Απλούστευση των εκφράσεων

Απλούστευση των εκφράσεων

Ένα από τα πιο κοινά καθήκοντα στην άλγεβρα ακούγεται έτσι: "Απλοποιήστε την έκφραση". Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας μία από τις ακόλουθες τεχνικές, αλλά πιο συχνά θα χρειαστεί να τα συνδυάσετε.

Φέρνοντας παρόμοιους όρους.

Αυτή είναι η ευκολότερη από τις δεξιώσεις. Παρόμοιος Ονομάζονται τους όρους που έχουν το ίδιο αλφαβητικό μέρος. Για παράδειγμα, όπως οι εκφράσεις 5 аκαι -6 а; -3. Hu. και 3. Ουάου ; 2 και 10. Ετσι. Μπορείτε να διπλώσετε μόνο τα παρόμοια συστατικά. Εάν το κυριολεκτικό μέρος των συστατικών είναι διαφορετικό, τότε τέτοια συστατικά είναι ήδη αδύνατα. Συμφωνείτε, αν στη ζωή μου θα προσθέσουμε μήλα με καρφιά, τότε θα έχουμε κάποιο είδος παιχνιδιού) στα μαθηματικά με τον ίδιο τρόπο.

Για παράδειγμα, απλοποιεί μια τέτοια έκφραση:

Παρόμοιοι όροι Θα διαθέσω διαφορετικά χρώματα και θα υπολογίσω. Με την ευκαιρία, το σημείο πριν από τον όρο αναφέρεται σε αυτόν τον όρο.

Όπως βλέπετε, δεν υπάρχουν πλέον από τα ίδια τμήματα αλφαβόλων. Η έκφραση απλοποιείται.

Πολλαπλασιασμός μονής πτέρυγας και πολυώνυλων.

Δεν θα υποστηρίξω - μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς. Και αν τα γράμματα, τα μοίρες, οι βραχίονες προσθέτουν σε αυτά;

Μονώνυμος - Αυτή είναι μια έκφραση που αποτελείται από ένα προϊόν αριθμών, γράμματα, βαθμούς και πρέπει απαραίτητα να είναι εντάξει. Παραδόξως, μόνο ο αριθμός 5 είναι επίσης ξεπερασμένος, καθώς και μια μοναχική μεταβλητή х.

Μετά τον πολλαπλασιασμό των μονών πλαισίων χρησιμοποιούν τους κανόνες πολλαπλασιασμού των βαθμών.

Μετακινήστε τρεις Unoblays:

Διαφορετικά χρώματα διαθέτουν αυτό που θα πολλαπλασιάσω.

Πολυώνυμος - Αυτό είναι το άθροισμα μιας πτέρυγας.

Για να πολλαπλασιάσετε την έκφραση στα πολυώνυμα πίσω από τα παρένθεση για να πολλαπλασιάσετε σε κάθε άτομο σε παρένθεση. Λεπτομέρειες στο παρακάτω παράδειγμα.

Παραμένει η ανάκληση του πολλαπλασιασμού του πολυωνυμικού στο πολυώνυμο. Με αυτό, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε κάθε φρεάτιο στις πρώτες αγκύλες σε κάθε άτομο στις πρώτες αγκύλες, τα αποτελέσματα διπλώθηκαν ή αφαιρέστε ανάλογα με τα σημάδια των όρων.

Κάνοντας έναν κοινό παράγοντα για αγκύλες.

Θα καταλάβουμε το παράδειγμα.

Αυτή η έκφραση δίνεται:

Τι είναι κοινό σε αυτούς τους δύο Όρους; Αυτό είναι σωστό, υπάρχει πολλαπλασιασμός και στους δύο. x. Θα είναι ένας γενικός παράγοντας που πρέπει να αφαιρεθεί.

Πάρτε ένα άλλο παράδειγμα.

Και οι δύο αριθμοί στα συστατικά χωρίζονται σε 2, τότε ο αριθμός 2 είναι ένας κοινός παράγοντας. Αλλά ακόμα σε αυτά τα homorals υπάρχει το ίδιο γράμμα αλλά - Ένα στον πρώτο βαθμό, το άλλο - στο δεύτερο. Το παίρνουμε σε μικρότερο βαθμό, δηλ. Στην πρώτη, θα είναι ο δεύτερος κοινός παράγοντας. Γενικά, θα αποδειχθεί ένα τέτοιο αρχείο:

Λοιπόν, ας το τρίτο παράδειγμα, μόνο χωρίς σχόλιο.

Μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα του γενικού παράγοντα για τις παρενθέσεις αποκάλυψη αγκύλων (πολλαπλασιασμός).

Αποσύνθεση πολυώνυμων στους πολλαπλασιαστές της μεθόδου ομαδοποίησης.

Εάν πρέπει να αποσυνθέσετε ένα πολυώνυμο σε πολλαπλασιαστές, τότε η μέθοδος ομαδοποίησης θα είναι χρήσιμη για εσάς.

Είναι δυνατή η ομαδοποίηση εκφράσεων μόνο κάνοντας γενικούς παράγοντες ανά βραχίονα. Αλλά είναι απαραίτητο να το κάνετε έτσι ώστε οι βραχίονες να λειτουργήσουν τελικά το ίδιο. Για ποιο λόγο? Ναι, στη συνέχεια, στη συνέχεια, για να κάνετε αυτές τις παρενθέσεις για άλλες αγκύλες.

