Simplification des expressions

Simplification des expressions

L'une des tâches les plus courantes dans l'algèbre sonne comme ceci: "Simplifier l'expression". Cela peut être fait en utilisant l'une des techniques suivantes, mais le plus souvent, vous devrez les combiner.

Apporter des termes similaires.

C'est le plus facile des réceptions. Similaire Ils sont appelés les termes qui ont la même partie alphabétique. Par exemple, comme les expressions 5 аet -6 а; -3. Hu. et 3. Wow ; 2 et 10. SO. Vous ne pouvez plier que les composants similaires; Si la partie littérale des composants est différente, les composants sont déjà impossibles. D'accord, si dans ma vie, nous ajouterons des pommes avec des ongles, nous aurons une sorte de jeu) en mathématiques de la même manière.

Par exemple, simplifie une telle expression:

Termes similaires, je vais allouer différentes couleurs et calculerez. Au fait, le signe avant le terme fait référence à ce terme.

Comme vous le voyez, il n'y a plus que les mêmes parties d'alphabone. L'expression est simplifiée.

Multiplication des single à oreilles et polynômes.

Je ne discuterai pas - vous pouvez multiplier les chiffres. Et si les lettres, les degrés, les crochets y ajoutent?

Monôme - Il s'agit d'une expression constituée d'un produit de chiffres, de lettres, de degrés, et il doit nécessairement être d'accord. De manière surprenante, le nombre 5 est également non-calculé, ainsi qu'une variable isolée х.

Lors de la multiplication des panneaux monocollants, utilisez les règles de multiplication de degrés.

Déplacer trois non -blais:

Différentes couleurs allouent ce que je vais me multiplier.

Polynôme - C'est la somme d'une aile.

Pour multiplier l'expression sur les polynômes derrière les supports pour se multiplier à chaque personne entre parenthèses. Détails dans l'exemple suivant.

Il reste à rappeler la multiplication du polynôme au polynôme. Avec cela, il est nécessaire de multiplier chaque puits sur les premiers crochets à chaque personne des premiers supports, les résultats se replient ou déduisent en fonction des signes des termes.

Faire un facteur commun pour les supports.

Nous comprendrons l'exemple.

Cette expression est donnée:

Qu'est-ce qui est commun à ces deux termes? C'est vrai, il y a un multiplicateur dans les deux. x. Il sera un facteur général qui doit être retiré.

Prendre un autre exemple.

Les deux nombres dans les composants sont divisés en 2, puis le nombre 2 est un facteur commun. Mais toujours dans ces homoraux il y a la même lettre mais - Un dans le premier degré, l'autre - dans la seconde. Nous le prenons dans une moindre mesure, c'est-à-dire Dans la première, ce sera le deuxième facteur commun. En général, il ira un tel enregistrement:

Eh bien, faisons le troisième exemple, seulement sans commentaire.

Vous pouvez vérifier l'exactitude du facteur général des supports en divulguant des supports (multiplication).

Décomposition des polynômes sur les multiplicateurs de la méthode de regroupement.

Si vous devez décomposer un polynôme à des multiplicateurs, la méthode de regroupement vous sera utile.

Il est possible de grouper des expressions uniquement en faisant des facteurs généraux par support. Mais il est nécessaire de le faire pour que les supports fonctionnent éventuellement de même. Pourquoi? Oui, puis pour faire ces supports pour d'autres supports.

L'exemple sera plus clair)

Je prends un exemple le plus simple et propre à comprendre ce qui devrait être fait.

Au cours des deux premiers termes, le facteur commun est la variable а: Nous le mènent pour le support. Dans les deuxièmes deux termes, le facteur total est le nombre 6. Il est également effectué pour les supports.

Avez-vous vu deux supports identiques? Maintenant, ils sont un facteur commun. Nous les supporde derrière le support et obtenez un mignon produit de deux crochets:

La décomposition de la place est trois décisions sur des multiplicateurs.

