Forenkling af udtryk

Forenkling af udtryk

En af de mest almindelige opgaver i algebra lyder som denne: "Forenkle udtrykket". Dette kan gøres ved hjælp af en af ​​følgende teknikker, men oftest skal du kombinere dem.

Bringe lignende vilkår.

Dette er den nemmeste modtagelser. Lignende De kaldes de vilkår, der har den samme alfabetiske del. For eksempel, såsom udtryk 5 аog -6 а; -3. Hu. og 3. Wow. ; 2 og 10. SO. Du kan kun folde de tilsvarende komponenter; Hvis den bogstavelige del af komponenterne er anderledes, er sådanne komponenter allerede umulige. Enig, hvis vi i mit liv vil tilføje æbler med negle, så vil vi have en slags spil) i matematik på samme måde.

For eksempel forenkler et sådant udtryk:

Lignende vilkår, jeg vil tildele forskellige farver og beregne. Forresten refererer tegnet før udtrykket til dette udtryk.

Som du ser, er der ikke længere end de samme alfabondele. Udtrykket forenkles.

Multiplikation af enkeltfløj og polynomier.

Jeg vil ikke argumentere - du kan formere tallene. Og hvis bogstaver, grader, beslag til dem?

Monomial. - Dette er et udtryk bestående af et produkt af tal, bogstaver, grader, og det skal nødvendigvis være okay. Overraskende er kun nummer 5 også uberørt, såvel som en ensomme variabel х.

Ved multiplikation af enkeltpaneler bruger reglerne for multiplikation af grader.

Flyt tre unoblays:

Forskellige farver tildele, hvad jeg vil formere sig.

Polynomialt - Dette er summen af ​​one-wing.

At multiplicere udtrykket på polynomerne bag beslagene for at formere sig til hver person i parentes. Detaljer i det følgende eksempel.

Det er fortsat at huske multiplikationen af ​​polynomet til polynomet. Med dette er det nødvendigt at multiplicere hver brønd i de første parenteser til hver person i de første parentes, resultaterne foldes eller trækker sig afhængigt af tegn på vilkårene.

Gøre en fælles faktor for parenteser.

Vi vil forstå eksemplet.

Dette udtryk gives:

Hvad er fælles for disse to vilkår? Det er rigtigt, der er en multiplikator i dem begge. x. Han vil være en generel faktor, der skal tages ud.

Tag et andet eksempel.

Begge tal i komponenterne er opdelt i 2, så tallet 2 er en fælles faktor. Men stadig i disse homoraler er der samme bogstav men - En i første grad, den anden - i den anden. Vi tager det i mindre grad, dvs. I det første vil det være den anden fælles faktor. Generelt viser det en sådan post:

Nå, lad os det tredje eksempel kun uden kommentar.

Du kan kontrollere rigtigheden af ​​den generelle faktor for parentes ved at oplyse parenteser (multiplikation).

Nedbrydning af polynomier på multiplikatorerne i grupperingsmetoden.

Hvis du har brug for at nedbryde en polynom til multiplikatorer, vil grupperingsmetoden være nyttig for dig.

Det er kun muligt at gruppere udtryk ved at foretage generelle faktorer pr. Beslag. Men det er nødvendigt at gøre det, så parenteserne i sidste ende vil fungere det samme. Hvorfor? Ja, så for at lave disse parentes til andre parenteser.

Eksemplet vil være klarere)

Jeg tager et eksempel den enkleste, ren til at forstå, hvad der skal gøres.

I de to første vilkår er den fælles faktor variablen а: Vi bærer det ud for beslaget. I de to andre termer er den samlede faktor nummer 6. Det udføres også for parenteser.

Har du set to identiske parenteser? Nu er de en fælles faktor. Vi udholder dem bag beslaget og får et sødt produkt af to parenteser:

Nedbrydning af pladsen er tre beslutninger om multiplikatorer.

Lad pladsen tre-shreddance:

For at nedbryde det på multiplikatorer er det nødvendigt at løse den firkantede ligning

Næste rødder ligning х1 и х2Erstatte følgende formel:

Vi forsøger.

