Vereinfachung der Ausdrücke

Vereinfachung der Ausdrücke

Eine der häufigsten Aufgaben in Algebra-Sounds klingt so: "Vereinfachen Sie den Ausdruck". Dies kann mit einer der folgenden Techniken erfolgen, aber meistens müssen Sie sie kombinieren.

Ähnliche Begriffe bringen.

Dies ist die einfachste Empfänge. Ähnlich Sie werden als Begriffe bezeichnet, die den gleichen alphabetischen Teil haben. Beispielsweise wie Ausdrücke 5 аund -6. а; -3. Hu. und 3. Beeindruckend ; 2 und 10. Also. Sie können nur die ähnlichen Komponenten falten; Wenn der wörtliche Teil der Komponenten unterschiedlich ist, sind solche Komponenten bereits unmöglich. Stimmen Sie zu, wenn wir in meinem Leben Äpfel mit Nägeln hinzufügen werden, werden wir in der Mathematik auf die gleiche Weise etwas Spiel haben).

Vereinfacht beispielsweise einen solchen Ausdruck:

Ähnliche Begriffe Ich werde verschiedene Farben zuweisen und berechnen. Übrigens das Zeichen, bevor der Begriff auf diesen Begriff bezieht.

Wie Sie sehen, gibt es nicht länger als dieselben Alphabone-Teile. Der Ausdruck ist vereinfacht.

Multiplikation von Single-Wing- und Polynomen.

Ich werde nicht streiten - Sie können die Zahlen multiplizieren. Und wenn Buchstaben, Grade, Klammern zu ihnen hinzufügen?

Monom - Dies ist ein Ausdruck, der aus einem Produkt von Zahlen, Buchstaben, Abschlüssen besteht, und es muss unbedingt in Ordnung sein. Überraschenderweise ist nur die Nummer 5 ebenfalls aufgeschlossen, sowie eine einsame Variable х.

Beim Multiplikation von Single-Panels nutzen Sie die Regeln der Multiplikation von Grad.

Drei Unoblys bewegen:

Verschiedene Farben zuordnen, was ich multiplizieren werde.

Polynom - Dies ist die Summe von One-Wing.

Um den Ausdruck auf den Polynomialen hinter den Klammern zu multiplizieren, um jeder Person in Klammern zu multiplizieren. Details im folgenden Beispiel.

Es bleibt, sich an die Multiplikation des Polynoms an das Polynom zu erinnern. Damit ist es notwendig, in den ersten Klammern in den ersten Halterungen in den ersten Klammern in den ersten Klammern zu multiplizieren, wobei die Ergebnisse abhängig von den Anzeichen der Ausdrücke falten oder abziehen.

Einen gemeinsamen Faktor für Klammern machen.

Wir werden das Beispiel verstehen.

Dieser Ausdruck wird gegeben:

Was ist diesen beiden Bedingungen üblich? Das ist richtig, es gibt einen Multiplizierer in beiden. x. Er wird ein allgemeiner Faktor sein, der herausgenommen werden muss.

Nehmen Sie ein anderes Beispiel ein.

Beide Zahlen in den Komponenten sind in 2 unterteilt, dann ist die Zahl 2 ein gemeinsamer Faktor. Aber immer noch in diesen homoralen gibt es den gleichen buchstab aber - Eins im ersten Grad, der andere - in der zweiten. Wir nehmen es in geringerem Maße, d. H. In der ersten ist es der zweite gemeinsame Faktor. Im Allgemeinen wird es einen solchen Datensatz herausstellen:

Nun, lass das dritte Beispiel nur ohne Kommentar sein.

Sie können die Richtigkeit des allgemeinen Faktors für Halterungen überprüfen, indem Sie Klammern (Multiplikation) offenlegen.

Zersetzung von Polynomen an den Multiplizierern der Gruppierungsmethode.

Wenn Sie ein Polynom an Multiplikatoren zersetzen müssen, ist die Gruppierungsmethode für Sie nützlich.

Es ist möglich, Ausdrücke nur durch allgemeine Faktoren pro Halterung zu gruppieren. Es ist jedoch notwendig, es so zu schaffen, dass die Klammern irgendwann gleich ausarbeiten. Wozu? Ja, dann, dann diese Klammern für andere Klammern herzustellen.

Das Beispiel wird klarer sein)

Ich nehme ein Beispiel, der einfachste, sauber, um zu verstehen, was getan werden sollte.