Laissez la carrée trois-shreddance:

Pour décomposer sur des multiplicateurs, il est nécessaire de résoudre l'équation carrée

Équation de racines suivante х1 и х2Substitut à la formule suivante:

Nous essayons.

Prenez ceci trois états:

Trouvez les racines de l'équation carrée.

Nous les substituons dans la formule pour la décomposition de la carrée trois décomposition de multiplicateurs:

Quelque chose de trop nombreux dans le deuxième support. Convertissez légèrement:

Maintenant merveilleux)

Pouvez-vous toujours venir utile:

- capacité à travailler avec des fractions ordinaires;

- capacité à couper la fraction;

- connaissance des formules de multiplication abrégée.

Mais de telles tâches peuvent vous rencontrer lors de l'examen.

1) Simplifier:

La solution ici.

2) Trouvez la valeur de l'expression à des valeurs spécifiées des variables:

La solution ici.

3) Trouvez la valeur de l'expression à des valeurs spécifiées des variables:

La solution ici.

Il y a beaucoup de tâches similaires - elles ne leur conviendront pas tous)

Avoir des questions? Écris moi!

Votre professeur personnel.

Transformation compétente des expressions rationnelles

Les expressions et les fractions rationnelles sont la pierre angulaire de l'ensemble du cours d'algèbre. Ceux qui apprennent à travailler avec de telles expressions, de les simplifier et de s'installer sur des multiplicateurs, ils peuvent en fait résoudre toute tâche, car la transformation des expressions fait partie intégrante de toute équation grave, inégalité et même une tâche textuelle.

Dans cette vidéo, nous verrons comment appliquer avec compétence les formules de la multiplication abrégée pour simplifier les expressions et les fractions rationnelles. Enseignez-vous à voir ces formules où, à première vue, il n'y a rien. Dans le même temps, nous répétons une réception aussi simple, la décomposition du carré triple aux multiplicateurs à travers le discriminant.

Comme vous devinez probablement les formules de mon dos, nous étudierons aujourd'hui les formules de multiplication abrégée et, plus précisément, pas les formules elles-mêmes, mais leur utilisation pour simplifier et réduire les expressions rationnelles complexes. Mais avant de passer à des exemples de résolution, soyez plus près de ces formules ou rappelez-vous d'eux:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ gauche (a-b \ droite) \ gauche (A + b \ droite) $ - la différence de carrés;
  2. $ {{\ gauche (a + b \ droite)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} ^ {2}} + 2ab + {{b} ^ {2}} $ - la somme du montant;
  3. $ {{\ gauche (a-b \ droite)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2ab + {{b} ^ {2}} $ - le carré de la différence;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{{b} ^ {3}} = \ gauche (a + b \ droite) \ gauche ({{A} ^ {2}} - AB + {{B} ^ 2}} \ à droite) $ - la quantité de cubes;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ gauche (AB \ droite) \ Gauche ({{A} ^ {2}} + AB + {{B} ^ {2 }} \ Droite) $ - la différence de cubes.

J'aimerais également noter que notre système scolaire d'éducation est organisé de manière à ce qu'il soit avec l'étude de ce sujet, c'est-à-dire Les expressions rationnelles, ainsi que les racines, les modules de tous les étudiants surviennent le même problème que je vais expliquer maintenant.