Το παράδειγμα θα είναι σαφέστερο)

Παίρνω ένα παράδειγμα το απλούστερο, καθαρό για να καταλάβω τι πρέπει να γίνει.

Στους πρώτους δύο όρους, ο κοινός παράγοντας είναι η μεταβλητή а: Φέρνουμε το για το βραχίονα. Κατά τους δεύτερους δύο όρους, ο συνολικός παράγοντας είναι ο αριθμός 6. Πραγματοποιείται επίσης για αγκύλες.

Έχετε δει δύο πανομοιότυπες αγκύλες; Τώρα είναι ένας κοινός παράγοντας. Τους υπομείνουμε πίσω από το βραχίονα και παίρνουμε ένα χαριτωμένο προϊόν δύο αγκύλων:

Η αποσύνθεση της πλατείας είναι τρεις αποφάσεις για τους πολλαπλασιαστές.

Αφήστε το τετράγωνο τριών shreddance:

Για να το αποσυντεθεί σε πολλαπλασιαστές, είναι απαραίτητο να λύσετε την τετραγωνική εξίσωση

Επόμενη εξίσωση ρίζων х1 и х2Αντικαταστήστε τον ακόλουθο τύπο:

Προσπαθούμε.

Πάρτε αυτό το τριχωτό:

Βρείτε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης.

Τα υποκαθιστούμε στον τύπο για την αποσύνθεση της τετραγώνου τριών αποσύνθεσης των πολλαπλασιαστών:

Κάτι πάρα πολλά μείον στο δεύτερο βραχίονα. Ελαφρώς μετατρέψτε το:

Τώρα υπέροχο)

Μπορείτε ακόμα να έρθετε βολικά:

- Δυνατότητα εργασίας με τα συνηθισμένα κλάσματα.

- Δυνατότητα κοπής του κλάσματος.

- Γνώση των φόρμουλων συντομευμένου πολλαπλασιασμού.

Αλλά τέτοιες εργασίες μπορούν να σας συναντήσουν σχετικά με τις εξετάσεις.

1) Απλοποιήστε:

Η λύση εδώ.

2) Βρείτε την τιμή της έκφρασης σε καθορισμένες τιμές των μεταβλητών:

Η λύση εδώ.

3) Βρείτε την τιμή της έκφρασης σε καθορισμένες τιμές των μεταβλητών:

Η λύση εδώ.

Υπάρχουν πολλά παρόμοια καθήκοντα - δεν θα τα χωρίσουν όλα)

Έχετε ερωτήσεις; Γράψτε μου!

Ο προσωπικός σας δάσκαλος.

Αρμόδιο μετασχηματισμό ορθολογικών εκφράσεων

Οι ορθολογικές εκφράσεις και τα κλάσματα είναι ο ακρογωνιαίος λίθος ολόκληρης της άλγεβρας. Εκείνοι που μαθαίνουν να συνεργάζονται με τέτοιες εκφράσεις, απλοποιούν τους και να βρισκόταν σε πολλαπλασιαστές, στην πραγματικότητα μπορούν να λύσουν οποιοδήποτε έργο, δεδομένου ότι ο μετασχηματισμός των εκφράσεων αποτελεί αναπόσπαστο μέρος οποιασδήποτε σοβαρής εξίσωσης, ανισότητας και ακόμη και κειμένου.

Σε αυτό το βίντεο, θα δούμε πώς να εφαρμόσουμε ικανά τους τύπους του συντομευμένου πολλαπλασιασμού για την απλούστευση ορθολογικών εκφράσεων και κλασμάτων. Διδάξτε να δείτε αυτούς τους φόρμουλες όπου, με την πρώτη ματιά, δεν υπάρχει τίποτα. Ταυτόχρονα, επαναλαμβάνουμε μια τόσο απλή υποδοχή, καθώς η αποσύνθεση της πλατείας τριπλασιασμού στους πολλαπλασιαστές μέσω των διακριτικών.

Καθώς πιθανότατα μαντέψατε τους τύπους για την πλάτη μου, σήμερα θα μελετήσουμε τους τύπους συντομευμένου πολλαπλασιασμού και, με μεγαλύτερη ακρίβεια, όχι τους ίδιους τους τύπους, αλλά η χρήση τους για την απλούστευση και τη μείωση σύνθετων ορθολογικών εκφράσεων. Αλλά πριν μεταβείτε στην επίλυση παραδειγμάτων, ας πλησιάσουμε σε αυτούς τους τύπους ή να τους θυμηθείτε:

  1. $ {{{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = \ Αριστερό (A-B \ Right) \ Αριστερό (A + B \ Right) $ - Η διαφορά των τετραγώνων?
  2. $ {{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}}} + 2ab + {{b} {2}} $ - το άθροισμα του ποσού.
  3. $ {{\ \ αριστερά (a-b \ δεξιά)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2ab + {{b} {2}} $ - το τετράγωνο της διαφοράς.
  4. $ {{{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ αριστερά (a + b \ Right) \ αριστερά ({{a} ^ {2}} - ΑΒ {{b} ^ { 2}} \ Δεξιά) $ - η ποσότητα των κύβων.
  5. $ {{{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ αριστερά (ab} {2}} + ab {2 {2 {2 }} \ Δεξιά) $ - η διαφορά των κύβων.

