ छोड़ दिया (3 ए-4B \ right) \ बाईं ({{\ बाईं (3 ए \ दाएं)} ^ {2}} + 3 ए \ सी-डॉट 4 बी + {{\ छोड़ दिया (4 बी \ right)} ^ {2}} \ right) \]

\ [{{ख} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ छोड़ दिया (ख -2 \ right) \ छोड़ दिया (बी + 2 \ दाएं) \]

दूसरा:

\ [9 {{एक} ^ {2}} = {{3}} = {} \ सी-डॉट {{एक} ^ {2}} = {{\ छोड़ दिया (3 ए \ right)} ^ {2}} \]

\ [16 {{ख} ^ {2}} = {{4}} = {} \ सी-डॉट {{ख} {{2}} = {{\ छोड़ दिया (4 बी \ right)} ^ {2}} \]

\ [12ab = 3 \ सी-डॉट 4AB = 3 ए \ सी-डॉट 4 बी \]

दूसरे अंश हम इस प्रकार पुनर्लेखन कर सकते हैं की पूरी अंश:

\ [{{\ छोड़ दिया (3 ए \ right)} ^ {2}} + 3 ए \ सी-डॉट 4 बी + {{\ छोड़ दिया (4 बी \ right)} ^ {2}} \]

अब हम भाजक को देखो:

\ [{{ख} ^ {2}} + 4 बी + 4 = {{ख} ^ {2}} + 2 \ सी-डॉट 2 बी + {{2} ^ {2}} = {{\ छोड़ दिया (ख + 2 \ दाएं)} ^ {2}} \]

के एक सब तर्कसंगत अभिव्यक्ति को फिर से लिखने को ध्यान में ऊपर तथ्यों लेने करते हैं:

\ [\ Frac {\ छोड़ दिया) \ छोड़ दिया ({{\ छोड़ दिया (3 ए \ right)} ^ {2}} + 3 ए \ सी-डॉट 4 बी + {{\ छोड़ दिया (4 बी \ right)} ^ {2}} \ right) } {\ वाम (बी -2 \ right) \ वाम (बी + 2 \ right)} \ सी-डॉट \ frac {{{\ छोड़ दिया (बी + 2 \ right)} ^ {2}}} {{{\ छोड़ दिया ( 3 ए \ right)} ^ {2}} + 3 ए \ सी-डॉट 4 बी + {{\ छोड़ दिया (4 बी \ right)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ छोड़ दिया) \ छोड़ दिया (ख + 2 \ right)} {\ छोड़ दिया (बी -2 \ दाएं)} \]

उत्तर: $ \ frac {\ वाम (3 ए-4B \ right) \ वाम (बी + 2 \ right)} {\ छोड़ दिया (बी -2 \ दाएं)} $।

बारीकियों समाधान

हम एक बार फिर से आश्वस्त राशि या मतभेद का अधूरा वर्गों, जो अक्सर असली तर्कसंगत भाव में पाए जाते हैं, लेकिन, उनमें से डर नहीं है क्योंकि प्रत्येक तत्व परिवर्तित करने के बाद, वे लगभग हमेशा कम हो जाता है की, अधूरा वर्गों के रूप में। इसके अलावा, किसी भी मामले में कुल जवाब में बड़े डिजाइन का डर नहीं होना चाहिए - यह बहुत संभव है कि यह आपकी त्रुटि नहीं है (विशेष रूप से अगर सब कुछ मल्टीप्लायरों के लिए खर्च की गई थी), और इस लेखक इस तरह के एक जवाब की कल्पना की।

अंत में, मैं एक जटिल उदाहरण, जो अब तर्कसंगत अंशों को सीधे अंतर्गत आता है एकत्रित न चाहते हैं, लेकिन यह सब है कि यह इन नियंत्रण और परीक्षा, अर्थात् में आप के लिए इंतज़ार कर रहा है शामिल हैं:, मल्टीप्लायरों के अपघटन एक आम भाजक को लाने, एक इस तरह के मामले में कमी। यही हम अब क्या जाना होगा है।