Le fait est qu'au tout début d'étude des formules de multiplication abrégée et, en conséquence, des actions visant à réduire les fractions (c'est quelque part de classe 8) enseignants disent quelque chose comme suit: "Si quelque chose n'est pas clair, alors vous ne vous inquiétez pas, nous sommes Ce sujet sera toujours de retour répété à plusieurs reprises dans les lycées de manière précise. Nous allons l'analyser. " Eh bien, au tournant de la 9-10e année, les mêmes enseignants expliquent les mêmes étudiants qui ne savent pas comment résoudre des fractions rationnelles, sur ce qui suit: «Où avez-vous été les deux années précédentes? Il a été étudié sur l'algèbre en 8e année! Qu'est-ce qui peut être incompréhensible ici? C'est tellement évident! "

Cependant, les disciples habituels de ces explications ne sont pas du tout plus faciles: ils ont à la fois de la bouillie et sont restés, alors nous analyserons actuellement deux exemples simples, sur la base de laquelle et voyons comment dans les tâches réelles d'allouer ces expressions qui vont conduisez-nous aux formules de multiplication abrégée et à l'appliquer pour convertir des expressions rationnelles complexes.

Réduire des fractions rationnelles simples

Numéro de tâche 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{{{{{}} {9 {{y} ^ ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

La première chose à apprendre consiste à affecter des carrés exacts dans les expressions initiales et les degrés supérieurs, sur la base desquels nous pouvons ensuite appliquer des formules. Regardons un look:

\ [9 {{y} ^ ^ {4}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {4}} = {{3}} {2}} \ CDOT {{\ restants ({ {y} ^ ^ ^ {2}} \ droite)} ^ {2}} = {{\ gauche (3 {y} ^ {2}} \ droite)} ^ {2}} \]

\ [16 {{x} ^ ^ {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ gauche ({{2} ^ {2}} \ droite)} ^ {2}} \ CDOT {{x} ^ {2}} = {{\ gauche ({{2} ^ {2}} \ CDOT x \ droite)} ^ {2} } = {{\ \ gauche (4 {{x} ^ {2}} \ droite)} ^ {2}} \]

Réécrivons notre expression en tenant compte de ces faits:

\ [\ Frac {4x + 3 {{{{{{{{}} {{{\ gauche (3 {y} ^ {2} \ droite)} ^ {2}} - {{\ gauche (4x \ droite )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {\ gauche (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ droite) \ GAUCHE (3 {{ y} ^ ^ {2}} + 4x \ droite)} = \ frac {1} {3 {{{y} ^ {2}} - 4x} \]

Réponse: $ \ frac {1} {3 {{{y} ^ {2}} - 4x} $.

Numéro de tâche 2.

Aller à la deuxième tâche:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \]

Il n'y a rien à simplifier ici, car il y a une constante dans le numérateur, mais j'ai suggéré cette tâche afin d'apprendre à mettre des polynômes contenant deux variables sur des multiplicateurs. Si, à la place, il a été écrit sous le polynôme, comment allions-nous décomposer?

\ [{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ gauche (x -... \ droite) \ gauche (x -... \ droite) \]

Sassisons l'équation et trouvons $ x $ que nous pouvons mettre au lieu de points:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ CDOT \ gauche (-6 \ droite) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Nous pouvons réécrire trois morceaux comme suit:

\ [{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ gauche (x-1 \ droite) \ gauche (x + 6 \ droite) \]

Avec un triple carré, nous avons appris à travailler - pour cela et il était nécessaire d'enregistrer ce didacticiel vidéo. Et si, sauf $ x $ $ et il y a une autre $ $ constante de y $? Regardons-les comme un autre élément des coefficients, c'est-à-dire Réécritons notre expression comme suit:

\ [{x} ^ {2}} + 5Y \ CDOT X-6 {{y} ^ ^ {2}} \]

\ [a = 1; b = 5y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ \ \ \ \ \ \ droite)} ^ {2}} - 4 \ cdot \ gauche (-6 {{{y} ^ {2}} \ droite) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6Y \]

Écrivez la décomposition de notre design carré:

\ [\ gauche (x-y \ droite) \ gauche (x + 6y \ droite) \]

Total Si nous retournons à l'expression initiale et réécrivez-le, en tenant compte des modifications apportées, nous obtenons les éléments suivants:

\ [\ Frac {8} {\ gauche (x-y \ droite) \ gauche (x + 6y \ droite)} \]

Qu'est-ce que ce disque nous donne? Rien, car cela ne le coupe pas, il ne se multiplie pas et n'est pas divisible. Toutefois, dès que cette fraction s'avère faire partie intégrante d'une expression plus complexe, une telle décomposition s'avère être au fait. Par conséquent, dès que vous voyez un triple carré (peu importe, il est aggravé par des paramètres supplémentaires ou non), essayez toujours de le décomposer sur des multiplicateurs.