Θα ήθελα επίσης να σημειώσω ότι το σχολικό μας σύστημα εκπαίδευσης είναι διατεταγμένο κατά τέτοιο τρόπο ώστε να είναι με τη μελέτη αυτού του θέματος, δηλ. Οι ορθολογικές εκφράσεις, καθώς και οι ρίζες, οι ενότητες όλων των μαθητών προκύπτουν το ίδιο πρόβλημα που θα εξηγήσω τώρα.

Το γεγονός είναι ότι στην αρχή της μελέτης των τύπων συντομευμένου πολλαπλασιασμού και, κατά συνέπεια, οι δράσεις για τη μείωση των κλάσεων (αυτή είναι κάπου κατηγορίας 8) οι δάσκαλοι λένε κάτι ως εξής: «Αν κάτι δεν είναι ασαφές, τότε δεν ανησυχείτε, είμαστε Αυτό το θέμα θα εξακολουθήσει να επιστρέφει επανειλημμένα, σε γυμνάσια όπως με ακρίβεια. Θα το αναλύσουμε. " Λοιπόν, στη συνέχεια στη στροφή της 9-10ης τάξης, οι ίδιοι δάσκαλοι εξηγούν τους ίδιους μαθητές που δεν γνωρίζουν πώς να λύσουν λογικά κλάσματα, για τα εξής: "Πού ήσασταν τα προηγούμενα δύο χρόνια; Μελετήθηκε στην Άλγεβρα στον βαθμό 8! Τι μπορεί να είναι ακατανόητο εδώ; Είναι τόσο προφανές! "

Ωστόσο, οι συνήθεις μαθητές από τέτοιες εξηγήσεις δεν είναι καθόλου ευκολότερο: έχουν τόσο χυλό και παρέμειναν, έτσι τώρα θα αναλύσουμε δύο απλά παραδείγματα, με βάση τα οποία και ας δούμε πώς σε πραγματικές εργασίες που θα διαθέσουν αυτές τις εκφράσεις Μας οδηγεί στους τύπους συντομευμένου πολλαπλασιασμού και πώς να το εφαρμόσετε για να μετατρέψετε πολύπλοκες ορθολογικές εκφράσεις.

Μείωση απλών ορθολογικών κλασμάτων

Αριθμός εργασίας 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} {2}}} {9 {{y} {4} - 16 {{x}} {2}}} \]

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να μάθουμε είναι να κατανοήσουμε τα ακριβή τετράγωνα στις αρχικές εκφράσεις και υψηλότεροι βαθμούς, με βάση τις οποίες μπορούμε στη συνέχεια να εφαρμόσουμε τους φόρμουλες. Ας ρίξουμε μια ματιά:

\ [9 {{y} ^ {4}} = {{3}} = {} \ cdot {{y}}}} = {{3}}} {}} {}} {y} ^ {2}}}} ^ {2}} = {{\ αριστερά (3 {y} ^ {2}}}} ^ {2}} \]

\ [16 {{{{{{x} {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} {cdot {{x} ^ {2}} = {{{ {2}} \ Δεξιά)}} {{{x} ^ {2}} = {{\ αριστερά ({2}}}}}}}} {2} } = {{\ αριστερά (4 {{x} ^ {2}}}} ^ {2}} \]

Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα γεγονότα:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}} {{\ \ αριστερά (3 {y}} {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {2}} )}} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y}} {}}} \ αριστερά (3 {y} {{y} {{{y} ^ {2}} - 4x \ Right) \ y} {2}} + 4x \ Δεξιά)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

Απάντηση: $ \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Αριθμός εργασίας 2.

Πηγαίνετε στη δεύτερη εργασία:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \]

Δεν υπάρχει τίποτα που να απλοποιήσει εδώ, επειδή υπάρχει μια σταθερά στον αριθμητή, αλλά πρότεινα αυτό το έργο για να μάθει να βάζει πολυώνυμα που περιέχουν δύο μεταβλητές σε πολλαπλασιαστές. Εάν αντ 'αυτού γράφτηκε κάτω από το πολυώνυμο, πώς θα το αποσυνθέσουμε;

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ αριστερά (x -... \ δεξιά) \ αριστερά (x -... \ σωστά) \]

Ας λύσουμε την εξίσωση και να βρούμε $ x $ που μπορούμε να θέσουμε αντί για σημεία:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0]

\ [D = 25-4 \ CDOT \ Αριστερά (-6 \ Δεξιά) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Μπορούμε να ξαναγράψουμε τρία κομμάτια ως εξής:

\ [{{x} ^ {2} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ αριστερά (x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 6 \ δεξιά) \]

Με ένα τετράγωνο τριπλό, μάθαμε να δουλεύουμε - για αυτό και ήταν απαραίτητο να καταγράψετε αυτό το σεμινάριο βίντεο. Και τι γίνεται αν, εκτός από $ x $ και υπάρχει μια σταθερά $ y $; Ας δούμε τους ως ένα ακόμα στοιχεία των συντελεστών, δηλ. Ας ξαναγράψουμε την έκφρασή μας ως εξής:

\ [{{x} ^ {2}} + 5y \ cdot x-6 {{y} ^ {2}}} \]

\ [a = 1, b = 5y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ \ \ \ left (5y \} {2}} - 4 \ CDOT \ Αριστερά (-6 {{y} ^ {2}} \ Right) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6y \]

Γράψτε την αποσύνθεση του πλατεριού μας σχεδιασμού:

\ [\ Αριστερά (x-y \ Right) \ Αριστερά (x + 6y \ Right) \]

Σύνολο Εάν επιστρέψουμε στην αρχική έκφραση και ξαναγράψουμε, λαμβάνοντας υπόψη τις αλλαγές, τότε λαμβάνουμε τα εξής:

\ [\ FRAC {8} {\ Αριστερά (x-y \ Right) \ Αριστερά (x + 6y \ Right)}}}

Τι μας δίνει αυτό το αρχείο; Τίποτα, επειδή δεν το κόβει, δεν πολλαπλασιάζεται και δεν διαιρείται. Ωστόσο, μόλις αυτό το κλάσμα αποδειχθεί ότι αποτελεί αναπόσπαστο μέρος μιας πιο περίπλοκης έκφρασης, μια τέτοια αποσύνθεση αποδεικνύεται ότι είναι παρεμπιπτόντως. Ως εκ τούτου, μόλις βλέπετε ένα τετράγωνο τριπλό (δεν έχει σημασία, επιδεινώνεται από πρόσθετες παραμέτρους ή όχι), προσπαθήστε πάντα να το αποσυντεθεί σε πολλαπλασιαστές.

Λύσεις αποχρώσεων

Θυμηθείτε τους κύριους κανόνες για τη μετατροπή των ορθολογικών εκφράσεων:

  • Όλοι οι παρονομητές και οι αριθμοί πρέπει να τοποθετούνται σε πολλαπλασιαστές ή μέσω των τύπων συντομευμένου πολλαπλασιασμού ή μέσω των διακρίσεων.
  • Είναι απαραίτητο να εργαστείτε σύμφωνα με αυτόν τον αλγόριθμο: όταν κοιτάμε και προσπαθούμε να επισημάνετε τη φόρμουλα συντομευμένου πολλαπλασιασμού, τότε, πρώτα απ 'όλα, προσπαθώντας να μεταφράσετε τα πάντα στο μέγιστο δυνατό βαθμό. Μετά από αυτό, βγάλουμε ένα κοινό πτυχίο για το βραχίονα.
  • Οι εκφράσεις με την παράμετρο θα βρεθούν πολύ συχνά: άλλες μεταβλητές θα εμφανιστούν ως συντελεστές. Τους θεωρούμε σύμφωνα με τον τετραγωνικό τύπο αποσύνθεσης.

Έτσι, μόλις βλέπετε λογικά κλάσματα, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να αποσυντεθεί και ο αριθμητής και ο παρονομαστής για τους πολλαπλασιαστές (σε γραμμικές εκφράσεις), ενώ χρησιμοποιούμε τους τύπους συντομευμένου πολλαπλασιασμού ή των διακρίσεων.

Ας δούμε μερικές τέτοιες λογικές εκφράσεις και να προσπαθήσουμε να τους αποσύνθεση σε πολλαπλασιαστές.

Επίλυση πιο περίπλοκων παραδειγμάτων

Αριθμός εργασίας 1.

\ [\ Frac {4 {4 {{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{y} {2}} {2x-3y} {2 {y} {{y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Επαναγράφουμε και προσπαθούμε να αποσυντεθούν κάθε άποψη:

\ [4 {{{{x} ^ {2}} = {{2}} = {} \ cdot {{x} {2}} = {{\ \ \ \}} {{2}} {{2}} {

\ [6xy = 2 \ cdot 3 \ cdot x \ cdot y = 2x \ cdot 3y \]

\ [9 {{{Y} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} {{y}} = {{\}} {{\}} {

\ [8 {{{{x} ^ {3}} = {{2}} = {} \ cdot {} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ \ 3}} \]

\ [27 {{{y} ^ {3}} = {{3}} = {} \ cdot {{y} ^ {3}} = {\ \}} {{\

Ας ξαναγράψουμε όλη την ορθολογική μας έκφραση με αυτά τα γεγονότα:

\ [\ Frac {{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}} {{2}} {{2}} {2x-3y} \ cdot \ FRAC {{{\ \ \ left (3y \ Right)} {{2}} - {{\ \}} {{{}} {{{\ αριστερά (2x \ δεξιά)} ^ {3}}} ^ {3}}} ^ {3}} + {{\ Αριστερά (3y \ Right)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}} - 2x {\ \}} {{2}} {2x-3y} \ cdot \ FRAC {\ Αριστερά (3y-2x \ Δεξιά) \ Αριστερά (3y + 2x \ Δεξιά)} {\ Αριστερά (2x + 3y \ Δεξιά) \ Αριστερά ({\ \ \ αριστερά (2x \ δεξιά) ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ Αριστερά (3y \ Right)} {2}} \ Δεξιά)} = - 1 \]

Απάντηση: $ -1 $.

Αριθμός εργασίας 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{x} ^ {2}}}} + 4-4x} \ \ CDOT \ FRAC {8 - {{x} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \]

Ας εξετάσουμε όλα τα κλάσματα.