Tag denne tre uaktuelle:

Find rødderne af den firkantede ligning.

Vi erstatter dem i formlen for nedbrydning af kvadratet tre nedbrydning af multiplikatorer:

Noget for mange minusser i den anden beslag. Konverter det lidt:

Nu vidunderligt)

Kan du stadig komme til nytte:

- evne til at arbejde med almindelige fraktioner

- evne til at skære fraktionen

- Kendskab til formlerne af forkortet multiplikation.

Men sådanne opgaver kan møde dig på eksamen.

1) Forenkle:

Løsningen her.

2) Find værdien af ​​udtrykket ved bestemte værdier af variablerne:

Løsningen her.

3) Find værdien af ​​udtrykket på bestemte værdier af variablerne:

Løsningen her.

Der er mange lignende opgaver - de passer ikke til dem alle)

Har spørgsmål? Skriv til mig!

Din personlige lærer.

Kompetent omdannelse af rationelle udtryk

Rationelle udtryk og fraktioner er hjørnestenen i hele algebraets forløb. Dem, der lærer at arbejde med sådanne udtryk, forenkle dem og lægge ud på multiplikatorer, kan de faktisk løse enhver opgave, da transformationen af ​​udtryk er en integreret del af enhver alvorlig ligning, ulighed og endog en tekstopgave.

I denne video vil vi se, hvordan vi kompetent anvender formlerne af den forkortede multiplikation for at forenkle rationelle udtryk og fraktioner. Lær at se disse formler, hvor der ved første øjekast ikke er noget. Samtidig gentager vi en sådan simpel modtagelse, som nedbrydning af kvadratet tredobbelt til multiplikatorer gennem diskriminanten.

Som du sandsynligvis gættede formlerne til min ryg, vil vi i dag studere formlerne af forkortet multiplikation, og mere præcist ikke formlerne selv, men deres brug til at forenkle og reducere komplekse rationelle udtryk. Men før du skifter til løsning eksempler, lad os komme tættere på disse formler eller huske dem:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{B} ^ {2}} = \ Venstre (A-B \ Højre) \ Venstre (A + B \ Højre) $ - Forskellen mellem firkanter;
  2. $ {{\ venstre (a + b \ højre)} ^ {2}} = {{a}} = {{a} ^ {2}} + 2AB + {{B} ^ {2}} $ - Summen af mængden
  3. $ {{\ venstre (a-b \ højre)} ^ {2}} = {{a}} {2}} - 2AB + {{B} ^ {2}} $ - The Square of the Difference;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = \ venstre (a + b \ højre) \ venstre ({{a} ^ {2}} - ab + {{b} ^ 2}} \ højre) $ - mængden af ​​kuber;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = \ venstre (ab \ højre) \ venstre ({{a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} \ Højre) $ - forskellen mellem terninger.

Jeg vil også gerne bemærke, at vores skole system for uddannelse er arrangeret på en sådan måde, at det er med undersøgelsen af ​​dette emne, dvs. De rationelle udtryk, såvel som rødderne, opstår de moduler for alle elever det samme problem, som jeg vil forklare nu.

Faktum er, at i begyndelsen af ​​at studere formlerne af forkortet multiplikation og dermed handlinger for at reducere fraktioner (dette er et sted klasse 8), siger lærerne noget som følger: "Hvis noget er uklart, så rydder du ikke, vi er Dette emne vil stadig være tilbage gentagne gange, i gymnasiet så præcist. Vi vil analysere det. " Nå, da ved siden af ​​9-10. klasse forklarer de samme lærere de samme elever, der ikke ved, hvordan man løser rationelle fraktioner, om følgende: "Hvor har du været de foregående to år? Det blev studeret på algebra i lønklasse 8! Hvad kan være uforståeligt her? Det er så indlysende! "

De sædvanlige disciple fra sådanne forklaringer er imidlertid slet ikke lettere: de har både grød og forblev, så nu vil vi analysere to enkle eksempler på grundlag af hvilket og lad os se, hvordan i virkelige opgaver for at allokere disse udtryk, der vil Leder os til formlerne af forkortet multiplikation og hvordan man anvender dette for at konvertere komplekse rationelle udtryk.