In den ersten beiden Begriffen ist der gemeinsame Faktor die Variable а: Wir tragen es für die Halterung aus. In den zweiten beiden Begriffen ist der Gesamtfaktor die Zahl 6. Es wird auch für Klammern ausgeführt.

Haben Sie zwei identische Klammern gesehen? Jetzt sind sie ein gemeinsamer Faktor. Wir ertragen sie hinter der Halterung und erhalten ein süßes Produkt von zwei Klammern:

Die Zersetzung des Platzes ist drei Entscheidungen über Multiplikatoren.

Lassen Sie das Quadrat Drei-Shreddance:

Um es auf Multiplizierern zu zersetzen, ist es notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen

Nächste Wurzelgleichung. х1 и х2Ersetzen Sie die folgende Formel:

Wir versuchen.

Nehmen Sie diese drei Jahre alt:

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung.

Wir ersetzen sie in der Formel für die Zersetzung des Quadrats drei Zersetzung von Multiplikatoren:

Etwas zu viele Minus in der zweiten Halterung. Leicht umwandeln:

Jetzt wunderbar)

Kannst du noch praktisch kommen:

- Fähigkeit, mit gewöhnlichen Fraktionen zusammenzuarbeiten;

- Fähigkeit, den Fraktion zu schneiden;

- Kenntnis der Formeln der abgekürzten Multiplikation.

Solche Aufgaben können Sie jedoch auf der Prüfung treffen.

1) Vereinfachen Sie:

Die Lösung hier.

2) Finden Sie den Wert des Ausdrucks mit den angegebenen Werten der Variablen:

Die Lösung hier.

3) Finden Sie den Wert des Ausdrucks mit den angegebenen Werten der Variablen:

Die Lösung hier.

Es gibt viele ähnliche Aufgaben - sie werden nicht alle passen)

Habe Fragen? Schreib mir!

Dein persönlicher Lehrer

Kompetente Transformation rationaler Ausdrücke

Rationale Ausdrücke und Fraktionen sind der Eckpfeiler des gesamten Algebra-Laufs. Diejenigen, die mit solchen Ausdrücken arbeiten lernen, vereinfachen sie und legen Sie sie auf Multiplikatoren aus, tatsächlich können sie jede Aufgabe lösen, da die Umwandlung von Ausdrücken ein wesentlicher Bestandteil jeder ernsthaften Gleichung, Ungleichheit und sogar einer Textaufgabe ist.

In diesem Video sehen wir, wie man die Formeln der abgekürzten Multiplikation kompetent anwenden, um rationale Ausdrücke und Fraktionen zu vereinfachen. Lehren, diese Formeln zu sehen, wo es auf den ersten Blick nichts gibt. Gleichzeitig wiederholen wir einen solchen einfachen Empfang, als die Zersetzung des quadratischen Dreifachs in Multiplizierer durch das Diskriminiermittel.

Wie Sie wahrscheinlich die Formeln für meinen Rücken erraten haben, werden wir heute die Formeln der abgekürzten Multiplikation studieren, und genauer, nicht die Formeln selbst, sondern ihre Verwendung, um komplexe rationale Ausdrücke zu vereinfachen und zu reduzieren. Bevor Sie jedoch auf das Lösen von Beispielen wechseln, nähern wir uns diesen Formeln näher oder erinnern Sie sich an sie:

  1. $ {{a} ^ {2}} {{{b} ^ {2}} ^ {2}} = \ Left (A-B \ Right) \ Left (A-B \ Right) \ Left (A + B \ Right) $ - Der Unterschied von Quadraten;
  2. $ {{\ Left (A + B \ RECHTS)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2AB + {{B} ^ {2}} $ - Die Summe der Menge;
  3. $ {{\ Links (A-B \ RECHTS)} ^ {2}} = {{A}} {2}} - 2AB + {{B} ^ {2}} $ - Das Quadrat des Unterschieds;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{{b} ^ {3}} = \ linke (a + b \ rechts) \ links ({{a} ^ {2}} - ab + {{B} ^ 2}} \ rechts) $ - die Menge der Würfel;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{{b} ^ {3}} = \ links (AB \ RECHTS) \ Left ({{{a} ^ {2}} + ab + {{B} ^ {2 }} \ \ RECHTS) $ - der Unterschied von Würfeln.

Ich möchte auch feststellen, dass unser Schulsystem der Bildung so arrangiert ist, dass es sich bei der Untersuchung dieses Themas handelt, d. H. Die rationalen Ausdrücke sowie die Wurzeln, die Module aller Schüler entstehen das gleiche Problem, das ich jetzt erklären werde.