सरलीकरण और तर्कसंगत भाव के रूपांतरण के लिए एक मुश्किल काम को सुलझाने

\ [\ छोड़ दिया (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x 4} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ right) \ सी-डॉट \ वाम (\ frac {{{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ frac {2} {2-x} \ right) \]

सबसे पहले, पर विचार करने और पहले ब्रैकेट प्रकट: हम अलग हरों के साथ तीन अलग-अलग अंशों देख तो पहली बात यह है कि हम क्या करने की जरूरत एक आम भाजक के लिए सभी तीन अंशों लाने के लिए है, और इस के लिए, उनमें से प्रत्येक के गुणकों पर विघटित किया जाना चाहिए:

\ [{{X} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ सी-डॉट x + {{2} ^ {2}} \]

\ [{{X} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ छोड़ दिया (एक्स 2 \ right) \ छोड़ दिया ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right) \]

इस प्रकार हम अपने पूरे डिजाइन को फिर से लिखने:

\ [\ Frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {\ छोड़ दिया ( एक्स -2 \ right) \ बाईं ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ छोड़ दिया (एक्स 2 \ right) + {{x} ^ {3}} + 8 \ छोड़ दिया ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { (एक्स 2 \ सही 2}} \ right)} {\ छोड़ दिया) \ छोड़ दिया ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right)} = \]

\ [= \ Frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x -4} {\ छोड़ दिया (x- 2 \ दाएं) \ छोड़ दिया ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ right)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x -4} {\ वाम (एक्स 2 \ right) \ बाईं ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ right)} = \]

\ [= \ Frac {{\ छोड़ दिया (एक्स 2 \ right)} ^ {2}}} {\ छोड़ दिया (एक्स 2 \ right) \ छोड़ दिया ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ right)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x 4} \]

यह पहले ब्रैकेट से गणना का परिणाम है।

हम दूसरे ब्रैकेट के साथ समझते हैं:

\ [{{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ Left (X-2 \ राइट) \ Left (X + 2 \) सही) \]

हम परिवर्तनों के साथ दूसरे ब्रैकेट को फिर से लिखते हैं:

\ [\ Frac {{{x} ^ {{2}}} {\ Left (x-2 \ राइट) \ Left (x + 2 \ दाएं)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ Left (x + 2 \ दाएं)} {\ Left (x-2 \ दाएं) \ Left (X + 2 \ दाएं)} = \ frac {{{x} ^ ^ {2}} + 2x + 4} {\ Left (x-2 \ दाएं) \ Left (x + 2 \ दाएं)} \]

अब संपूर्ण स्रोत डिजाइन लिखें:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ Left (X-2) \ दाएं) \ बाएं (x + 2 \ दाएं)} = \ frac {1} {x + 2} \]

उत्तर: $ \ frac {1} {x + 2} $।

बारीकियों समाधान

जैसा कि आप देख सकते हैं, जवाब काफी समझदार हो गया। हालांकि, नोट: अक्सर, इस तरह की बड़े पैमाने पर गणनाओं के साथ, जब एकमात्र चर केवल denominator में होता है, तो छात्र भूल जाते हैं कि यह denominator है और उसे ThieMe में अंश खड़ा होना चाहिए और इस अभिव्यक्ति को एक संख्यात्मक में लिखना चाहिए था - यह एक सकल गलती है।

इसके अलावा, मैं आपके विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं कि इस तरह के कार्य कैसे किए जाते हैं। किसी भी जटिल गणना में, सभी कदमों को क्रियाओं पर किया जाता है: सबसे पहले, हम इसे अलग से मानते हैं, फिर हम अलग से गठबंधन करते हैं और केवल अंत में हम सभी भागों को जोड़ते हैं और परिणाम पर विचार करते हैं। इस प्रकार, हम खुद को बेवकूफ त्रुटियों से बीमा करते हैं, सावधानीपूर्वक सभी गणनाओं को लिखते हैं और साथ ही अतिरिक्त समय नहीं देते हैं, क्योंकि यह पहली नज़र में प्रतीत हो सकता है।