Reducere enkle rationelle fraktioner

Opgave nummer 1.

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {9 {{} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \]

Det første, vi har brug for at lære, er at allokere nøjagtige pladser i de indledende udtryk og højere grader, på grundlag af hvilket vi derefter kan anvende formler. Lad os kigge:

\ [9 {{y} ^ {4}} = {{3}} = {} \ cdot {{{} ^ {4}} = {{3}} {2}} \ cdot {{\ venstre ({ {y} ^ {2}} \ højre)} ^ {2}} = {{\ venstre (3 {y} ^ {2}} \ højre)} ^ {2}} \]

\ [16 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ venstre ({{2} ^ {2}} \ højre)} ^ {2}} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ venstre ({{2} ^ {2}} \ cdot x \ højre)} ^ {2} } = {{\ venstre (4 {{x} ^ {2}} \ højre)} ^ {2}} \]

Lad os omskrive vores udtryk under hensyntagen til disse fakta:

\ [\ Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{{\ venstre (3 {y} ^ {2} \ højre)} ^ {2}} - {{\ venstre (4x \ højre )} ^ {2}}} = \ frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {\ venstre (3 {{y} ^ {2}} - 4x \ højre) \ venstre (3 {{{{{{{ y} ^ {2}} + 4x \ højre)} = \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \]

Svar: $ \ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Opgave nummer 2.

Gå til den anden opgave:

\ [\ Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \]

Der er ikke noget at forenkle her, fordi der er en konstant i tælleren, men jeg foreslog denne opgave for at blive lært at sætte polynomier indeholdende to variabler på multiplikatorer. Hvis det i stedet blev skrevet under polynomialet, hvordan ville vi dekomponere det?

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = \ venstre (x -... \ højre) \ venstre (x -... \ højre) \]

Lad os løse ligningen og finde $ x $, som vi kan sætte i stedet for punkter:

\ [{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \]

\ [D = 25-4 \ cdot \ venstre (-6 \ højre) = 25 + 24 = 49 \]

\ [\ sqrt {d} = 7 \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5 + 7} {2} = \ frac {2} {2} = 1 \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5-7} {2} = \ frac {-12} {2} = - 6 \]

Vi kan omskrive tre stykker som følger:

\ [{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = \ venstre (x-1 \ højre) \ venstre (x + 6 \ højre) \]

Med en firkantet tredobbelt, lærte vi at arbejde - for dette, og det var nødvendigt at optage denne video-tutorial. Og hvad hvis, undtagen $ x $ og der er en anden $ y $ konstant? Lad os se på dem som endnu en elementer af koefficienterne, dvs. Lad os omskrive vores udtryk som følger:

\ [{{x} ^ {2}} + 5Y \ CDOT X-6 {{Y} ^ {2}} \]

\ [a = 1; b = 5Y; c = -6 {{y} ^ {2}} \]

\ [D = {{\ venstre (5Y \ højre)} ^ {2}} - 4 \ CDOT \ Venstre (-6 {{y} ^ {2}} \ højre) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \]

\ [\ sqrt {d} = 7y \]

\ [{{x} _ {1}} = \ frac {-5y + 7y} {2} = y \]

\ [{{x} _ {2}} = \ frac {-5y-7y} {2} = \ frac {-12y} {2} = - 6Y \]

Skriv nedbrydning af vores firkantede design:

\ [\ venstre (x-y \ højre) \ venstre (x + 6y \ højre) \]

Samlet, hvis vi vender tilbage til det oprindelige udtryk og omskrivning af det, under hensyntagen til ændringer, så får vi følgende:

\ [\ Frac {8} {\ venstre (x-y \ højre) \ venstre (x + 6y \ højre)} \]

Hvad giver denne post os? Intet, fordi det ikke skærer det, det mangler ikke og er ikke deleligt. Men så snart denne fraktion viser sig at være en integreret del af et mere komplekst udtryk, viser en sådan nedbrydning for at være forresten. Derfor, så snart du ser en firkantet tredobbelt (det ikke betyder noget, forværres det af yderligere parametre eller ej), altid forsøge at nedbryde det på multiplikatorer.

