Simplificación de expresiones.

Simplificación de expresiones.

Una de las tareas más comunes en álgebra suena así: "Simplifique la expresión". Esto se puede hacer utilizando una de las siguientes técnicas, pero la mayoría de las veces necesitará combinarlas.

Trayendo términos similares.

Esta es la más fácil de recepciones. Similar Se llaman los términos que tienen la misma parte alfabética. Por ejemplo, como las expresiones 5. аy -6 а; -3. Hu. y 3. Guau ; 2 y 10. Entonces. Solo puedes doblar los componentes similares; Si la parte literal de los componentes es diferente, entonces tales componentes ya son imposibles. De acuerdo, si en mi vida agregaremos manzanas con uñas, luego tendremos algún tipo de juego) en matemáticas de la misma manera.

Por ejemplo, simplifica tal expresión:

Términos similares asignaré diferentes colores y calcularé. Por cierto, la señal antes del término se refiere a este término.

Como ves, no hay más que las mismas partes de la Alphabone. La expresión se simplifica.

Multiplicación de una sola ala y polinomios.

No lo discutiré, puedes multiplicar los números. ¿Y si letras, grados, los soportes le agregan?

Monomio - Esta es una expresión que consiste en un producto de números, letras, grados, y debe estar necesariamente bien. Sorprendentemente, solo el número 5 también está sin funda, así como una variable solitaria. х.

Tras la multiplicación de paneles únicos, use las reglas de multiplicación de grados.

Mueve tres sin problemas:

Diferentes colores asignan lo que yo multiplicaré.

Polinomio - Esta es la suma de un ala.

Para multiplicar la expresión en los polinomios detrás de los corchetes para multiplicarse a cada persona entre paréntesis. Detalles en el siguiente ejemplo.

Queda por recordar la multiplicación del polinomio al polinomio. Con esto, es necesario multiplicar cada pocillo en los primeros soportes a cada persona en los primeros soportes, los resultados se pliegan o deducen dependiendo de los signos de los términos.

Haciendo un factor común para los soportes.

Entenderemos el ejemplo.

Esta expresión se da:

¿Qué es común a estos dos términos? Así es, hay un multiplicador en ambos. x. Será un factor general que se debe sacar.

Toma otro ejemplo.

Ambos números en los componentes se dividen en 2, entonces el número 2 es un factor común. Pero todavía en estos homorales hay la misma letra. pero - Uno en el primer grado, el otro - en el segundo. Lo tomamos en menor medida, es decir,. En la primera, será el segundo factor común. En general, resultará dicha registro:

Bueno, vamos al tercer ejemplo, solo sin comentarios.

Puede verificar la exactitud del factor general para los corchetes revelando soportes (multiplicación).

Descomposición de polinomios en los multiplicadores del método de agrupación.

Si necesita descomponer un polinomio a multiplicadores, entonces el método de agrupación será útil para usted.

Es posible agrupar expresiones solo haciendo factores generales por soporte. Pero es necesario hacerlo de modo que los soportes finalmente funcionen lo mismo. ¿Para qué? Sí, entonces, luego, para hacer estos soportes para otros soportes.

El ejemplo será más claro)

Tomo un ejemplo el más simple, limpio para entender qué se debe hacer.

En los dos primeros términos, el factor común es la variable. а: Lo llevamos a cabo para el soporte. En los dos dos términos, el factor total es el número 6. También se lleva a cabo para paréntesis.

¿Has visto dos soportes idénticos? Ahora son un factor común. Los soportamos detrás del soporte y obtenemos un lindo producto de dos soportes:

La descomposición de la plaza es tres decisiones sobre multiplicadores.

Deja que la plaza tres shredtance:

Para descomponerlo en multiplicadores, es necesario resolver la ecuación cuadrada.

La siguiente ecuación de raíces х1 и х2Sustituye a la siguiente fórmula:

Intentamos.

TOMA ESTO TRES PASO:

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrada.

Los sustituimos en la fórmula para la descomposición de la Plaza Tres descomposición de los multiplicadores:

Algo demasiadas menos en el segundo soporte. Ligeramente convertirlo:

Ahora maravilloso)

¿Todavía puedes ser útil:

- Capacidad para trabajar con fracciones ordinarias;

- Capacidad para cortar la fracción;

- Conocimiento de las fórmulas de la multiplicación abreviada.