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टिप्पणियाँ शिक्षक

पाठ: तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन

पहले तर्कसंगत अभिव्यक्ति को निर्धारित करना।

परिभाषा। तर्कसंगत अभिव्यक्ति - बीजगणितीय अभिव्यक्ति जिसमें जड़ों में शामिल नहीं है और इसमें केवल अतिरिक्त, घटाव, गुणा और विभाजन (निर्माण) के कार्य शामिल हैं।

"एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति को परिवर्तित करने" की अवधारणा के तहत, हमारा मतलब है, सबसे ऊपर, इसकी सरलीकरण। और यह हमारे लिए ज्ञात प्रक्रिया में किया जाता है: ब्रैकेट में पहली क्रियाएं, फिर संख्या का कार्य (डिग्री के लिए), संख्याओं का विभाजन, और फिर जोड़ / घटाव।

आज के पाठ का मुख्य उद्देश्य तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए अधिक जटिल कार्यों को हल करने में अनुभव का अधिग्रहण होगा।

उदाहरण 1। तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

फेसला। सबसे पहले, ऐसा लगता है कि निर्दिष्ट भिन्नताओं को कम किया जा सकता है, क्योंकि अंशों में अभिव्यक्ति संबंधित संप्रदायों के पूर्ण वर्गों के सूत्रों के समान ही हैं। इस मामले में, यह महत्वपूर्ण नहीं है कि जल्दी न करें, लेकिन अलग-अलग जांचें कि क्या यह है।

पहले अंश के संख्यात्मक की जाँच करें: । अब संख्यात्मक दूसरा है: .

जैसा कि देखा जा सकता है, हमारी उम्मीदों को उचित नहीं ठहराया गया था, और संख्याकारों में अभिव्यक्ति पूर्ण वर्ग नहीं हैं, क्योंकि उन्हें काम की कोई दोगुनी नहीं है। इस तरह के अभिव्यक्ति, अगर हम ग्रेड 7 को याद करते हैं, तो अपूर्ण वर्ग कहा जाता है। यह ऐसे मामलों में बहुत चौकस होना चाहिए, क्योंकि अपूर्ण के साथ पूर्ण स्क्वायर फॉर्मूला का भ्रम एक बहुत ही आम त्रुटि है, और ऐसे उदाहरण छात्र की चौकसता की जांच करते हैं।

चूंकि कमी असंभव है, तो हम अंशों को जोड़ देंगे। संप्रदायों के पास कोई आम कारक नहीं होते हैं, इसलिए वे बस सबसे छोटे आम ​​denominator प्राप्त करने के लिए बदलते हैं, और प्रत्येक अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक किसी अन्य अंश का denominator है।

 

बेशक, आप ब्रैकेट को प्रकट कर सकते हैं और फिर इसी तरह की शर्तों को ला सकते हैं, हालांकि, इस मामले में आप निम्न शक्ति कर सकते हैं और ध्यान दें कि संख्यात्मक में पहला शब्द क्यूब्स योग का सूत्र है, और दूसरा क्यूब्स का अंतर है । सुविधा के लिए, हम इन सूत्रों को सामान्य रूप में याद करते हैं:

 и .

हमारे मामले में, संख्यात्मक में अभिव्यक्ति निम्नानुसार ध्वस्त हो जाती है:

दूसरी अभिव्यक्ति समान है। हमारे पास है:

.

उत्तर। .

उदाहरण 2। तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

फेसला। यह उदाहरण पिछले के समान है, लेकिन इसे तुरंत देखा जाता है कि अधूरे वर्ग फ्रांस में स्थित हैं, इसलिए समाधान के प्रारंभिक चरण में कमी असंभव है। पिछले उदाहरण के समान हम फोल्ड फ्रैक्शंस:

यहां हम ऊपर निर्दिष्ट विधि के समान हैं, क्यूब्स के सूत्रों के सूत्रों द्वारा अभिव्यक्तियों को ध्यान में रखते हुए और घुमाए गए हैं।

उत्तर। .