Die Tatsache ist, dass sich die Lehrer zu Beginn des Studiums der Formeln der Abkürzung und, dementsprechend Maßnahmen zur Verringerung von Fraktionen (dies ist eine andere Klasse 8), sagen Lehrer wie folgt: "Wenn etwas unklar ist, dann machen Sie sich keine Sorgen, wir sind es nicht Dieses Thema wird immer noch wiederholt wiederholt, in High Schools so genau. Wir werden es analysieren. " Nun, dann in der Wende der 9- bis 10. Klasse erklären dieselben Lehrer die gleichen Schüler, die nicht wissen, wie Sie rationale Fraktionen lösen können, um die folgenden Fraktionen zu lösen: "Wo waren Sie die letzten zwei Jahre? Es wurde in Algebra in der Grade 8 untersucht! Was kann hier unverständlich sein? Es ist so offensichtlich! "

Die üblichen Jünger aus solchen Erklärungen sind jedoch überhaupt nicht einfacher: Sie haben beide Brei und blieben, also werden wir jetzt zwei einfache Beispiele analysieren, auf deren Grundlage und lass uns sehen, wie in echten Aufgaben diese Ausdrücke zuzuordnen Führe uns zu den Formeln der abgekürzten Multiplikation und wie man diese anwenden, um komplexe rationale Ausdrücke umzuwandeln.

Reduzierung einfacher rationaler Fraktionen

Aufgabe Nummer 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {9 {{y} ^ {4 {{y} ^ {4}} - 16 {{{x} ^ {2}} ^ \]

Das Erste, was wir lernen müssen, ist es, genaue Quadrate in den anfänglichen Ausdrücken und höheren Grad zuzuordnen, auf deren Grundlage wir dann Formeln anwenden können. Lass uns einen Blick darauf werfen:

\ [9 {{y y} ^ {{{y y} ^ {{3}} = {{} \ cdot {{y} ^ {4}} {{{{3}} {2}} \ cdot {{\ linke ({{{{{ {y} ^ {2}} ^ ^ {2}} \ rechts)} ^ {2}} = {{\ linke (3 {y} ^ {2}} \ rechts)} ^ {2}} \]

\ [16 {{{x} ^ {{2}} = {{{2}} = {{{2} ^ {{{{2} ^ {{{{{} ^ {2}} ^ {2}} = {{\ Links ({{2} ^ ^ {2}} \ RECHTS)} ^ {2}} ^ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ linke ({{2} ^ {2}} ^ ^ {2}} \ cdot x · rechts)} ^ {2} } = {{\ Left (4 {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{2}} \ rechts)} ^ {2}} \]

Lassen Sie uns den Ausdruck unter Berücksichtigung dieser Fakten neu schreiben:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y y} ^ {2}}} {{{\ linke (3 {y} ^ {2}} ^ ^ {2}}} ^ {2}} ^ {\ linke (4x \ rechts) )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {\ linke (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ rechts) \ links (3 {{ y} ^ {2}} + 4x \ rechts)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} ^ {2}} - 4x} \]

Antwort: $ \ frac {1} {3 {{y y} ^ {2}} - 4x} $.

Task Nummer 2.

Gehen Sie zur zweiten Aufgabe:

\ [\ Frac {8} {{{{{{{{{{{{{{{{{{{}} + 5xY-6 {{y} ^ {2}}} \]

Hier ist nichts zu vereinfachen, da es in dem Zähler konstant ist, aber ich habe diese Aufgabe vorgeschlagen, um lernen, Polynome zu setzen, die zwei Variablen auf Multiplikatoren enthalten. Wenn stattdessen unter das Polynom geschrieben wurde, wie würden wir es erklären?

\ [{{{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ links (x -... \ rechts) \ links (x -... \ rechts) \]

Lassen Sie uns die Gleichung lösen und $ x $ finden, die wir anstelle von Punkten setzen können:

\ [{{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ cdot \ linke (-6 \ rechts) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Wir können drei Teile wie folgt umschreiben:

\ [{{{{x} ^ {2}} + 5xY-6 {{y} ^ {2}} = \ linke (x-1 \ rechts) \ links (x + 6 \ rechts) \]

Mit einem quadratischen Triple haben wir gelernt, zu arbeiten, denn dies war notwendig, um dieses Video-Tutorial aufzunehmen. Und was ist, wenn es außer $ x $ und eine andere $ Y $ Constant gibt? Schauen wir uns sie als ein weiterer Elemente der Koeffizienten an, d. H. Lassen Sie uns unseren Ausdruck wie folgt umschreiben:

\ [{{{x} ^ {2}} + 5Y \ cdot x-6 {{y} ^ {2}} \]

\ A = 1; B = 5Y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ Links (5Y \ RECHTS)} ^ {2}} ^ {2}} - 4 \ cdot \ left (-6 {{y} ^ {2}} ^ ^ {2}} ^ ^ {{y y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7Y \]

\ [{{{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7Y} {2} = y \]

\ [{{{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7Y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6Y \]

Schreiben Sie die Zersetzung unseres quadratischen Designs:

\ [\ Links (X-y \ Right) \ Left (X + 6Y \ RECHTS) \]

Summe, wenn wir zum anfänglichen Ausdruck zurückkehren und diese umschreiben, unter Berücksichtigung von Änderungen, erhalten wir Folgendes:

\ [\ Frac {8} {\ linke (X-y \ Right) \ Left (X + 6Y \ RECHTS)} \]

Was gibt uns dieser Datensatz? Nichts, weil es nicht schneidet, multipliziert es nicht und ist nicht teilbar. Sobald diese Fraktion jedoch als ein wesentlicher Bestandteil eines komplexeren Ausdrucks erweist, erweist sich eine solche Zersetzung als übrig. Sobald Sie ein quadratisches Triple sehen (es spielt keine Rolle, wird von zusätzlichen Parametern verschlimmert oder nicht), versuchen Sie es immer, es auf Multiplikatoren zu zersetzen.

Nuancenlösungen

Erinnern Sie sich an die Hauptregeln für die Umwandlung rationaler Ausdrücke:

  • Alle Nenner und Zahlen müssen auf Multiplikatoren oder durch die Formeln der abgekürzten Multiplikation oder durch die Diskrimination gelegt werden.
  • Es ist notwendig, nach diesem Algorithmus zu arbeiten: Wenn wir aussehen und versuchen, die Formel der abgekürzten Multiplikation zu markieren, dann versucht es zunächst, alles auf den maximal möglichen Grad umzusetzen. Danach nehmen wir einen gemeinsamen Grad für die Halterung heraus.
  • Ausdrücke mit dem Parameter werden sehr oft gefunden: Andere Variablen treten als Koeffizienten auf. Wir finden sie entsprechend der quadratischen Zersetzungsformel.

Sobald Sie rationale Fraktionen sehen, ist das erste, was zu tun ist, das Erste zu zersetzen und den Zähler und den Nenner für Multiplizierer (auf linearen Ausdrücken), während wir die Formeln der abgekürzten Multiplikation oder Diskrimination verwenden.

Schauen wir uns ein paar solche rationalen Ausdrücke an und versuchen Sie, sie auf Multiplikatoren zu zersetzen.

Komplexe Beispiele lösen

Aufgabe Nummer 1.

\ [\ Frac {4 {{{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{y} ^ {2}}} {2x-3Y} \ cdot \ frac {9 {{y} ^ {2}} - 4 {{{x} ^ {2}}} {8 {{{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Wir schreiben neu, um jeden der Bedingungen zu zersetzen:

\ [4 {{{{x} ^ {{2}} = {{2}} = {{} \ cdot {{{{} ^ {2}} = {{\ linke (2x \ rechts)} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ cdot 3 \ cdot x \ cdot y = 2x \ cdot 3Y \]

\ [9 {{y y} ^ {{{y}} = {{3}} = {{} \ cdot {{y} ^ {2}} = {{\ linke (3Y \ RECHTS)} ^ {2}} \]

\ [8 {{{x} ^ {{3}} = {{2}} = {{} \ cdot {}} \ cdot {{x ^ ^ {3}} = {{\ linke (2x \ rechts)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y} ^ {{3}} = {{{3}} = {{} \ cdot {{y} ^ {3}} = {{\ Left (3Y \ RECHTS)} ^ {3}} \]

Lassen Sie uns alle unseren rationalen Ausdruck mit diesen Fakten umschreiben:

\ [\ Frac {{{\ linke (2x \ rechts)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3Y + {{\ Left (3Y \ Right)} ^ {2}}} {2x-3Y} \ cdot \ Frac {{{\ Links (3Y \ RECHTS)} ^ {2}} ^ {{\ Left (2x \ Right)} ^ {2}}} {{{\ linke (2x \ rechts)} ^ {3}} + {\ \ Left (3Y \ RECHTS)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {{\ linke (2x \ rechts)} ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ Left (3Y \ Right)} ^ {2}}} {2x-3Y} \ cdot \ Frac {\ Left (3Y-2X \ RECHTS) \ Left (3Y + 2X \ RECHTS)} {\ Left (2x + 3Y \ RECHTS) \ Left ({{\ Left (2x \ Right) ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ Left (3Y \ RECHTS)} ^ {2}}} ^ {2}} \ rechts)} = - 1 \]

Antwort: $ -1 $.