Pero tales tareas pueden reunirse con usted en el examen.

1) Simplificar:

La solución aquí.

2) Encuentre el valor de la expresión en los valores específicos de las variables:

La solución aquí.

3) Encuentre el valor de la expresión en los valores específicos de las variables:

La solución aquí.

Hay muchas tareas similares, no se ajustarán a todos).

¿Tiene preguntas? ¡Escríbeme!

Tu profesor personal.

Transformación competente de expresiones racionales.

Las expresiones racionales y las fracciones son la piedra angular de todo el curso de álgebra. Aquellos que aprenden a trabajar con tales expresiones, simplificarlos y diseñar a los multiplicadores, de hecho, pueden resolver cualquier tarea, ya que la transformación de las expresiones es una parte integral de cualquier ecuación grave, desigualdad e incluso una tarea textual.

En este video, veremos cómo aplicar de manera competente las fórmulas de la multiplicación abreviada para simplificar las expresiones y fracciones racionales. Enseñe a ver estas fórmulas donde, a primera vista, no hay nada. Al mismo tiempo, repetimos una recepción tan simple, como la descomposición del triple cuadrado a los multiplicadores a través del discriminante.

Como probablemente adivine las fórmulas para mi espalda, hoy estudiaremos las fórmulas de la multiplicación abreviada, y, más precisamente, no las fórmulas en sí mismas, sino su uso para simplificar y reducir las expresiones racionales complejas. Pero antes de cambiar para resolver ejemplos, acercémonos a estas fórmulas o recuérdales:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ IZQUIERDA (A-B \ Derecha) \ izquierda (A + B \ derecha) $ - la diferencia de cuadrados;
  2. $ {{\ izquierda (A + B \ derecha)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2AB + {{B} ^ {2}} $ - la suma de la cantidad;
  3. $ {{\ izquierda (A-B \ Derecha)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2AB + {2}} ^ {2}} $ - El cuadrado de la diferencia;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ Izquierda (A + B \ derecha) \ Izquierda ({{A} ^ {2}} - AB + {{B} ^ 2}} \ Derecha) $ - la cantidad de cubos;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ Izquierda (AB \ derecha) \ Izquierda ({{A} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} \ Derecha) $ - la diferencia de cubos.

También me gustaría señalar que nuestro sistema escolar de educación está organizado de tal manera que sea con el estudio de este tema, es decir, Las expresiones racionales, así como las raíces, los módulos de todos los estudiantes surgen el mismo problema que lo explicaré ahora.

El hecho es que, al mismo comienzo de estudiar las fórmulas de la multiplicación abreviada y, en consecuencia, las acciones para reducir las fracciones (esto es una clase de lugar 8) Los maestros dicen algo de lo siguiente: "Si algo no está claro, entonces no se preocupe, estamos Este tema todavía volverá repetidamente, en las escuelas secundarias con la precisión. Lo analizaremos ". Bueno, luego, a la vuelta del grado 9-10, los mismos maestros explican a los mismos estudiantes que no saben cómo resolver las fracciones racionales, sobre los siguientes: "¿Dónde has estado los dos años anteriores? Fue estudiado en álgebra en el grado 8! ¿Qué puede ser incomprensible aquí? ¡Es tan obvio! "

Sin embargo, los discípulos habituales de tales explicaciones no son más fáciles: tienen gachas de avena, y permanecieron, por lo que ahora analizaremos dos ejemplos simples, sobre la base de los cuales y vamos a ver cómo en las tareas reales para asignar estas expresiones que lo harán. Llévanos a las fórmulas de la multiplicación abreviada y cómo aplicar esto para convertir expresiones racionales complejas.