उदाहरण 3। तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

फेसला। यह ध्यान दिया जा सकता है कि दूसरे अंश denominator cubes के सूत्र द्वारा कारकों पर विघटित है। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, कारकों पर decominators की अपघटन सबसे छोटे आम ​​denominator की तलाश के लिए उपयोगी है।

.

हम अंशों के सबसे छोटे समग्र संप्रदाय को इंगित करते हैं, यह बराबर है: , चूंकि यह तीसरे अंश के एक संप्रदाय में विभाजित है, और पहली अभिव्यक्ति आम तौर पर पूरी होती है, और कोई भी denominator इसके लिए उपयुक्त है। स्पष्ट अतिरिक्त दोषों को इंगित करते हुए, लिखें:

.

उत्तर।

"बहु मंजिला" अंशों के साथ एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 4। पहचान चर के सभी अनुमेय मूल्यों के साथ।

प्रमाण। निर्दिष्ट पहचान को साबित करने के लिए, हम अपने बाएं भाग (जटिल) को सरल प्रजातियों को सरल बनाने की कोशिश करेंगे जो हमारे लिए आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, संख्याओं और denominator में भिन्नता के साथ सभी चरणों को निष्पादित करें, और फिर अंश को विभाजित करें और परिणाम को सरल बनाएं।

। चर के सभी मान्य मूल्यों के लिए साबित हुआ।

साबित हुआ।

सार स्रोत: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-eperacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

वीडियो स्रोत: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

इसके अतिरिक्त, घटाव, गुणा और विभाजन के गुण उपयोगी हैं, यह आपको कंप्यूटिंग के लिए सुविधाजनक अभिव्यक्तियों में रकम बदलने और काम करने की अनुमति देता है। इन गुणों का उपयोग कैसे करें सीखें अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

राशि की गणना करें:

52 + 287 + 48 + 13 =

इस अभिव्यक्ति में संख्याएं हैं, जब "राउंड" संख्याएं अतिरिक्त होती हैं। यह ध्यान में रखते हुए, मौखिक रूप से गणना करना आसान है। हम प्रगति के पुनर्मूल्यांकन का उपयोग करते हैं।

आंदोलन की मात्रा को सरल बनाएं

कार्यों की गणना को सरल बनाने के लिए, आप गुणा के आंदोलन अधिनियम का उपयोग कर सकते हैं।

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

संयोजन और चलती गुणों का उपयोग किया जाता है और पत्र अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

  • 6 · · 2 = 6 · 2 · A = 12a
  • 2 · a · 4 · b = 2 · 4 · · b = 8ab
  • 5 बी + 8 बी = (5 + 8) · बी = 13 बी
  • 14y - 12y = (14 - 12) · y = 2y

गुणा का वितरण कानून अक्सर गणनाओं को सरल बनाने के लिए प्रयोग किया जाता है।

वितरण कानून गुणाघटाव के सापेक्ष वितरण कानून गुणा

अभिव्यक्ति के लिए अतिरिक्त या घटाव के संबंध में गुणा की वितरण संपत्ति को लागू करना " (ए + बी) · सी और (ए - बी) · सी "हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जिसमें ब्रैकेट नहीं होते हैं।

इस मामले में, वे कहते हैं कि हम प्रकट (कम) ब्रैकेट । गुणों का उपयोग करने के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता कि गुणक कहां दर्ज किया गया है " c"- ब्रैकेट के सामने या उसके बाद।

अभिव्यक्तियों में कोष्ठक याद करें।

  • 2 (टी + 8) = 2 टी + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
याद रखना! !

यदि मामले में पत्र दर्ज नहीं किया गया है, तो यह समझा जाता है कि पत्र के सामने एक संख्यात्मक कारक है 1.

कोष्ठक के लिए गुणक

हम समानता के दाएं और बाएं हिस्से को बदलते हैं:

(ए + बी) सी = एसी + बीसी

हम पाते हैं:

एसी + बीसी = (ए + बी) के साथ

ऐसे मामलों में, वे कहते हैं कि " एसी + बीसी। » सामान्य गुणक बनाया गया है «с"कोष्ठक के लिए।

कोष्ठक के लिए एक सामान्य कारक के उदाहरण।

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

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