Nuances Solutions.

Husk de vigtigste regler for konvertering af rationelle udtryk:

  • Alle nævner og tal skal lægges på multiplikatorer eller gennem formlerne af forkortet multiplikation eller gennem diskriminanten.
  • Det er nødvendigt at arbejde i henhold til denne algoritme: Når vi ser ud og forsøger at fremhæve formlen for forkortet multiplikation, så først og fremmest forsøger at oversætte alt til den maksimale mulige grad. Derefter tager vi en fælles grad ud for beslaget.
  • Udtryk med parameteren vil blive fundet meget ofte: Andre variabler vil forekomme som koefficienter. Vi finder dem i overensstemmelse med den firkantede nedbrydningsformel.

Således, så snart du ser rationelle fraktioner, er den første ting at gøre, dekomponere og tælleren og nævneren til multiplikatorer (på lineære udtryk), mens vi bruger formlerne af forkortet multiplikation eller diskriminer.

Lad os se på et par sådanne rationelle udtryk og forsøge at nedbryde dem på multiplikatorer.

Løsning af mere komplekse eksempler

Opgave nummer 1.

\ [\ Frac {4 {{x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{y} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ frac {9 {{y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \]

Vi omskriver og forsøger at nedbryde hver af vilkårene:

\ 4 {{x} ^ {2}} = {{2}} = {} \ cdot {{x} ^ {2}} = {{\ venstre (2x \ højre)} ^ {2}} \]

\ [6xy = 2 \ CDOT 3 \ CDOT X \ CDOT Y = 2X \ CDOT 3Y \]

\ [9 {{y} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{{\ venstre (3y \ højre)} {{2}} \]

\ [8 {{x} ^ {3}} = {{2}} = {} \ cdot {}} \ cdot {{x} ^ {3}} = {{\ venstre (2x \ højre)} ^ { 3}} \]

\ [27 {{y} ^ {3}} = {{3}} = {} \ cdot {{} ^ {3}} = {{\ venstre (3y \ højre)} ^ {3}} \]

Lad os omskrive alle vores rationelle udtryk med disse fakta:

\ [\ ~ {{{\ Venstre (2x \ højre)} ^ {2}} - 2x \ cdot 3y + {{\ venstre (3y \ højre)} ^ {2}}} {2x-3y} \ cdot \ Frac {{{\ venstre (3y \ højre)} ^ {2}} - {{\ venstre (2x \ højre)} ^ {2}}} {{{{left (2x \ højre)} ^ {3}} + {{\ venstre (3Y \ højre)} ^ {3}}} = \]

\ [= \ Frac {\ \ venstre (2x \ højre)} ^ {2}} - 2x \ CDOT 3Y + {{\ VENSTRE (3Y \ Right)} ^ {2}}} {2X-3Y} \ CDOT \ Frac {\ Venstre (3Y-2x \ Højre) \ Venstre (3Y + 2x \ Højre)} {\ Venstre (2x + 3Y \ Højre) \ Venstre ({{\ Venstre (2x \ Højre) ^ {2}} - 2x \ Cdot 3y + {{\ venstre (3y \ højre)} ^ {2}} \ højre)} = - 1 \]

Svar: $ -1 $.

Opgave nummer 2.

\ [\ Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ CDOT \ FRIC {8 - {{X} ^ {3}}} {4 {{X} ^ {2}} - 1} \]

Lad os overveje alle fraktioner.