Reduciendo fracciones racionales simples

Tarea número 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {9 {{{y} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

Lo primero que debemos aprender es asignar cuadrados exactos en las expresiones iniciales y los grados mayores, sobre la base de los cuales podemos aplicar fórmulas. Echemos un vistazo:

\ [9 {{{y} ^ {4}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {4}} = {{3}} {2}} \ CDOT {{\ Izquierda ({ {y} ^ {2}} \ derecha)} ^ {2}} = {{\ izquierda (3}} ^ {2}} \ Derecha)} ^ {2}} \]

\ [16 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ {{{{2} ^ {2}} \ derecha)} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ izquierda ({{2} ^ {2}} \ cdot x \ derecha)} ^ {2} } = {{\ {\ 4 {{{x} ^ {2}} \ derecha)} ^ {2}} \]

Vamos a reescribir nuestra expresión teniendo en cuenta estos hechos:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{{\ \ {{Y} ^ {2} \ derecha)} ^ {2}} - {{\ \ _ izquierda (4x \ derecha )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {\ \ _ {3 {{{{Y} ^ {2}} - 4x \ derecha) \ izquierda (3 {{ y} ^ {2}} + 4x \ derecha)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

Respuesta: $ \ frac {1} {3 {{{y} ^ {2}} - 4x} $.

Tarea número 2.

Ir a la segunda tarea:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \]

No hay nada que simplifique aquí, porque hay una constante en el numerador, pero sugirí esta tarea para aprender a colocar polinomios que contengan dos variables en los multiplicadores. Si, en cambio, se escribió debajo del polinomio, ¿cómo lo descompondríamos?

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ izquierda (x -... \ derecha) \ izquierda (x -... \ derecha) \]

Vamos a resolver la ecuación y encontrar $ X $ que podemos poner en lugar de puntos:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ CDOT \ Izquierda (-6 \ derecha) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Podemos reescribir tres piezas de la siguiente manera:

\ [{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ izquierda (x-1 \ derecha) \ izquierda (x + 6 \ derecha) \]

Con un triple cuadrado, aprendimos a trabajar, para esto y fue necesario grabar este video tutorial. ¿Y qué pasaría si, excepto $ X $ y hay otra constante de $ y $? Míralos como uno más elementos de los coeficientes, es decir,. Vamos a reescribir nuestra expresión de la siguiente manera:

\ [{{x} ^ {2}} + 5y \ cdot x-6 {{y} ^ {2}} \]

\ [a = 1; b = 5y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ izquierda (5y \ derecha)} ^ {2}} - 4 \ CDOT \ Izquierda (-6 {{Y} ^ {2}} \ Derecha) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6Y \]

Escribe la descomposición de nuestro diseño cuadrado:

\ [\ izquierda (x-y \ derecha) \ izquierda (x + 6y \ derecha) \]

Total Si regresamos a la expresión inicial y le reescribimos, teniendo en cuenta los cambios, obtenemos lo siguiente:

\ [\ FRAC {8} {\ IZQUIERDA (X-Y \ Derecha) \ izquierda (x + 6y \ derecha)} \]

¿Qué nos da este registro? Nada, porque no lo reduce, no se multiplica y no es divisible. Sin embargo, tan pronto como esta fracción resulta ser una parte integral de una expresión más compleja, tal descomposición resulta ser por cierto. Por lo tanto, tan pronto como vea un triple cuadrado (no importa, se ve agravado por parámetros adicionales o no), siempre intente descomponerlo en multiplicadores.

Soluciones de matices

Recuerde las principales reglas para convertir expresiones racionales:

  • Todos los denominadores y números deben colocarse sobre multiplicadores o mediante las fórmulas de la multiplicación abreviada, o a través del discriminante.
  • Es necesario trabajar de acuerdo con este algoritmo: cuando nos fijamos e intentamos resaltar la fórmula de la multiplicación abreviada, entonces, en primer lugar, tratando de traducir todo al máximo grado posible. Después de eso, sacamos un grado común para el soporte.
  • Las expresiones con el parámetro se encontrarán muy a menudo: otras variables se producirán como coeficientes. Los encontramos de acuerdo con la fórmula de descomposición cuadrada.

Por lo tanto, tan pronto como vea fracciones racionales, lo primero que debe hacer es descomponer y el numerador, y el denominador para multiplicadores (en expresiones lineales), mientras usamos las fórmulas de multiplicación abreviada o discriminante.

Veamos a un par de expresiones tan racionales e intentemos descomponerles a los multiplicadores.

Resolviendo ejemplos más complejos.

Tarea número 1.