Solutions Nuances

N'oubliez pas les règles principales pour convertir des expressions rationnelles:

  • Tous les dénominateurs et chiffres doivent être posés sur des multiplicateurs ou par la formule de multiplication abrégée, ou par le discriminant.
  • Il est nécessaire de travailler selon cet algorithme: lorsque nous examinons et essayons de mettre en évidence la formule de multiplication abrégée, alors, tout d'abord, essayant de tout traduire au maximum degré possible. Après cela, nous sortons un degré commun pour le support.
  • Les expressions avec le paramètre seront trouvées très souvent: d'autres variables se produiront comme coefficients. Nous les trouvons selon la formule de décomposition carrée.

Ainsi, dès que vous voyez des fractions rationnelles, la première chose à faire est de décomposer et du numérateur et du dénominateur de multiplicateurs (sur des expressions linéaires), tandis que nous utilisons les formules de multiplication abrégée ou discriminante.

Regardons quelques expressions rationnelles de ce type et tentons de les décomposer sur des multiplicateurs.

Résoudre des exemples plus complexes

Numéro de tâche 1.

\ [\ Frac {4 {{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{y}} {2x-3Y} \ CDOT \ frac {9 {{y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Nous réécrivons et essayons de décomposer chacun des termes:

\ [4 {{x} ^ ^ {2}} = {{2}} = {} \ cdot {{x} ^ ^ {2}} = {{\ gauche (2x \ droite)} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ CDOT 3 \ CDOT X \ CDOT Y = 2x \ CDOT 3Y \]

\ [9 {{y} ^ ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {2}} = {{\ gauche (3y \ droite)} ^ {2}} \]

\ [8 {{x} ^ ^ {3}} = {{2}} = {} \ cdot {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ gauche (2x \ droite)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y} ^ ^ {3}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ ^ {3}} = {{\ gauche (3Y \ droite)} ^]

Réécritons toute notre expression rationnelle avec ces faits:

\ [\ Frac {{{\ \ \ gauche (2x \ droite)} ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ gauche (3Y \ droite)} ^ {2}}} {2x-3Y} \ CDOT \ Frac {{{\ \ "gauche (3Y \ droite)} ^ {2}} - {{\ gauche (2x \ droite)} ^ {2}}} {{{\ \ \ gauche (2x \ droite)} ^ {3}}} ^ {3}}} ^ {3}}} ^ {3}} + {{\ gauche (3Y \ droite)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ gauche (2x \ droite)} ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ gauche (3Y \ droite)} ^ {2}}} {2x-3Y} \ CDOT \ Frac {\ gauche (3Y-2x \ droite) \ gauche (3Y + 2x \ droite)} {\ gauche (2x + 3Y \ droite) \ Gauche ({{\ gauche (2x \ droite) ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ \ gauche (3Y \ droite)} ^ {2}} \ droite)} = - 1 \]

Réponse: $ -1 $.

Numéro de tâche 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ CDOT \ frac {2x + 1} {2 {x} ^ {2}} + 4-4x} \ CDOT \ frac {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

Considérons toutes les fractions.