Først:

\ [3-6x = 3 \ venstre (1-2x \ højre) \]

\ [2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ højre) \]

Anden:

\ [{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 \ CDOT 2X + {{2} ^ {2}} = {{\ venstre (x-2 \ højre)} ^ {2}} \]

Tredje:

\ [8 - {{x} ^ {3}} = {}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = \ venstre (2-x \ højre) \ Venstre ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ højre) \]

\ [4 {{x} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} \ CDOT {{X} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = {{\ Venstre (2x \ højre)} ^ {2}} - {{1} ^ {2}} = \ venstre (2x-1 \ højre) \ venstre (2x + 1 \ højre) \]

Vi omskriver hele designet, under hensyntagen til ændringer:

\ [\ Frac {3 \ venstre (1-2x \ højre)} {2 \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ højre)} \ cdot \ frac {2x + 1} {{{\ venstre (x-2 \ højre)} ^ {2}}} \ cdot \ frac {\ venstre (2-x \ højre) \ venstre ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} \ højre)} {\ venstre (2x-1 \ højre) \ venstre (2x + 1 \ højre)} = \]

\ [= \ Frac {3 \ cdot \ venstre (-1 \ højre)} {2 \ cdot \ venstre (x-2 \ højre) \ cdot \ venstre (-1 \ højre)} = \ frac {3} {2 \ venstre (x-2 \ højre)} \]

Svar: $ \ frac {3} {2 \ venstre (x-2 \ højre)} $.

Nuances Solutions.

Så, hvad vi lige har lært:

  • Ikke alle firkantede tredobbelte falder til multiplikatorer, især det refererer til en ufuldstændig firkant af mængden eller forskellen, som ofte findes som en del af terninger af mængden eller forskellen.
  • Konstanter, dvs. Konventionelle tal, der ikke har variabler med dem, kan også fungere som aktive elementer i nedbrydningsprocessen. For det første kan de tages ud af parentes, for det andet, at konstanterne selv kan præsenteres i form af grader.
  • Meget ofte, efter nedbrydning af alle elementer på multiplikatorer, opstår der modsatte strukturer. At reducere disse fraktioner skal være yderst pæne, fordi med fra overclocking enten ovenfra, eller der er en yderligere multiplikator $ -1 $ - dette er konsekvensen af, hvad de er modsatte.

Løsning af komplekse opgaver

\ [\ Frac {27 {{a} {{3}} - 64 {{b} ^ {3}}} {{{b}} {2}} - 4}: \ frac {9 {{a} ^ {2}} + 12AB + 16 {{B} ^ {2}}} {{{B} ^ {2}} + 4B + 4} \]

Overvej hvert udtryk separat.

Første fraktion:

\ [27 {{a} ^ {3}} = {{3} ^ {3}} \ cdot {{a} ^ {3}} = {{\ venstre (3a \ højre)} ^ {3}} \ ]

\ [64 {{b} ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^}}} \ cdot {{b} ^ {3}} = {{\ venstre ({{2} ^ {2}} \ HØJRE)} ^ {3}} \ CDOT {{B} {{3}} = {{}} = {{\ venstre ({{2} ^ {2}} \ cdot b \ højre) } ^ {3}} = {{\ venstre (4b \ højre)} ^ {3}} \]

\ [{{\ venstre (3a \ højre)} ^ {3}} - {{\ venstre (4b \ højre)} ^ {3}} = \ venstre (3a-4b \ højre) \ Venstre ({\ \ Venstre (3A \ Right)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ VENSTRE (4B \ HØJRE)} ^ {2}} \ HØJRE) \]

\ [{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ Venstre (B-2 \ Højre) \ Venstre (B + 2 \ Højre) \]

Anden:

\ [9 {{a} ^ {2}} = {{3}} = {} \ cdot {{a} ^ {2}} = {{\ venstre (3a \ højre)} ^ {2}} \]

\ [16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {} \ cdot {{b} {{2}} = {{\ venstre (4b \ højre)} ^ {2}} \]

\ [12AB = 3 \ CDOT 4AB = 3A \ CDOT 4B \]

Hele tælleren i den anden fraktion, vi kan omskrive som følger:

\ [{{\ venstre (3a \ højre)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ VENSTRE (4B \ HØJRE)} ^ {2}} \]

Lad os nu se på nævneren:

\ [{{B} ^ {2}} + 4B + 4 = {{B} ^ {2}} + 2 \ CDOT 2B + {{{\ \ VENSTRE (B + 2 \ højre)} ^ {2}} \]

Lad os omskrive et helt rationelt udtryk, idet der tages hensyn til ovenstående fakta:

\ [\ Frac {\ venstre) \ venstre ({{\ venstre (3a \ højre)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ VENSTRE (4B \ HØJRE)} ^ {2}} \ HØJRE) } {\ Venstre (b-2 \ højre) \ venstre (b + 2 \ højre)} \ cdot \ frac {{{\ venstre (b + 2 \ højre)} {{{2}}} {{{\ venstre ( 3A \ Right)} ^ {2}} + 3A \ CDOT 4B + {{\ VENSTRE (4B \ HØJRE)} ^ {2}}} = \]

\ [= \ Frac {\ venstre) \ venstre (b + 2 \ højre)} {\ venstre (b-2 \ højre)} \]

Svar: $ \ frac {\ venstre (3a-4b \ højre) \ venstre (b + 2 \ højre)} {\ venstre (b-2 \ højre)} $.

Nuances Solutions.

Som vi endnu en gang overbeviste om, ufuldstændige pladser af mængden eller ufuldstændige kvadrater af forskellen, som ofte findes i reelle rationelle udtryk, men ikke være bange for dem, fordi de efter konvertering af hvert element næsten altid reduceres. Derudover bør ikke være bange for store designs i det samlede svar - det er helt muligt, at dette ikke er din fejl (især hvis alt er lagt ud for multiplikatorer), og denne forfatter udtænkt sådant svar.

Afslutningsvis vil jeg gerne demontere et andet komplekst eksempel, som ikke længere hører direkte til rationelle fraktioner, men det indeholder alt, hvad det venter på dig i disse kontrol og eksamener, nemlig: nedbrydning af multiplikatorer, der bringer til en fællesnævner, en reduktion af sådanne vilkår. Det er præcis det, vi nu vil gå.

Løsning af en vanskelig opgave for forenkling og omdannelse af rationelle udtryk

\ [\ venstre (\ frac {x} {{{x}} {2}} + 2x + 4} + \ frac {{{x} {{2}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - \ frac {1} {x-2} \ højre) \ cdot \ venstre (\ frac {{{x} ^ {2}}} {{{x} ^ {2}} - 4} - \ Frac {2} {2-x} \ højre) \]

For det første overveje og afslør den første beslag: Vi ser tre separate fraktioner med forskellige nævner, så det første, vi skal gøre, er at bringe alle tre fraktioner til en fællesnævner, og for dette bør hver af dem dekomponeres på multiplikatorer:

\ [{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 \ CDOT X + {{2} ^ {2}} \]

\ [{{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = \ venstre (x-2 \ højre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ højre) \]

Vi omskriver hele vores design som følger:

\ [\ Frac {x} {{{{x}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + \ frac {{{x} ^ {2}} + 8} {\ venstre ( x -2 \ højre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ højre)} - \ frac {1} {x-2} = \]

\ [= \ Frac {x \ venstre (x-2 \ højre) + {{x} ^ {3}} + 8- \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {{{{{{{2} ^ {{ 2}} \ HØJRE)} {\ Venstre (X-2 \ Højre) \ Venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ højre)} = \]

\ [= \ frac {{{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {\ venstre (x- 2 \ Right) \ Venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}} {2} \ højre)} = \ frac {{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ Venstre (x-2 \ højre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} \ højre)} = \]

\ [= \ Frac {{\ venstre (x-2 \ højre)} ^ {2}}} {\ venstre (x-2 \ højre) \ venstre ({{x} ^ {2}} + 2x + {{{{{}} + 2} ^ {2}} \ højre)} = \ frac {x-2} {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \]

Dette er resultatet af beregninger fra den første beslag.