\ [\ Frac {4 {{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{{y} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ frac {9 {{y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{Y} ^ {3}}} \]

Reescribimos e intentamos descomponernos cada uno de los términos:

\ [4 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ {2x \ derecha)} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ CDOT 3 \ CDOT X \ CDOT Y = 2x \ CDOT 3Y \]

\ [9 {{{y} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {2}} = {{\ {1Y \ Derecha)} ^ {2}} \]

\ [8 {{x} ^ {3}} = {{2}} = {} \ cdot {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ _}} {{\ _} (2x \ derecha)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y} ^ {3}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {3}} = {{\ {1Y \ derecha)} ^ {3}} \]

Vamos a reescribir toda nuestra expresión racional con estos hechos:

\ [\ Frac {{{\ izquierda (2x \ derecha)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ izquierda (3y}}} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ FRAC {{{\ Izquierda (3y \ derecha)} ^ {2}} - {{\ \ \ _ izquierdo (2x \ derecha)} ^ {2}}} {{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ _}}} {2x \ derecha)} ^ {3}} + {{\ izquierda (3y \ derecha)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ izquierda (2x \ derecha)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ _ {2Y}}} ^ {2x-3Y} \ CDOT \ Frac {\ izquierda (3y-2x \ derecha) \ izquierda (3y + 2x \ derecha)} {\ izquierda (2x + 3y \ derecha) \ izquierda ({{\ \ \ \ a la izquierda (2x \ derecha) ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ izquierda (3y \ derecha)} ^ {2}} \ derecha)} = - 1 \]

Respuesta: $ -1 $.

Tarea número 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ CDOT \ FRAC {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

Consideremos todas las fracciones.

Primero:

\ [3-6x = 3 \ izquierda (1-2x \ derecha) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ izquierda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Derecho) \]

Segundo:

\ [{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ \ \ \ a la izquierda (x-2 \ derecha) ^ {2}}} \]

Tercera:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{{}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ izquierda (2-X \ derecha) \ izquierda ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ derecha) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\ izquierda (2x \ derecha)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} \ \ Izquierda (2x-1 \ derecha) \ izquierda (2x + 1 \ derecha) \]

Reescribimos todo el diseño, teniendo en cuenta los cambios:

\ [\ Frac {3 \ izquierda (1-2x \ derecha)} {2 \ izquierda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ derecha)} \ CDOT \ FRAC {2x + 1} {{{\ izquierda (x-2 \ derecha)} ^ {2}}} \ CDOT \ FRAC {\ Izquierda (2-X \ derecha) \ Izquierda ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ derecha)} {\ izquierda (2x-1 \ derecha) \ izquierda (2x + 1 \ derecha)} = \]

\ [= \ FRAC {3 \ CDOT \ Izquierda (-1 \ derecha)} {2 \ CDOT \ IZQUIERDA (X-2 \ Derecha) \ CDOT \ izquierda (-1 \ derecha)} = \ frac {3} {2 \ izquierda (x-2 \ derecha)} \]

Respuesta: $ \ frac {3} {2 \ izquierda (X-2 \ derecha)} $.

Soluciones de matices

Entonces, lo que acabamos de aprender:

  • No todas las triples cuadradas disminuyen a los multiplicadores, en particular, se refiere a un cuadrado incompleto de la cantidad o la diferencia, que se encuentran muy a menudo como parte de los cubos de la cantidad o la diferencia.
  • Constantes, es decir,. Los números convencionales que no tienen variables con ellos también pueden actuar como elementos activos en el proceso de descomposición. Primero, se pueden sacar de los soportes, en segundo lugar, las propias constantes pueden presentarse en forma de grados.
  • Muy a menudo, después de la descomposición de todos los elementos en multiplicadores, surgen estructuras opuestas. Reducir estas fracciones debe ser extremadamente limpio, porque con el overclocking ya sea desde arriba, o hay un multiplicador adicional de $ -1 $, esto es la consecuencia de lo que son opuestos.

Solución de tareas complejas.

\ [\ Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{b} ^ {3}}} {2 {b}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4B + 4} \]

Considere cada término por separado.