Πρώτα:

\ [3-6x = 3 \ Αριστερά (1-2x \ Δεξιά) \]

\ [2 {{x} ^ {2} + 4x + 8 = 2 \ αριστερά ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} {2}} \ RWEST) \]

Δεύτερος:

\ [{{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{2} ^ ^ {2}} = {{\ αριστερά (x-2 \ δεξιά)} ^ {2}} \]

Τρίτος:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {{2} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ αριστερά (2-x \ δεξιά) \ αριστερά ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ RWEST) \]

\ [4 {{{{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2} \ cdot {{x} ^ {2}} - {{{}} {{{ (2x \ Right)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ αριστερά (2x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (2x + 1 \ δεξιά) \]

Επαναγράφουμε ολόκληρο το σχεδιασμό, λαμβάνοντας υπόψη τις αλλαγές:

\ [\ Frac {3 \ Αριστερά (1-2x \ Δεξιά)} {2 \ Αριστερά ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} {2}} \ Δεξιά)}} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{\ \ αριστερά (x-2 \ δεξιά)} ^ {2}} \ cdot \ frac {\ αριστερά (2-x \ δεξιά) \ αριστερά ({{2} ^ {2}}} + 2x + {{x} ^ {2}}}} {\ αριστερά (2x-1 \ δεξιά) \ αριστερά (2x + 1 \ δεξιά)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ αριστερά (-1 \ δεξιά)} {2 \ cdot \ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ cdot \ αριστερά (-1 \ δεξιά)} = \ frac {3} {2 \ αριστερά (x-2 \ δεξιά)}} \]

Απάντηση: $ \ FRAC {3} {2 \ Αριστερά (X-2 \ Δεξιά)} $.

Λύσεις αποχρώσεων

Έτσι, αυτό που μόλις μάθαμε:

  • Όχι κάθε τετράγωνο τριπλό μειώνεται στους πολλαπλασιαστές, ειδικότερα, αυτό αναφέρεται σε ένα ελλιπές τετράγωνο της ποσότητας ή της διαφοράς, οι οποίες συχνά βρίσκονται συχνά ως μέρος των κύβων του ποσού ή της διαφοράς.
  • Σταθερές, δηλ. Οι συμβατικοί αριθμοί που δεν έχουν μεταβλητές μαζί τους μπορούν επίσης να λειτουργήσουν ως ενεργά στοιχεία στη διαδικασία αποσύνθεσης. Πρώτον, μπορούν να αφαιρεθούν από τις παρενθέσεις, δεύτερον, οι ίδιοι οι σταθερές μπορούν να παρουσιαστούν με τη μορφή βαθμών.
  • Πολύ συχνά, μετά την αποσύνθεση όλων των στοιχείων σε πολλαπλασιαστές, προκύπτουν αντίθετες δομές. Η μείωση αυτών των κλάσματα πρέπει να είναι εξαιρετικά καθαρά, επειδή με overclocking είτε από πάνω, είτε υπάρχει ένα πρόσθετο πολλαπλασιαστικό $ -1 $ - αυτή είναι η συνέπεια των απέναντι.

Λύση σύνθετων εργασιών

\ [\ Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{b} ^ {3}}} {{{b}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + + 4b + 4} \]

Εξετάστε κάθε όρο ξεχωριστά.

Πρώτο κλάσμα:

\ [27 {{{A} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} {{}}} = {{\}} {{3}} { ]

\ [64 {{{b} {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} {cdot {{{}} {{{}} { {2}} \ Δεξιά)} {{3} {{3} {{3}} = {{}} = {{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } ^ {3}} = {{\ αριστερά (4B \ Right)} ^ {3}} \]

\ [{{\ Αριστερά (3a \ Right)} ^ {3}} - {\ \ \ Αριστερά (4b \ Right)} {{3}} = \ Αριστερά (3Α-4Β \ Δεξιά) \ Αριστερά ({{\ Αριστερά (3α \ δεξιά)} ^ {2}} + 3Α \ CDOT 4B + {{\ αριστερά (4B \ Right)} ^ {2}} \ Δεξιά) \]

\ [{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2} = \ Αριστερά (B-2 \ Δεξιά) \ Αριστερά (B + 2 \ Δεξιά) \]

Δεύτερος:

\ [9 {{{{A} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{a}} {2}} = {{\}}} {{2}}} {{2}} {{2}} {{2}}

\ [16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {} \ cdot {{b} {{2}} = {\ \ \ \ \}}} \]

\ [12ab = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Ο ολόκληρος αριθμητής του δεύτερου κλάσματος μπορούμε να ξαναγράψουμε ως εξής:

\ [{{\ \ \ left left + + 3A \ cdot 4B + {{\ \ \} {{2}} {

Τώρα ας δούμε τον παρονομαστή:

\ [{{b} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} {2}} + 2 \ cdot 2b + {{2} {2}} = {{\ αριστερά (b + 2 \ δεξιά)} ^ {2}} \]

Ας ξαναγράψουμε μια λογική έκφραση, λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω γεγονότα:

\ [\ Frac {\ αριστερά) \ αριστερά ({{\ αριστερά (3A \ δεξιά)} {{2}} + 3Α \ CDOT 4B + {{\ αριστερά (4B \ Right)} {2}} \ RWEST) } {\ Αριστερά (b-2 \ δεξιά) \ αριστερά (b + 2 \ δεξιά)} \ cdot \ frac {{{\ \ αριστερά (b + 2 \ δεξιά)} {{2}}} {{{\ 3A \ Right)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ αριστερά (4b \ Right)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ αριστερά) \ αριστερά (b + 2 \ δεξιά)} {\ αριστερά (b-2 \ δεξιά)}}}}

Απάντηση: $ \ FRAC {\ Αριστερά (3Α-4B \ Δεξιά) \ Αριστερά (B + 2 \ Δεξιά)} {\ Αριστερά (B-2 \ Δεξιά)} $.