Task Nummer 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ CDOT \ FRAC {8 - {{{x} ^ {3}}} {4 {{{x} ^ {2}} - 1} \]

Betrachten wir alle Fraktionen.

Zuerst:

\ [3-6x = 3 \ links (1-2x \ rechts) \]

\ [2 {{{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ links ({{{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2 {{2} ^ {2}} \ rechts) \]

Zweite:

\ [{{{X} ^ {2}} + 4-4x = {{{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{{x} ^ {2}} - 2 \ cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{\ linke (x-2 \ rechts)} ^ {2}} \]

Dritte:

\ [8 - {{{x} ^ {{{{{{{}} = {{{}} = {{{2} ^ {3}} ^ {{{{{{{{{{{} ^ {3}} = \ Left (2-× \ rechts) \ links ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} ^ {2}} \ RECHTS) \]

\ [4 {{{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ cdot {{{x} ^ {2}} ^ {{{1} ^ {2}} = {\ linke (2x \ rechts)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ linke (2x-1 \ rechts) \ links (2x + 1 \ rechts) \]

Wir schreiben das gesamte Design um, unter Berücksichtigung von Änderungen:

\ [\ Frac {3 \ Left (1-2x \ rechts)} {2 \ Left ({{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ rechts)} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{\ linke (x-2 \ rechts)} ^ {2}} ^ ^ {2}}} \ cdot \ frac {linke (2-x \ rechts) \ links ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} ^ ^ {2}}}} {\ linke (2x-1 \ rechts) \ links (2x + 1 \ rechts)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ links (-1 \ rechts)} {2 \ cdot \ linke (x-2 \ rechts) \ cdot \ linke (-1 \ rechts)} = \ frac {3} {2 \ links (x-2 \ rechts)} \]

Antwort: $ \ frac {3} {2 \ Links (X-2 \ Right)} $.

Nuancenlösungen

Also, was wir gerade gelernt haben:

  • Nicht jedes quadratische Triple nimmt insbesondere auf Multiplikatoren ab, dies bezieht sich auf ein unvollständiges Quadrat der Menge oder des Unterschieds, die sehr oft als Teil der Würfel des Betrags oder der Unterschied gefunden werden.
  • Konstanten, d. H. Konventionelle Zahlen, die keine Variablen mit ihnen haben, können auch als aktive Elemente im Zersetzungsprozess dienen. Zunächst können sie aus Klammern herausgenommen werden, zweitens können die Konstanten selbst in Form von Grad dargestellt werden.
  • Sehr oft entstehen nach der Zersetzung aller Elemente auf Multiplikatoren entgegengesetzte Strukturen. Die Reduzierung dieser Fraktionen muss extrem ordentlich sein, denn mit von Übertakten von oben, oder es gibt einen zusätzlichen Multiplizierer-$ -1 $ - dies ist die Folge dessen, was sie gegenüberliegen.

Lösung komplexer Aufgaben

\ [\ Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{b} ^ {3}} ^ {{{{b}} {{{{{b}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{B} ^ {2}}} {{{{b} ^ {2}} + 4b + 4} \]

Betrachten Sie jeden Begriff separat.

Erste Fraktion:

\ [27 {{a} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} \ cdot {{a} ^ {3}} = {{\ left (3a \ right)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{B} ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} \ cdot {{b} ^ {3}} = {{\ links ({{2} ^ {2}} \ Right)} ^ {3}} \ cdot {{b} {{3}} = {{}} = {{\ links ({{2} ^ {2}} \ cDOT B \ RIGHT) } ^ {3}} = {{\ links (4B \ RIGHT)} ^ {3}} \]

\ [{{\ Left (3a \ right)} ^ {3}} - {{\ left (4b \ right)} ^ {3}} = \ left (3A-4B \ RIGHT) \ left ({{\ left (3A \ Right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4b \ right)} ^ {2}} \ Right) \]

\ [{{B} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ left (b-2 \ rechts) \ links (B + 2 \ Right) \]

Zweite:

\ [9 {{a} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{a} ^ {2}} = {{\ left (3a \ right)} ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {} \ cdot {{b} {{2}} = {{\ left (4b \ right)} ^ {2}} \]

\ [12ab = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Der gesamte Zähler der zweiten Fraktion kann wie folgt neu schreiben können:

\ [{{\ Left (3a \ right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4b \ right)} ^ {2}} \]

Nun lasst uns den Nenner zu buchen:

\ [{{B} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 \ cdot 2b + {{2} ^ {2}} = {{\ links (b + 2 \ rechts)} ^ {2}} \]

Lassen Sie uns einen rationalen Ausdruck umschreiben, unter Berücksichtigung der oben genannten Fakten:

\ [\ FRAC {\ links) \ links ({{\ left (3a \ right)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4b \ right)} ^ {2}} \ Right) } {\ Left (B-2 \ Right) \ Left (B + 2 \ RIGHT)} \ CDOT \ FRAC {{{\ left (B + 2 \ RIGHT)} ^ {2}}} {{{\ left ( 3a \ rechts)} ^ {2}} + 3a \ cdot 4b + {{\ left (4b \ right)} ^ 2 {}}} = \]

\ [= \ Frac {\ links) \ links (b + 2 \ rechts)} {\ left (B-2 \ Right)} \]

Antwort: $ \ frac {\ Left (3A-4B \ rechts) \ Left (B + 2 \ RIGHT)} {\ left (B-2 \ rechts)} $.

Nuancenlösungen

Wie wir noch einmal, unvollständige Quadrate der Menge oder unvollständiger Quadrate der Differenz überzeugt, die oft in Echt rationaler Ausdrücke gefunden werden, aber nicht vor ihnen fürchten, denn nach jedem Elemente konvertieren, werden sie fast immer reduziert. Darüber hinaus sollte keine Angst davor in keinem Fall von großen Design in der gesamten Antwort - es ist durchaus möglich, dass dies nicht Ihr Fehler ist (vor allem, wenn alles für Multiplikatoren angelegt), und dieser Autor so konzipiert, eine Antwort.

Abschließend möchte Ich mag ein anderes komplexes Beispiel zerlegen, die nicht mehr direkt an rationalen Fraktionen gehört, aber es enthält alles, was es für Sie in dieser Kontrolle und Prüfungen wartet, nämlich: Zersetzung von Multiplikatoren, auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, einen Reduktion in solchen Begriffen. Das ist genau das, was wir jetzt gehen.

eine schwierige Aufgabe für die Vereinfachung und die Umwandlung von rationalen Ausdrücke zu lösen

\ [\ Left (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ FRAC {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x} ^ {3} }} -8 - FRAC \ {1} {x-2} \ Right) \ Cdot \ Left (\ FRAC {{{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ FRAC {2} {2-x} \ right) \]

Zunächst betrachten und die erste Klammer zeigen: wir drei getrennte Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern sehen so das erste, was wir tun müssen, ist es, alle drei Fraktionen auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, und dafür, jeder von ihnen sollte auf Multiplikatoren zerlegt werden:

\ [{{X} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ cdot x + {{2} ^ {2}} \]

\ [{{X} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ links (x-2 \ right) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Right) \]

Wir schreiben unser gesamtes Design wie folgt:

\ [\ FRAC {x} {{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ FRAC {{{x} ^ {2}} + 8} {\ links ( x -2 \ RIGHT) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Right)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ links (x-2 \ rechts) + {{x} ^ {3}} + 8- \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} \ Right)} {\ links (x-2 \ right) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Right)} = \]

\ [= \ Frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ left (x- 2 \ Right) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ Right)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4 - fach-4} {\ LEFT (x-2 \ RIGHT) \ left ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ Right)} = \]

\ [= \ Frac {{\ links (x-2 \ right)} ^ {2}}} {\ links (x-2 \ right) \ links ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ {2}} \ Right)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Dies ist das Ergebnis von Berechnungen von der ersten Halterung.

Wir verstehen mit der zweiten Halterung:

\ [{{{x} ^ {2}} - 4 = {{{x} ^ {2} ^ ^ {{2} ^ {2}} = \ linke (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ RECHTS) \]

Wir schreiben die zweite Halterung mit den Änderungen neu:

\ [\ Frac {{{{{x} ^ {2}} ^ {\ linke (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ rechts)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ links (x + 2 \ rechts)} {\ linke (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ rechts)} = \ frac {{{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ Left (x-2 \ rechts) \ links (x + 2 \ rechts)} \]

Schreiben Sie jetzt das gesamte Quelldesign:

\ [\ Frac {x-2} {{{{{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}} ^ {2}} + 2x + 4} {\ linke (x-2) \ Rechts) \ links (x + 2 \ rechts)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Antwort: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Nuancenlösungen

Wie Sie sehen, erwies sich die Antwort recht gesund. HINWEIS: Sehr häufig mit solchen großen Berechnungen, wenn die einzige Variable nur im Nenner ist, vergessen die Schüler, dass dies der Nenner ist, und er hätte den Fraktion bei der Tatenzeiten aufstellen und diesen Ausdruck in einen Zähler schreiben können - dies ist ein grober Fehler.