Primera fracción:

\ [27 {{a} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} \ cdot {{a} ^ {3}} = {{\ \ _} (3a \ derecha)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{b} ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} \ cdot {{b} ^ {3}} = {{\ \ {{{{2} ^ {2}} \ derecha)} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3}} = {{}} = {{\ \ _ {{{2} ^ {2}} \ CDOT B \ Derecha) } ^ {3}} = {{\ \ \ _ izquierdo (4b \ derecha)} ^ {3}} \]

\ [{{\ \ \ {3A \ derecha)} ^ {3}} - {{\ \ _}} ^ {3}} ^ {3}} = \ Izquierda (3A-4B \ derecha) \ Izquierda ({{\ \ \ \ \ _ \ _ izquierdo (3A \ derecha)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ Izquierda (4b \ derecha)} ^ {2}} \ Derecha) \]

\ [{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ izquierda (B-2 \ derecha) \ izquierda (B + 2 \ derecha) \]

Segundo:

\ [9 {{a} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{a} ^ {2}} = {{\ izquierda (3A \ derecha)} ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {} \ cdot {{b} {{2}} = {{\ \ \ \ _ {1B \ derecha)} ^ {2}} \]

\ [12AB = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Todo el numerador de la segunda fracción podemos reescribir de la siguiente manera:

\ [{{{\ izquierda (3a \ derecha)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ \ _ {1B \ derecha)} ^ {2}} \]

Ahora veamos el denominador:

\ [{{b} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ cdot 2b + {{2} ^ {2}} = {{\ Izquierda (B + 2 \ derecha)} ^ {2}} \]

Vamos a reescribir una expresión racional, teniendo en cuenta los hechos anteriores:

\ [\ FRAC {\ IZQUIERDA) \ IZQUIERDA ({{\ \ \ a la izquierda (3A \ derecha)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ \ \ a izquierda (4b \ derecha)} ^ {2}} \ Derecha) } {\ Izquierda (B-2 \ derecha) \ izquierda (B + 2 \ derecha)} \ CDOT \ FRAC {{{\ \ a izquierda (B + 2 \ derecha)} ^ {2}}} {{{\ \ \ _} ( 3a \ derecha)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ Izquierda (4b \ derecha)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ izquierda) \ izquierda (B + 2 \ derecha)} {\ izquierda (B-2 \ derecha)} \]

Respuesta: $ \ FRAC {\ IZQUIERDA (3A-4B \ Derecha) \ Izquierda (B + 2 \ derecha)} {\ Izquierda (B-2 \ derecha)} $.

Soluciones de matices

Como volvamos a convencer, cuadrados incompletos de la cantidad o cuadrados incompletos de la diferencia, que a menudo se encuentran en expresiones racionales reales, pero no le tienen miedo, porque después de convertir cada elemento, casi siempre se reducen. Además, en ningún caso no debería tener miedo de los grandes diseños en la respuesta total, es muy posible que este no sea su error (especialmente si todo está dispuesto a los multiplicadores), y este autor concibió tal respuesta.

En conclusión, me gustaría desmontar otro ejemplo complejo, que ya no pertenece directamente a las fracciones racionales, pero contiene todo lo que le está esperando en estos exámenes y exámenes, a saber: la descomposición de los multiplicadores, que lleva a un denominador común, una Reducción de tales términos. Eso es exactamente lo que vamos a ir ahora.

Resolviendo una tarea difícil de simplificación y conversión de expresiones racionales.

\ [\ Izquierda (\ frac {x} {{{x}} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x}} {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ derecha) \ cdot \ izquierda (\ frac {{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ derecha) \]

Primero, considere y revele el primer soporte: vemos tres fracciones separadas con diferentes denominadores, por lo que lo primero que debemos hacer es traer las tres fracciones a un denominador común, y para esto, cada uno de ellos debe ser descompuesto en multiplicadores:

\ [{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ CDOT X + {{2} ^ {2}} \]

\ [{{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ IZQUIERDA (x-2 \ derecha) \ izquierda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Derecho) \]

Reescribimos todo nuestro diseño de la siguiente manera:

\ [\ Frac {x} {{{x}} {{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {\ Izquierda ( x -2 \ derecha) \ izquierda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ derecha)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ izquierda (x-2 \ derecha) + {{x} ^ {3}} + 8- \ {{{{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ derecha)} {\ izquierda (x-2 \ derecha) \ izquierda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Derecha)} = \]

\ [= \ \ frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ \ \ \ \ a la izquierda (x- 2 \ Derecha) \ Izquierda ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ derecha)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ Izquierda (x-2 \ derecha) \ izquierda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Derecha)} = \]

\ [= \ FRAC {{\ IZQUIERDO (X-2 \ Derecha)} ^ {2}}} {\ \ a la izquierda (x-2 \ derecha) \ izquierda ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ derecha)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Este es el resultado de los cálculos del primer soporte.