Première:

\ [3-6x = 3 \ gauche (1-2x \ droite) \]

\ [2 {{x} ^ ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ droite) \]

Seconde:

\ [{x} ^ {2}} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ CDOT 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ gauche (x-2 \ droite)} ^ {2}} \]

La troisième:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ gauche (2-x \ droite) \ GAUCHE ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ droite) \]

\ [4 {{x} ^ ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\ GAUCHE (2x \ droite)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ gauche (2x-1 \ droite) \ gauche (2x + 1 \ droite) \]

Nous réécrivons toute la conception en tenant compte des changements:

\ [\ Frac {3 \ gauche (1-2x \ droite)} {2 \ gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ droite)} \ CDOT \ frac {2x + 1} {{{\ gauche (x-2 \ droite)} ^ {2}}} \ CDOT \ frac {\ gauche (2-x \ droite) \ gauche ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ droite)} {\ gauche (2x-1 \ droite) \ gauche (2x + 1 \ droite)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ gauche (-1 \ droite)} {2 \ cdot \ gauche (x-2 \ droite) \ CDOT \ CDOT \ gauche (-1 \ droite)} = \ frac {3} {2 \ gauche (x-2 \ \ droite)} \]

Réponse: $ \ frac {3} {2 \ gauche (x-2 \ droite)} $.

Solutions Nuances

Alors, qu'est-ce que nous venons d'apprendre:

  • Tous les triples carrés ne diminuent pas les multiplicateurs, en particulier, cela fait référence à un carré incomplet de la quantité ou de la différence, qui sont très souvent trouvés dans le cadre de cubes de la quantité ou de la différence.
  • Constantes, c'est-à-dire Les nombres conventionnels qui ne disposent pas de variables avec eux peuvent également agir en tant qu'éléments actifs dans le processus de décomposition. Premièrement, ils peuvent être retirés de parenthèses, deuxièmement, les constantes eux-mêmes peuvent être présentées sous forme de degrés.
  • Très souvent, après la décomposition de tous les éléments sur les multiplicateurs, des structures opposées se posent. La réduction de ces fractions doit être extrêmement soignée, car avec une overclocking d'en haut, ou il y a un multiplicateur supplémentaire $ -1 $ - c'est la conséquence de ce qu'ils sont opposés.

Solution de tâches complexes

\ [\ Frac {27 {{A} {{3}} - 64 {{b} ^ {3}}} {{{b}} {2}}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{A} ^ {2}} + 12ab + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4b + 4} \]

Considérez chaque terme séparément.

Première fraction:

\ [27 {a {A} ^ ^ {3}} = {{3} ^ ^ {3}} \ cdot {{A} ^ {3}} = {{\ gauche (3a \ droite)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{b} ^ ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} \ cdot {{b} ^ {3}} = {{\ gone ({{2} ^ {2}} \ droite)} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3}} = {{}} = {{\ gauche ({{2} ^ {2}} \ CDOT b \ droite) } ^ {3}} = {{\ gauche (4b \ droite)} ^ {3}} \]

\ [{{\ \ \ \ gauche (3a \ droite)} ^ {3}} - {{\ gauche (4b \ droite)} ^ {3}} = \ gauche (3a-4b \ droite) \ Gauche ({{\ \ \ Gauche (3a \ droite)} ^ {2}} + 3a \ CDOT 4B + {{\ gauche (4b \ droite)} ^ {2}} \ droite) \]

\ [{b} ^ ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ gauche (B-2 \ droite) \ gauche (B + 2 \ droite) \]

Seconde:

\ [9 {a {A} ^ ^ {2}} = {{3}} = {} \ CDOT {{A} ^ {2}} = {{\ gauche (3a \ droite)} ^ ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ ^ {2}} = {{4}} = {} \ cdot {{b} {{2}} = {{\ gauche (4b \ droite)} ^]

\ [12AB = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

L'ensemble du numérateur de la deuxième fraction que nous pouvons réécrire comme suit:

\ [{\ \ \ gauche (3a \ droite)} ^ {2}} + 3a \ CDOT 4B + {{\ gauche (4b \ droite)} ^ {2}} \]

Voyons maintenant le dénominateur:

\ [{{b} ^ ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ CDOT 2B + {{2} ^ {2}} = {{\ gauche (B + 2 \ à droite)} ^ {2}} \]