Darüber hinaus möchte ich Ihre besondere Aufmerksamkeit darauf lenken, wie solche Aufgaben gemacht werden. In allen komplexen Berechnungen werden alle Schritte bei Aktionen ausgeführt: Erstens betrachten wir es separat, dann kombinieren wir separat und kombinieren nur am Ende alle Teile und berücksichtigen das Ergebnis. So versichern wir sich von dummen Fehlern, schreib sorgfältig alle Berechnungen auf und verbringen gleichzeitig keine zusätzliche Zeit, da er auf den ersten Blick erscheinen mag.

Zu neuen Treffen!

Siehe auch:

  1. Wie kann man in rationalen Fraktionen ohne Fehler eine Verringerung vornehmen? Ein einfacher Algorithmus im Beispiel von fünf verschiedenen Aufgaben.
  2. Fraktionale rationale Ausdrücke.
  3. Wie passte ich die Prüfung in Mathematik?
  4. Trial EGE 2012. Option 12 (ohne Logarithmen)
  5. Intervallmethode: Der Fall von unglaublichen Ungleichungen
  6. Test auf Probleme B14: Easy Level, 1 Option

Bemerkungen Lehrer

Lektion: Transformation rationaler Ausdrücke

Erinnerung an die erste Bestimmung des rationalen Ausdrucks.

Definition. Rational Ausdruck - algebraischer Ausdruck, der keine Wurzeln enthält und nur die Handlungen der Zugabe, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung (Erektion) umfasst.

Unter dem Konzept von "Umwandeln eines rationalen Ausdrucks" meinen wir vor allem seine Vereinfachung. Und dies wird in dem von uns bekannten Verfahren durchgeführt: Erste Aktionen in Klammern, dann Arbeit von Zahlen (Ersten in den Grad), Division von Zahlen und dann Ergänzungen / Subtraktion.

Der Hauptzweck der heutigen Lektion ist der Erwerb von Erfahrungen, um komplexere Aufgaben zur Vereinfachung der rationalen Ausdrücke zu lösen.

Beispiel 1. Vereinfachen den rationalen Ausdruck .

Entscheidung. Zunächst kann es sein, dass die angegebenen Fraktionen reduziert werden können, da die Ausdrücke in den Fraktionen den Formeln der vollen Quadrate der entsprechenden Nenner sehr ähnlich sind. In diesem Fall ist es wichtig, nicht zu eilen, aber separat überprüfen, ob es ist.

Überprüfen Sie den Zähler der ersten Fraktion: . Nun ist der Zähler der zweite: .

Wie ersichtlich ist, waren unsere Erwartungen nicht gerechtfertigt, und die Ausdrücke in den Zähler sind keine vollständigen Quadrate, da sie keine Verdoppelung der Arbeit haben. Solche Ausdrücke, wenn wir uns an die Grad 7 erinnern, werden unvollständige Quadrate bezeichnet. In solchen Fällen sollte es sehr aufmerksam sein, da die Verwirrung einer vollständigen quadratischen Formel mit unvollständigem ein sehr gängiger Fehler ist, und solche Beispiele überprüfen die Aufmerksamkeit des Schülers.

Da die Reduktion nicht möglich ist, führen wir die Hinzufügung von Fraktionen aus. Die Nenner haben keine gemeinsamen Faktoren, so dass sie sich einfach ändern, um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu erhalten, und ein zusätzlicher Faktor für jeden Fraktion ist der Nenner einer anderen Fraktion.

 

Natürlich können Sie Klammern aufdecken und dann ähnliche Begriffe bringen, in diesem Fall können Sie jedoch die folgende Festigkeit durchführen, und stellen Sie an, dass in dem Zähler der erste Begriff die Formel der Würfelsumme ist, und der zweite ist der Differenz der Würfel . Lassen Sie uns diese Formeln in der allgemeinen Formular erinnern:

 и .

In unserem Fall wird der Ausdruck im Zähler wie folgt zusammengebrochen:

Der zweite Ausdruck ist ähnlich. Wir haben:

.

Antworten. .

Beispiel 2. Vereinfachen den rationalen Ausdruck .