Entendemos con el segundo soporte:

\ [{{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ IZQUIERDA (X-2 \ derecha) \ izquierda (x + 2 \ DERECHO) \]

Reescribimos el segundo soporte con los cambios:

\ [\ Frac {{{x} ^ {2}}} {\ \ a la izquierda (x-2 \ derecha) \ izquierda (x + 2 \ derecha)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ izquierda (x + 2 \ derecha)} {\ \ \ \ \ \ \ x-derecha) \ izquierda (x + 2 \ derecha)} = \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ izquierda (x-2 \ derecha) \ izquierda (x + 2 \ derecha)} \]

Ahora escribe el diseño de la fuente completa:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ izquierda (x-2 \ Derecha) \ izquierda (x + 2 \ derecha)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Respuesta: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Soluciones de matices

Como puedes ver, la respuesta resultó bastante sana. Sin embargo, tenga en cuenta: Muy a menudo, con cálculos a gran escala, cuando la única variable está solo en el denominador, los estudiantes olvidan que este es el denominador y debería haber estado en la fracción en LEEMIEN y escribir esta expresión en un numerador, este Es un grave error.

Además, me gustaría llamar su atención particular a cómo se hacen tales tareas. En cualquier cálculo complejo, todos los pasos se realizan en acciones: Primero, lo consideramos por separado, luego nos combinamos por separado y solo al final, combinamos todas las partes y consideramos el resultado. Por lo tanto, nos aseguramos de errores estúpidos, anote cuidadosamente todos los cálculos y, al mismo tiempo, no pasamos tiempo adicional, ya que puede parecer a primera vista.

A nuevas reuniones!

Ver también:

  1. ¿Cómo hacer una reducción en las fracciones racionales sin errores? Un simple algoritmo en el ejemplo de cinco tareas diferentes.
  2. Expresiones racionales fraccionantes.
  3. Cómo pasar el examen en matemáticas.
  4. Prueba EGE 2012. Opción 12 (sin logaritmos)
  5. Método de intervalo: el caso de increíbles desigualdades.
  6. Prueba de problemas B14: Nivel fácil, 1 opción

Comentarios profesor

Lección: Transformación de expresiones racionales.

Recordando primero la determinación de la expresión racional.

Definición. Racional Expresión - Expresión algebraica que no contiene raíces e incluye solo las acciones de la adición, la sustracción, la multiplicación y la división (erección).

Bajo el concepto de "convertir una expresión racional", queremos decir, sobre todo, su simplificación. Y esto se lleva a cabo en el procedimiento conocido: nosotros: primeras acciones entre paréntesis, luego Trabajo de números (Ereje al grado), división de números, y luego sumas / resta.

El objetivo principal de la lección de hoy será la adquisición de la experiencia en la solución de tareas más complejas para simplificar las expresiones racionales.

Ejemplo 1. Simplificar la expresión racional .

Decisión. Al principio, puede parecer que las fracciones especificadas se pueden reducir, ya que las expresiones en las fracciones son muy similares a las fórmulas de los cuadrados completos de los denominantes correspondientes. En este caso, es importante no apresurarse, pero verifique por separado si lo es.

Compruebe el numerador de la primera fracción: . Ahora el numerador es el segundo: .

Como se puede ver, nuestras expectativas no fueron justificadas, y las expresiones en los numeradores no son cuadrados completos, ya que no tienen duplicación del trabajo. Tales expresiones, si recordamos el grado 7, se llaman cuadrados incompletos. Debe ser muy atento en tales casos, ya que la confusión de una fórmula cuadrada completa con incompleta es un error muy común, y tales ejemplos revisan la atención del estudiante.