Vi forstår med den anden beslag:

\ [{{x} ^ {2}} - 4 = {{x} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = \ venstre (x-2 \ højre) \ venstre (x + 2 \ RET) \]

Vi omskriver den anden beslag med ændringerne:

\ [\ Frac {{{x} ^ {2}}} {\ venstre (x-2 \ højre) \ venstre (x + 2 \ højre)} + \ frac {2} {x-2} = \ frac { {{x} ^ {2}} + 2 \ venstre (x + 2 \ højre)} {\ venstre (x-2 \ højre) \ venstre (x + 2 \ højre)} = \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ venstre (x-2 \ højre) \ venstre (x + 2 \ højre)} \]

Skriv nu hele kilde design:

\ [\ Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} \ cdot \ frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {\ venstre (x-2 \ Højre) \ Venstre (x + 2 \ Højre)} = \ frac {1} {x + 2} \]

Svar: $ \ frac {1} {x + 2} $.

Nuances Solutions.

Som du kan se, viste svaret helt sane. Men bemærk: Meget ofte, med sådanne store beregninger, når den eneste variabel kun er i nævneren, glemmer eleverne, at dette er nævneren, og han burde have stået fraktionen i det tidspunkt og skrive dette udtryk i en tæller - dette er en grov fejl.

Derudover vil jeg gerne henlede din særlige opmærksomhed på, hvordan sådanne opgaver er lavet. I eventuelle komplekse beregninger udføres alle trin på handlinger: For det første anser vi det særskilt, så kombinerer vi separat, og kun i slutningen kombinerer vi alle dele og overvejer resultatet. Således forsikrer vi sig om dumme fejl, nedbrydes omhyggeligt alle beregningerne og bruger samtidig ikke ekstra tid, da det kan virke ved første øjekast.

Til nye møder!

Se også:

  1. Hvordan reduktion i rationelle fraktioner uden fejl? En simpel algoritme på eksemplet på fem forskellige opgaver.
  2. Fraktionelle rationelle udtryk
  3. Sådan passere eksamen i matematik
  4. TRIAL EGE 2012. Mulighed 12 (uden logaritmer)
  5. Intervalmetode: Sagen om utrolige uligheder
  6. Test på problemer B14: Easy Level, 1 Option

Kommentarer. lærer

Lektie: Transformation af rationelle udtryk

Minder om først at bestemme det rationelle udtryk.

Definition. Rationel Udtryk - Algebraisk udtryk, der ikke indeholder rødder og omfatter kun handlinger af tilsætning, subtraktion, multiplikation og division (erektion).

Under begrebet "konvertering af et rationelt udtryk" mener vi først og fremmest dets forenkling. Og dette udføres i proceduren, der er kendt for os: Første handlinger i parentes, så Arbejde af tal. (Er til graden), opdeling af tal og derefter tilføjelser / subtraktion.

Hovedformålet med dagens lektion vil være erhvervelse af erfaring med at løse mere komplekse opgaver for at forenkle rationelle udtryk.

Eksempel 1. Forenkle rationel ekspression .

Afgørelse. I starten kan det forekomme, at de specificerede fraktioner kan reduceres, da udtrykkene i fraktionerne meget ligner formlerne af de fuldstændige kvadrater af de tilsvarende nominanter. I dette tilfælde er det vigtigt ikke at skynde sig, men separat kontrollere, om det er.

Kontroller tælleren for den første fraktion: . Nu er tælleren den anden: .

Som det kan ses, var vores forventninger ikke berettiget, og udtrykkene i tællere er ikke komplette kvadrater, da de ikke har nogen fordobling af arbejdet. Sådanne udtryk, hvis vi husker lønklasse 7, kaldes ufuldstændige kvadrater. Det bør være meget opmærksomme i sådanne tilfælde, da forvirringen af ​​en komplet firkantet formel med ufuldstændig er en meget almindelig fejl, og sådanne eksempler tjekker den studerendes opmærksomhed.

Da reduktionen er umulig, vil vi udføre tilføjelsen af ​​fraktioner. Nomininatorerne har ingen fælles faktorer, så de ændres simpelthen for at opnå den mindste fællesnævner, og en yderligere faktor for hver fraktion er nævneren af ​​en anden fraktion.

 

Selvfølgelig kan du afsløre parentes og derefter medbringe lignende vilkår, men i dette tilfælde kan du gøre følgende styrke og bemærke, at i numeratoren er den første periode formlen på terningen summen, og den anden er forskellen på kuber . For nemheds skyld, lad os huske disse formler i generel form:

 и .