Entscheidung. Dieses Beispiel ist dem vorherigen ähnlich, aber hier ist es sofort zu sehen, dass sich unvollständige Quadrate in den Fellen befinden, daher ist die Reduktion des anfänglichen Lösungsstadiums unmöglich. Ähnlich wie beim vorherigen Beispiel falten wir Fraktionen:

Hier ähneln wir dem oben angegebenen Verfahren, bemerkte und gekräuselte Ausdrücke durch die Formeln des Betrags und der Unterschied der Würfel.

Antworten. .

Beispiel 3. Vereinfachen den rationalen Ausdruck .

Entscheidung. Es kann darauf hingewiesen werden, dass der zweite Fraktion Nenner auf den Faktoren von der Formel der Würfel zersetzt wird. Wie wir bereits wissen, ist die Zersetzung von Nenner auf Faktoren nützlich, um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu suchen.

.

Wir zeigen den kleinsten Gesamtnetzwerk der Fraktionen an, es ist gleich: , da es in einen Nenner der dritten Fraktion unterteilt ist und der erste Ausdruck im Allgemeinen das Ganze ist, und jeder Nenner ist dafür geeignet. Anzeigen der offensichtlichen zusätzlichen Fehler, schreiben Sie:

.

Antworten.

Betrachten Sie ein komplexeres Beispiel mit "mehrstöckigen" Fraktionen.

Beispiel 4. Identität nachweisen Mit allen zulässigen Werten der Variablen.

Nachweisen. Um die angegebene Identität nachzuweisen, werden wir versuchen, den linken Teil (kompliziert) an die von uns geforderten einfachen Arten zu vereinfachen. Führen Sie dazu alle Schritte mit Fraktionen im Zähler und dem Nenner aus und teilen Sie den Fraktion auf und vereinfachen Sie das Ergebnis.

. Erwies sich für alle gültigen Werte der Variablen.

Bewiesen.

Abstrakte Quelle: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmetichekie-beraci-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-rationalnyh-vyrazheniy?konspektor-vyrazheniy?konspektor-vyrazheniy?konspektor-vyrazheniy?konspektor_Id=13.

Videoquelle: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Die Eigenschaften von Zugabe, Subtraktion, Multiplikation und Division sind nützlich, damit Sie Summen umwandeln können, und arbeitet in praktischen Ausdrücke zum Rechenaufwand. Erfahren Sie, wie Sie diese Eigenschaften verwenden Vereinfachungen vereinfachen .

Berechnen Sie den Betrag:

52 + 287 + 48 + 13 =

In diesem Ausdruck gibt es Zahlen, wenn die "runden" Zahlen zusätzlich sind. Wenn Sie dies bemerken, ist es einfach, mündlich zu berechnen. Wir verwenden die Neubewertung des Fortschritts.

Vereinfachen Sie den Betrag der Bewegung

Um die Berechnung von Werken zu vereinfachen, können Sie den Bewegungsakt der Multiplikation verwenden.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Die kombinierten und beweglichen Eigenschaften werden verwendet und Vereinfachen Sie die Buchstabenausdrücke .

  • 6 · a · 2 = 6 · 2 · a = 12a
  • 2 · a · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8AB
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · y = 2Y

Das Vertriebsgesetz der Multiplikation wird häufig zur Vereinfachung der Berechnungen verwendet.

Vertriebsgesetz Multiplikation.Vertriebsgesetz Multiplikation relativ zur Subtraktion

Anwendung der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Zugabe oder der Subtraktion zum Ausdruck " (A + b) · c und (a - b) · c "Wir bekommen einen Ausdruck, der keine Klammern enthält.

In diesem Fall sagen sie, dass wir offenbarte (abgesenkte) Klammern . Eigenschaften verwenden, spielt keine Rolle, wo der Multiplizierer aufgenommen wird " c"- vor Klammern oder danach.

Klammern in Ausdrücke erinnern.

  • 2 (t + 8) = 2T + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Merken! Schnitte

Wenn der Buchstabe nicht in dem Fall aufgezeichnet wird, wird verstanden, dass es einen numerischen Faktor vor dem Buchstaben gibt 1.

Multiplizierer für Klammern.

Wir ändern den rechten und linken Teil der Gleichheit:

(A + B) C = AC + BC

Wir bekommen:

AC + BC = (A + B) mit

In solchen Fällen sagen sie das von " AC + BC. » Ein gewöhnlicher Multiplikator wurde gemacht «с"Für Klammern.

Beispiele für einen allgemeinen Faktor für Klammern.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

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