Réécrivons toute expression rationnelle en tenant compte des faits ci-dessus:

\ [\ Frac {\ goned) \ Gauche ({{\ gauche (3a \ droite)} ^ {2}} + 3a \ CDOT 4B + {{\ gauche (4b \ droite)} ^ ^ {2}} \ Right) } {\ Gauche (B-2 \ droite) \ Gauche (B + 2 \ droite)} \ CDOT \ frac {{{\ gauche (B + 2 \ droite)} ^ {2}}} {{{\ { 3a \ droite)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ \ \ \ droite (4b \ droite)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ gauche) \ gauche (B + 2 \ droite)} {\ gauche (B-2 \ droite)} \]

Réponse: $ \ frac {\ gauche (3a-4b \ droite) \ gauche (b + 2 \ droite)} {\ gauche (B-2 \ droite)} $.

Solutions Nuances

Comme nous sommes encore une fois convaincus, des carrés incomplets du montant ou des carrés incomplets de la différence, qui se trouvent souvent dans de véritables expressions rationnelles, mais n'ayez pas peur d'eux, car après avoir convertir chaque élément, ils sont presque toujours réduits. En outre, en aucun cas ne devrait avoir peur des grandes conceptions de la réponse totale - il est tout à fait possible que ce ne soit pas votre erreur (surtout si tout est aménagé pour les multiplicateurs), et cet auteur a conçu une telle réponse.

En conclusion, je voudrais désassembler un autre exemple complexe, ce qui n'appartient plus directement aux fractions rationnelles, mais il contient tout ce qu'il vous attend dans ces contrôles et examens, à savoir: la décomposition des multiplicateurs, apportant à un dénominateur commun, un réduction de ces termes. C'est exactement ce que nous allons maintenant partir.

Résoudre une tâche difficile pour la simplification et la conversion d'expressions rationnelles

\ [\ Gauche (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ droite) \ CDOT \ Gauche (\ frac {{{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ droite) \]

Premièrement, considérez et révélez le premier support: nous voyons trois fractions distinctes avec différents dénominateurs, donc la première chose à faire consiste à apporter les trois fractions à un dénominateur commun, et à cela, chacun d'entre eux devrait être décomposé sur des multiplicateurs:

\ [{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}} \]

\ [{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ gauche (x-2 \ droite) \ gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ droite) \]

Nous réécrivons tout notre design comme suit:

\ [\ Frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {\ gauche ( x -2 \ droite) \ Gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ droite)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ gauche (x-2 \ droite) + {{x} ^ {3}} + 8- \ gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ droite)} {\ gauche (x-2 \ droite) \ gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ droite)} = \]

\ [= \ frac {{{x} ^ ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ gauche (x- 2 \ droite) \ Gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ droite)} = \ frac {{{x} ^ ^ {2}} - 4x-4} {\ \ \ \ Gauche (x-2 \ droite) \ gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ droite)} = \]

\ [= \ Frac {{\ gauche (x-2 \ droite)} ^ {2}}} {\ gauche (x-2 \ droite) \ gauche ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ ^ {2}} \ droite)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

C'est le résultat de calculs du premier support.

Nous comprenons avec le deuxième support:

\ [{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ gauche (x-2 \ droite) \ gauche (x + 2 \ \ \ DROITE) \]

Nous réécrivons le deuxième support avec les changements:

\ [\ Frac {{{x} ^ ^ {2}}} {\ gauche (x-2 \ droite) \ gauche (x + 2 \ droite)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ gauche (x + 2 \ droite)} {\ gauche (x-2 \ droite) \ gauche (x + 2 \ droite)} = \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ gauche (x-2 \ droite) \ gauche (x + 2 \ droite)} \]

Maintenant, écrivez la conception de la source complète:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ gauche (x-2 \ Droite) \ Gauche (x + 2 \ droite)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Réponse: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Solutions Nuances

Comme vous pouvez le constater, la réponse s'est avérée assez sain d'esprit. Toutefois, note: Très souvent, avec de tels calculs à grande échelle, lorsque la seule variable n'est que dans le dénominateur, les étudiants oublient que c'est le dénominateur et il aurait dû se tenir de la fraction à la manière et écrire cette expression dans un numérateur - ceci est une erreur grossière.