Λύσεις αποχρώσεων

Όπως και πάλι πεπεισμένοι, ελλιπείς τετράγωνα του ποσού ή των ελλιπών τετραγώνων της διαφοράς, οι οποίες συχνά βρίσκονται σε πραγματικές ορθολογικές εκφράσεις, αλλά δεν τους φοβούνται, γιατί μετά τη μετατροπή κάθε στοιχείου, σχεδόν πάντα μειώνονται. Επιπλέον, σε καμία περίπτωση δεν θα πρέπει να φοβάται μεγάλα σχέδια στη συνολική απάντηση - είναι πολύ πιθανό ότι αυτό δεν είναι το σφάλμα σας (ειδικά αν όλα είναι σχεδιασμένα για πολλαπλασιαστές) και αυτός ο συγγραφέας συλλάβει μια τέτοια απάντηση.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να αποσυναρμολογήσω ένα άλλο πολύπλοκο παράδειγμα, το οποίο δεν ανήκει πλέον απευθείας στα ορθολογικά κλάσματα, αλλά περιέχει όλα όσα περιμένει σε αυτούς τους ελέγχους και εξετάσεις, δηλαδή: αποσύνθεση πολλαπλασιαστών, προσφέροντας σε έναν κοινό παρονομαστή, ένα μείωση των όρων αυτών. Αυτό ακριβώς θα πάμε.

Επίλυση ενός δύσκολου έργου για την απλούστευση και τη μετατροπή των ορθολογικών εκφράσεων

\ [\ αριστερά (\ frac {x} {{{x}} {2} + \ frac {{x}}}}} + 8} {{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ δεξιά) \ cdot \ αριστερά (\ frac {{{{x {{{x} {{2}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ σωστά) \]

Πρώτον, εξετάστε και αποκαλύψτε το πρώτο βραχίονα: βλέπουμε τρία ξεχωριστά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, έτσι το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να φέρουμε και τα τρία κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, και γι 'αυτό, καθένας από αυτούς πρέπει να αποσυντεθεί στους πολλαπλασιαστές:

\ [{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}}}} \]

\ [{{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά ({{x {x {x {x {x- {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ RWEST) \]

Ξαναγράψουμε ολόκληρο το σχεδιασμό μας ως εξής:

\ [\ Frac {x} {{{x}} {2} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ frac {{{x} {{2}}}} + 8} {\ lead ( x -2 \ δεξιά) \ αριστερά ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} {2}} \ Right)} - ​​\ frac {1} {x-2} = {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ αριστερά (x-2 \ δεξιά) + {{x} ^ {3}}} + 8- \ αριστερά ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2}} { 2}}} \ Δεξιά)} {\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} {2}} \ Right)} = \]

\ [= \ frac {{{{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x}}} - 2x-4} {\ αριστερά (x- 2 \ δεξιά) \ αριστερά ({{{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2}}} = \ frac {{{x} {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ \ Αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} {2}} \ Right)} = \]

\ [= \ Frac {{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \} {{{x-2 \ \ \ \ \ {{x}}}}}} + + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ Δεξιά)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4}}}}}} +

Αυτό είναι το αποτέλεσμα των υπολογισμών από το πρώτο βραχίονα.

Καταλαβαίνουμε με το δεύτερο βραχίονα:

\ [{{x} ^ {2} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ ΣΩΣΤΑ) \]

Ξαναγράμε το δεύτερο βραχίονα με τις αλλαγές:

\ [\ Frac {{{{{{x} ^ {2}} {\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)} {\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)} = \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ αριστερά (x-2 \ δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)}}}}}

Τώρα γράψτε ολόκληρο το σχεδιασμό πηγής:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{x}}} +} + 2x + 4} {leach (x-2 \ Δεξιά) \ αριστερά (x + 2 \ δεξιά)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Απάντηση: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Λύσεις αποχρώσεων

Όπως μπορείτε να δείτε, η απάντηση αποδείχθηκε αρκετά υγιής. Ωστόσο, σημειώστε: πολύ συχνά, με τέτοιους υπολογισμούς μεγάλης κλίμακας, όταν η μόνη μεταβλητή είναι μόνο στον παρονομαστή, οι μαθητές ξεχνούν ότι αυτός είναι ο παρονομαστής και θα έπρεπε να βρισκόταν το κλάσμα σε τότε και να γράψει αυτή την έκφραση σε έναν αριθμητή - αυτό είναι ένα ακαθάριστο λάθος.