I vores tilfælde kollapses udtrykket i tælleren som følger:

Det andet udtryk er ens. Vi har:

.

Svar. .

Eksempel 2. Forenkle rationel ekspression .

Afgørelse. Dette eksempel svarer til den forrige, men det ses straks her, at ufuldstændige kvadrater er placeret i frahanerne, derfor er reduktionen i den oprindelige fase af opløsninger umulig. Ligesom det foregående eksempel foldes vi fraktioner:

Her svarer vi til den ovenfor anførte metode, bemærkede og krøllede udtryk ved formlerne af mængden og forskellen mellem terninger.

Svar. .

Eksempel 3. Forenkle rationel ekspression .

Afgørelse. Det kan bemærkes, at den anden fraktionskonstruktion dekomponeres på faktorerne ved hjælp af kuberne. Som vi allerede ved, er dekomponeringen af ​​nævematører på faktorer nyttig til yderligere at søge efter den mindste fællesnævner.

.

Vi angiver den mindste overordnede nævner af fraktioner, den er lige: , da det er opdelt i en nævner af den tredje fraktion, og det første udtryk generelt er hele, og enhver nævner er egnet til den. Indikerer de indlysende yderligere fejl, skriv:

.

Svar.

Overvej et mere komplekst eksempel med "Multi-Storey" fraktioner.

Eksempel 4. Bevise identitet Med alle tilladte værdier af variablen.

Bevis. For at bevise den angivne identitet vil vi forsøge at forenkle sin venstre del (kompliceret) til de enkle arter, der kræves af os. For at gøre dette skal du udføre alle trin med fraktioner i tælleren og nævneren, og derefter opdele fraktionen og forenkle resultatet.

. Bevist for alle gyldige værdier af variablen.

Bevist.

Abstrakt kilde: http://interneturok.ru/en/school/valgebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-eperaci-nad-algebraicheskim-drobyami/preobrazanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13.

Video Kilde: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Egenskaberne af tilsætning, subtraktion, multiplikation og division er nyttige, idet det giver dig mulighed for at omdanne summen og virker i bekvemme udtryk for computing. Lær, hvordan du bruger disse egenskaber Forenkle udtryk .

Beregn mængden:

52 + 287 + 48 + 13 =

I dette udtryk er der tal, når "runde" talene er tilføjelse. At bemærke dette er det nemt at beregne oralt. Vi bruger revurderingen af ​​fremskridtene.

Forenkle mængden af ​​bevægelsen

Også for at forenkle beregningen af ​​værker, kan du bruge bevægelseshandlingen af ​​multiplikation.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

De kombinative og bevægelige egenskaber anvendes og Forenkle bogstavudtryk .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · a = 12a
  • 2 · A · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8ab
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14Y - 12Y = (14 - 12) · Y = 2Y

Fordelingsloven for multiplikation bruges ofte til at forenkle beregninger.

Distributionslov multiplikationDistributionslov Multiplikation i forhold til subtraktion

Anvendelse af fordelingsegenskaben for multiplikation i forhold til tilsætningen eller subtraktionen til udtrykket " (A + B) · C og (A - B) · C "Vi får et udtryk, der ikke indeholder parenteser.

I dette tilfælde siger de, at vi afsløret (sænket) parenteser . At bruge egenskaber betyder ikke noget, hvor multiplikatoren er optaget " c"- foran parentes eller efter.

Tilbagekald parentes i udtryk.

  • 2 (t + 8) = 2t + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Husk! !

Hvis brevet ikke er registreret i sagen, forstås det, at der er en numerisk faktor foran brevet 1.

Multiplikator til parenteser

Vi ændrer højre og venstre del af ligestilling:

(A + B) C = AC + BC

Vi får:

AC + BC = (A + B) med

I sådanne tilfælde siger de det fra " AC + BC. » Fælles multiplikator er blevet lavet «с"Til parenteser.

Eksempler på en generel faktor for parenteser.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - x - 6 = (7 - 1) x - 6 = 6x - 6 = 6 (x - 1)

Добавить комментарий