De plus, j'aimerais attirer votre attention particulière à la manière dont ces tâches sont faites. Dans tous les calculs complexes, toutes les étapes sont effectuées sur des actions: premièrement, nous le considérons séparément, puis nous combinons séparément et seulement à la fin, nous combinons toutes les pièces et considérons le résultat. Ainsi, nous nous assurnons d'erreurs stupides, écris soigneusement tous les calculs et, en même temps, ne passez pas de temps supplémentaire, car cela peut sembler à première vue.

À de nouvelles réunions!

Voir également:

  1. Comment faire une réduction des fractions rationnelles sans erreurs? Un algorithme simple sur l'exemple de cinq tâches différentes.
  2. Expressions rationnelles fractionnaires
  3. Comment passer l'examen en mathématiques
  4. ESGE EGE 2012. Option 12 (sans logarithmes)
  5. Méthode d'intervalle: le cas d'inégalités incroyables
  6. Test sur les problèmes B14: niveau facile, 1 option

commentaires professeur

Leçon: Transformation d'expressions rationnelles

Rappelant d'abord déterminer l'expression rationnelle.

Définition. Rationnel Expression - expression algébrique qui ne contient pas de racines et ne comprend que les actions de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division (érection).

Sous le concept de "convertir une expression rationnelle", nous entendons avant tout sa simplification. Et cela est effectué dans la procédure qui nous est connue: premières actions entre parenthèses, puis Travail de nombres (Erend au degré de diplôme), division des nombres, puis des ajouts / soustraction.

L'objectif principal de la leçon d'aujourd'hui sera l'acquisition d'expériences dans la résolution de tâches plus complexes de simplification des expressions rationnelles.

Exemple 1. Simplifier l'expression rationnelle .

Décision. Au début, il peut sembler que les fractions spécifiées puissent être réduites, car les expressions des fractions sont très similaires aux formules des carrés complètes des dénominants correspondants. Dans ce cas, il est important de ne pas se précipiter, mais vérifier séparément si c'est le cas.

Vérifiez le numérateur de la première fraction: . Maintenant, le numérateur est le deuxième: .

Comme on peut le voir, nos attentes n'étaient pas justifiées et les expressions des numérateurs ne sont pas des carrés complètes, car ils n'ont aucun doublement du travail. De telles expressions, si nous rappelons la 7e année, sont appelés carrés incomplets. Il devrait être très attentif dans de tels cas, car la confusion d'une formule carrée complète avec incomplète est une erreur très courante, et de tels exemples vérifient l'attention de l'étudiant.

Étant donné que la réduction est impossible, alors nous effectuerons l'ajout de fractions. Les dénominateurs n'ont pas de facteurs communs, ils changent donc simplement pour obtenir le plus petit dénominateur commun et qu'un facteur supplémentaire pour chaque fraction est le dénominateur d'une autre fraction.

 

Bien sûr, vous pouvez également révéler des supports, puis apporter des termes similaires, dans ce cas, vous pouvez faire la force suivante et noter que, dans le numérateur, le premier terme est la formule de la somme des cubes, et la seconde est la différence de cubes . Pour plus de commodité, rappelons-nous ces formules sous forme générale:

 и .

Dans notre cas, l'expression du numérateur est effondrée comme suit:

La deuxième expression est similaire. On a:

.

Réponse. .

Exemple 2. Simplifier l'expression rationnelle .