Dado que la reducción es imposible, entonces realizaremos la adición de fracciones. Los denominadores no tienen factores comunes, por lo que simplemente cambian para obtener el denominador común más pequeño, y un factor adicional para cada fracción es el denominador de otra fracción.

 

Por supuesto, entonces puede revelar paréntesis y luego traer términos similares, sin embargo, en este caso, puede hacer la siguiente fuerza y ​​observar que en el numerador el primer término es la fórmula de la suma de los cubos, y la segunda es la diferencia de cubos. . Por conveniencia, recordemos estas fórmulas en forma general:

 и .

En nuestro caso, la expresión en el numerador se derrumba de la siguiente manera:

La segunda expresión es similar. Tenemos:

.

Respuesta. .

Ejemplo 2. Simplificar la expresión racional .

Decisión. Este ejemplo es similar al anterior, pero se ve inmediatamente aquí que los cuadrados incompletos están ubicados en las franes, por lo que la reducción en la etapa inicial de las soluciones es imposible. Similar al ejemplo anterior. Follamos fracciones:

Aquí somos similares al método especificado expresiones anteriores, notadas y rizadas por las fórmulas de la cantidad y la diferencia de cubos.

Respuesta. .

Ejemplo 3. Simplificar la expresión racional .

Decisión. Se puede observar que el segundo denominador de fracción se descompone en los factores por la fórmula de los cubos. Como ya sabemos, la descomposición de los denominadores en factores es útil para buscar además el menor denominador común.

.

Indicamos el denominador general más pequeño de las fracciones, es igual: , ya que se divide en un denominador de la tercera fracción, y la primera expresión es generalmente la totalidad, y cualquier denominador es adecuado para ello. Indicando las fallas adicionales obvias, escriba:

.

Respuesta.

Considere un ejemplo más complejo con las fracciones de "Multi-Store".

Ejemplo 4. Probar la identidad Con todos los valores permisibles de la variable.

Prueba. Para probar la identidad especificada, intentaremos simplificar su parte izquierda (complicada) a las especies simples que se requieren de nosotros. Para hacer esto, realice todos los pasos con fracciones en el numerador y el denominador, y luego dividen la fracción y simplifique el resultado.

. Probado para todos los valores válidos de la variable.

Demostrado.

Fuente abstracta: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifeticheskie-eperaci-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

Fuente de video: http://www.youtube.com/watch?v=MTXOTJ-MHIQ

Las propiedades de la adición, la resta, la multiplicación y la división son útiles para que le permite transformar sumas y trabajar en expresiones convenientes para la computación. Aprende a usar estas propiedades. Simplificar expresiones .

Calcule la cantidad:

52 + 287 + 48 + 13 =

En esta expresión hay números, cuando los números "redondos" son la adición. Notando esto, es fácil calcular por vía oral. Utilizamos la reevaluación del progreso.

Simplificar la cantidad del movimiento.

También para simplificar el cálculo de las obras, puede usar el acto de movimiento de multiplicación.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Las propiedades combinativas y en movimiento se utilizan y Simplificar expresiones de letras .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12A
  • 2 · A · 4 · B = 2 · 4 · A · B = 8AB
  • 5b + 8b = (5 + 8) · B = 13B
  • 14y - 12y = (14 - 12) · y = 2y

La ley de distribución de la multiplicación se usa a menudo para simplificar los cálculos.

Multiplicación de la ley de distribuciónMultiplicación de la ley de distribución relativa a la resta.

Aplicando la propiedad de distribución de la multiplicación en relación con la adición o resta a la expresión " (A + B) · C y (A - B) · C "Recibimos una expresión que no contiene paréntesis.

En este caso, dicen que nosotros Soportes revelados (bajados) . Usar las propiedades no importa donde se grabe el multiplicador " c"- En frente de los soportes o después.

Recordemos los soportes en expresiones.

  • 2 (T + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
¡Recordar! !

Si la letra no se registra en el caso, se entiende que hay un factor numérico en frente de la letra 1.

Multiplicador para soportes

Cambiamos la parte derecha e izquierda de la igualdad:

(A + B) C = AC + BC

Obtenemos:

AC + BC = (A + B) con

En tales casos, dicen que de " AC + BC. » Se ha hecho multiplicador común «с"Para los corchetes.

Ejemplos de un factor general para paréntesis.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

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