Επιπλέον, θα ήθελα να επιστήσω την ιδιαίτερη προσοχή σας στο πώς γίνονται τέτοια καθήκοντα. Σε οποιονδήποτε σύνθετους υπολογισμούς, όλα τα βήματα εκτελούνται σε ενέργειες: Πρώτον, το θεωρούμε ξεχωριστά, τότε συνδυάζουμε ξεχωριστά και μόνο στο τέλος συνδυάζουμε όλα τα μέρη και εξετάζουμε το αποτέλεσμα. Έτσι, ασφαλίζουμε τους εαυτούς τους από τα ηλίθια λάθη, γράψουμε προσεκτικά όλους τους υπολογισμούς και ταυτόχρονα δεν ξοδεύετε επιπλέον χρόνο, καθώς μπορεί να φανεί με την πρώτη ματιά.

Σε νέες συναντήσεις!

Δείτε επίσης:

  1. Πώς να κάνετε μια μείωση των ορθολογικών κλασμάτων χωρίς λάθη; Ένας απλός αλγόριθμος στο παράδειγμα πέντε διαφορετικών εργασιών.
  2. Κλασματικές ορθολογικές εκφράσεις
  3. Πώς να περάσετε τις εξετάσεις στα μαθηματικά
  4. Δοκιμή EGE 2012. Επιλογή 12 (χωρίς λογάριθμους)
  5. Μέθοδος διαστήματος: η περίπτωση απίστευτων ανισοτήτων
  6. Δοκιμή σχετικά με τα προβλήματα B14: Εύκολο επίπεδο, 1 επιλογή

Σχόλια δάσκαλος

Μάθημα: Μετασχηματισμός ορθολογικών εκφράσεων

Ανάκληση πρώτης προσδιορισμού της ορθολογικής έκφρασης.

Ορισμός. Λογικός Εκφραση - Αλγεβρική έκφραση που δεν περιέχει ρίζες και περιλαμβάνει μόνο τις ενέργειες της προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης (ανέγερση).

Κάτω από την έννοια της "μετατροπής μιας ορθολογικής έκφρασης", εννοούμε, πάνω απ 'όλα, η απλούστευσή του. Και αυτό διεξάγεται στη διαδικασία που μας γνωρίζει: πρώτες ενέργειες σε παρένθεση, τότε Εργασία αριθμών (Στάση στο πτυχίο), διαίρεση αριθμών και στη συνέχεια προσθήκες / αφαίρεση.

Ο κύριος σκοπός του σημερινού μαθήματος θα αποτελέσει την απόκτηση εμπειρίας στην επίλυση πιο περίπλοκων καθηκόντων για την απλούστευση ορθολογικών εκφράσεων.

Παράδειγμα 1. Απλοποιήστε την ορθολογική έκφραση .

Απόφαση. Αρχικά, μπορεί να φανεί ότι τα καθορισμένα κλάσματα μπορούν να μειωθούν, καθώς οι εκφράσεις στα κλάσματα είναι πολύ παρόμοια με τους τύπους των πλήρων τετραγώνων των αντίστοιχων αρμονικών. Σε αυτή την περίπτωση, είναι σημαντικό να μην βιαστούμε, αλλά να ελέγχετε ξεχωριστά αν είναι.

Ελέγξτε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος: . Τώρα ο αριθμητής είναι ο δεύτερος: .

Όπως μπορεί να δει, οι προσδοκίες μας δεν δικαιολογούνται και οι εκφράσεις στους αριθμούς δεν είναι πλήρεις τετράγωνα, αφού δεν έχουν διπλασιασμό του έργου. Τέτοιες εκφράσεις, αν υπενθυμίσουμε τον βαθμό 7, ονομάζονται ελλιπή τετράγωνα. Θα πρέπει να είναι πολύ προσεκτική σε τέτοιες περιπτώσεις, καθώς η σύγχυση ενός πλήρους τετράγωνου τύπου με ελλιπής είναι ένα πολύ συνηθισμένο λάθος και τα παραδείγματα αυτά ελέγχουν την προσοχή του μαθητή.

Δεδομένου ότι η μείωση είναι αδύνατη, τότε θα εκτελέσουμε την προσθήκη κλάσεων. Οι παρονομητές δεν έχουν κοινά παράγοντες, οπότε απλά αλλάζουν για να αποκτήσουν τον μικρότερο κοινό παρονομαστή και ένας πρόσθετος παράγοντας για κάθε κλάσμα είναι ο παρονομαστής ενός άλλου κλάσματος.

 

Φυσικά, τότε μπορείτε να αποκαλύψετε αγκύλες και στη συνέχεια να φέρετε παρόμοιους όρους, ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση μπορείτε να κάνετε την ακόλουθη δύναμη και να σημειώσετε ότι στον αριθμητή ο πρώτος όρος είναι ο τύπος του άθρορου κύβων, και η δεύτερη είναι η διαφορά των κύβων . Για ευκολία, ας θυμηθούμε αυτούς τους τύπους γενικά:

 и .

Στην περίπτωσή μας, η έκφραση στον αριθμητή καταρρέει ως εξής:

Η δεύτερη έκφραση είναι παρόμοια. Εχουμε:

.

Απάντηση. .

Παράδειγμα 2. Απλοποιήστε την ορθολογική έκφραση .