Décision. Cet exemple est similaire à celui précédent, mais il est immédiatement vu ici que des carrés incomplètes sont situés dans les bandes. La réduction de la phase initiale des solutions est donc impossible. Semblable à l'exemple précédent, nous rafrairons les fractions:

Ici, nous sommes similaires à la méthode spécifiée ci-dessus, remarquée et fronchée des expressions par les formules du montant et de la différence de cubes.

Réponse. .

Exemple 3. Simplifier l'expression rationnelle .

Décision. On peut noter que le deuxième dénominateur de fraction est décomposé sur les facteurs de la formule des cubes. Comme nous le savons déjà, la décomposition des dénominateurs sur des facteurs est utile pour une recherche plus poussée du plus petit dénominateur commun.

.

Nous indiquons le plus petit dénominateur général des fractions, il est égal: Étant donné qu'il est divisé en dénominateur de la troisième fraction et la première expression est généralement l'ensemble et tout dénominateur convient à celui-ci. Indiquant les défauts supplémentaires évidents, écrire:

.

Réponse.

Considérez un exemple plus complexe avec les fractions «à plusieurs étages».

Exemple 4. Prouver l'identité Avec toutes les valeurs autorisées de la variable.

Preuve. Pour prouver l'identité spécifiée, nous allons essayer de simplifier sa partie gauche (compliquée) à la simple espèce qui est requise de nous. Pour ce faire, effectuez toutes les étapes avec des fractions dans le numérateur et le dénominateur, puis divisez la fraction et simplifiez le résultat.

. Prouvé pour toutes les valeurs valides de la variable.

Prouvé.

Source abstraite: http://interneturok.ru/fr/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-Drobi-Arifmetticheskie-eperaci-nad-algebrai-nad-algebrai-nad-algebrai-nad-algebrai-nad-algebrai-nad-algebrai-nad-algebrai-nad-algebrai-nad-drobyami/probrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

Source vidéo: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Les propriétés de l'addition, la soustraction, la multiplication et la division sont utiles en ce que cela vous permet de transformer les sommes et de fonctionner dans des expressions pratiques pour l'informatique. Apprenez à utiliser ces propriétés Simplifier les expressions .

Calculer le montant:

52 + 287 + 48 + 13 =

Dans cette expression, il y a des chiffres, lorsque les numéros "arrondis" sont ajoutés. Remarquant cela, il est facile de calculer oralement. Nous utilisons la réévaluation des progrès.

Simplifier la quantité du mouvement

Aussi à simplifier le calcul des œuvres, vous pouvez utiliser l'acte de multiplication des mouvements.

7 · 2 · 9 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Les propriétés combinées et mobiles sont utilisées et Simplifier les expressions de lettre .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12a
  • 2 · A · 4 · B = 2 · 4 · A · B = 8AB
  • 5B + 8B = (5 + 8) · B = 13B
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · Y = 2Y

La loi de la multiplication de distribution est souvent utilisée pour simplifier les calculs.

Multiplication de la loi de distributionMultiplication de la loi de distribution relative à la soustraction

Appliquer la propriété de distribution de la multiplication par rapport à l'addition ou à la soustraction à l'expression " (A + B) · C et (A - B) · C «Nous avons une expression qui ne contient pas de crochets.

Dans ce cas, ils disent que nous Supports révélés (abaissés) . Utiliser les propriétés peu importe où le multiplicateur est enregistré " c"- devant des crochets ou après.

Rappel des crochets dans les expressions.

  • 2 (t + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Rappelles toi! !

Si la lettre n'est pas enregistrée dans le cas, il est entendu qu'il existe un facteur numérique devant la lettre 1.

Multiplicateur pour les crochets

Nous changeons la partie droite et la partie gauche de l'égalité:

(A + B) C = AC + BC

On a:

AC + BC = (A + B) avec

Dans de tels cas, ils disent que de " AC + BC. » Le multiplicateur commun a été fait «с"Pour les crochets.

Exemples d'un facteur général des crochets.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

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