Απόφαση. Αυτό το παράδειγμα είναι παρόμοιο με το προηγούμενο, αλλά παρατηρείται αμέσως εδώ ότι τα ελλιπή τετράγωνα βρίσκονται στους πείρους, επομένως η μείωση στο αρχικό στάδιο των λύσεων είναι αδύνατη. Παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα, διπλώσουμε τα κλάσματα:

Εδώ είμαστε παρόμοια με τη μέθοδο που καθορίζεται παραπάνω, παρατηρήθηκε και καμπυλωθεί εκφράσεις από τους τύπους της ποσότητας και της διαφοράς των κύβων.

Απάντηση. .

Παράδειγμα 3. Απλοποιήστε την ορθολογική έκφραση .

Απόφαση. Μπορεί να σημειωθεί ότι ο δεύτερος παρονομαστής κλάσματος αποσυντίθεται στους παράγοντες της φόρμουλας των κύβων. Όπως γνωρίζουμε ήδη, η αποσύνθεση παρονομαστών σε παράγοντες είναι χρήσιμος για την περαιτέρω αναζήτηση του μικρότερου κοινού παρονομαστή.

.

Αναφέρουμε τον μικρότερο γενικό παρονομαστή των κλάσεων, είναι ίσο: , δεδομένου ότι χωρίζεται σε παρονομαστή του τρίτου κλάσματος και η πρώτη έκφραση είναι γενικά το σύνολο, και οποιοσδήποτε παρονομαστής είναι κατάλληλος για αυτό. Δείχνοντας τα προφανή πρόσθετα σφάλματα, γράψτε:

.

Απάντηση.

Σκεφτείτε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα με τα "πολυώροφα" κλάσματα.

Παράδειγμα 4. Αποδείξτε την ταυτότητα Με όλες τις επιτρεπόμενες τιμές της μεταβλητής.

Απόδειξη. Για να αποδείξουμε την καθορισμένη ταυτότητα, θα προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε το αριστερό μέρος του (περίπλοκο) στα απλά είδη που απαιτούνται από εμάς. Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε όλα τα βήματα με κλάσματα στον αριθμητή και τον παρονομαστή και στη συνέχεια χωρίστε το κλάσμα και απλοποιήστε το αποτέλεσμα.

. Αποδείχθηκε για όλες τις έγκυρες τιμές της μεταβλητής.

Αποδείχθηκε.

Αφηρημένη πηγή: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobiifeticheskie-eperacii-nad-algebraicheskimibyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

Πηγή βίντεο: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Οι ιδιότητες της προσθήκης, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση είναι χρήσιμοι στο ότι σας επιτρέπει να μετατρέψετε τα ποσά και να λειτουργήσει σε βολικές εκφράσεις για τον υπολογισμό. Μάθετε πώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτές τις ιδιότητες Απλοποιήστε τις εκφράσεις .

Υπολογίστε το ποσό:

52 + 287 + 48 + 13 =

Σε αυτή την έκφραση υπάρχουν αριθμοί, όταν οι αριθμοί "στρογγυλής" είναι προσθήκη. Παρατηρώντας αυτό, είναι εύκολο να υπολογίσετε προφορικά. Χρησιμοποιούμε την επανεκτίμηση της προόδου.

Απλοποιήστε το ποσό της κίνησης

Επίσης, για να απλοποιήσετε τον υπολογισμό των έργων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την κίνηση του πολλαπλασιασμού.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Χρησιμοποιούνται οι συνδυαστικές και κινούμενες ιδιότητες και Απλοποιήστε τις εκφράσεις επιστολών .

  • 6 · Α · 2 = 6 · 2 · Α = 12Α
  • 2 · ένα · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8ab
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · y = 2y

Ο νόμος περί πολλαπλασιασμού διανομής χρησιμοποιείται συχνά για την απλούστευση των υπολογισμών.

Πολλαπλασιασμός του νόμου διανομήςΟ πολλαπλασιασμός του νόμου διανομής σε σχέση με την αφαίρεση

Εφαρμόζοντας την ιδιότητα διανομής πολλαπλασιασμού σε σχέση με την προσθήκη ή την αφαίρεση στην έκφραση " (Α + Β) · C και (A - B) · C "Παίρνουμε μια έκφραση που δεν περιέχει αγκύλες.

Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι εμείς αποκάλυψε (μειωμένες) αγκύλες . Η χρήση ιδιοτήτων δεν έχει σημασία πού καταγράφεται ο πολλαπλασιαστής " c"- μπροστά από τις αγκύλες ή μετά.

Ανάκληση στις εκφράσεις.

  • 2 (t + 8) = 2t + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Θυμάμαι! !

Εάν η επιστολή δεν καταγραφεί στην περίπτωση, είναι κατανοητό ότι υπάρχει ένας αριθμητικός παράγοντας μπροστά από το γράμμα 1.

Πολλαπλασιαστής για αγκύλες

Αλλάζουμε το σωστό και το αριστερό μέρος της ισότητας:

(Α + Β) C = AC + BC

Παίρνουμε:

AC + BC = (A + B) με

Σε τέτοιες περιπτώσεις, το λένε ότι από " AC + BC. » Έχουν γίνει κοινός πολλαπλασιαστήρας «с"Για αγκύλες.

Παραδείγματα γενικού παράγοντα για αγκύλες.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий