Zjednodušení výrazů

Zjednodušení výrazů

Jeden z nejčastějších úkolů v Algebře zní takto: "Zjednodušit výraz". To lze provést pomocí jedné z následujících technik, ale nejčastěji budete muset kombinovat.

Podobné pojmy.

To je nejjednodušší recepce. Podobný Nazývají se termíny, které mají stejnou abecední část. Například, jako jsou výrazy 5 аa -6. а; -3. Hu. a 3. Wow ; 2 a 10. SO. Podobné komponenty můžete pouze skládat; Pokud je doslovná část složek jiná, pak tyto komponenty již nejsou nemožné. Souhlasím, pokud v mém životě přidáme jablka s nehty, pak budeme mít nějakou hru) v matematice stejným způsobem.

Například zjednodušuje takový výraz:

Podobné podmínky budu přidělit různé barvy a vypočítat. Mimochodem, znamení před tímto výrazem odkazuje na tento termín.

Jak vidíte, neexistují déle než stejné abecabone části. Výraz je zjednodušen.

Násobení jednovinových a polynomů.

Nebudu se hádat - můžete násobí násobit. A pokud dopisy, stupně, závorky přidávají k nim?

Monomiální - Jedná se o výraz sestávající z produktu čísel, písmen, stupních a musí být nutně v pořádku. Překvapivě, jen číslo 5 je také opuštěno, stejně jako osamocená proměnná х.

Po násobení jednotlivých panelů použijte pravidla násobení stupňů.

Přesuňte tři Unlobe:

Různé barvy přidělují to, co se vynásobím.

Polynomiální - Toto je součet jednoho křídla.

Vynásobte výraz na polynomy za závorkami, aby se množit pro každou osobu v závorkách. Podrobnosti v následujícím příkladu.

Zbývá si vzpomenout na násobení polynomu k polynomu. S tím je nutné znásobit každou dobře v prvních závorkách každému člověku v prvních závorkách, výsledky složit nebo odečíst v závislosti na známkách termínů.

Společný faktor pro závorky.

Příklad pochopíme.

Tento výraz je uveden:

Co je běžné pro tyto dva termíny? To je správné, v obou z nich je násobitel. x. Bude obecný faktor, který je třeba vyjmout.

Další příklad.

Obě čísla ve složkách jsou rozděleny do 2, pak číslo 2 je společným faktorem. Ale stále v těchto homorálech je stejný dopis ale - Jeden v prvním stupni, druhý - ve druhé. Vezmeme to v menší míře, tj. V prvním případě bude druhý společný faktor. Obecně se takový záznam vypne:

No, pojďme třetí příklad, pouze bez komentáře.

Můžete zkontrolovat správnost obecného faktoru pro závorky zveřejněním závorek (násobení).

Rozklad polynomů na multiplikáti metody seskupení.

Pokud potřebujete rozložit polynomu pro násobitele, bude metoda seskupení užitečná pro vás.

Je možné skupinové výrazy pouze tím, že obecné faktory na držák. Ale je nutné jej učinit tak, aby závorky nakonec fungovaly stejně. Co? Ano, pak, pak tyto závorky pro ostatní závorky.

Příklad bude jasnější)

Vezmu si příklad nejjednodušší, čistý, abych pochopil, co by mělo být provedeno.

V prvních dvou termínech je společný faktor proměnnou а: Provádíme to pro držák. Ve druhém dvoujímných podmínkách je celkový faktor číslo 6. Je také prováděn pro závorky.

Viděli jste dvě identické závorky? Teď jsou společným faktorem. Sdržíme je za držákem a získáme roztomilý produkt dvou závorek:

Rozklad náměstí je tři rozhodnutí o násobiteli.

Nechte čtvercový tříhranný:

Chcete-li to rozložit na multiplikátoři, je nutné vyřešit čtvercovou rovnici

Další kořeny rovnice х1 и х2Nahraďte následujícímu vzorci:

Snažíme se.

Vezměte si tento tři stale:

Najděte kořeny čtvercové rovnice.

Nahradíme je ve vzorci pro rozklad náměstí tři rozklady multiplikátorů:

Něco příliš mnoho minusů ve druhém držáku. Mírně převést:

Nyní nádherné)

Můžete stále v ruce:

- Schopnost pracovat s běžnými frakcemi;

- schopnost snížit frakci;

- Znalost vzorců zkrácených násobení.

Ale takové úkoly se s vámi mohou setkat na zkoušce.

1) Zjednodušte:

Řešení zde.

2) Najít hodnotu výrazu na určených hodnotách proměnných:

Řešení zde.

3) Najděte hodnotu výrazu na určených hodnot proměnných:

Řešení zde.

Existuje mnoho podobných úkolů - nebudou jim vejdou)

Máte otázky? Napište mi!

Váš osobní učitel.

Kompetentní transformace racionálních výrazů

Racionální výrazy a frakce jsou základním kamenem celého kurzu algebry. Ti, kteří se naučí pracovat s takovými výrazy, zjednodušují je a stanoví na násobiteli, ve skutečnosti mohou vyřešit jakýkoliv úkol, protože transformace výrazů je nedílnou součástí jakékoli závažné rovnice, nerovnosti a dokonce i textového úkolu.

V tomto videu uvidíme, jak kompetentně aplikovat vzorce zkrácených násobení pro zjednodušení racionálních výrazů a zlomků. Naučte se vidět tyto vzorce, kde na první pohled není nic. Zároveň opakujeme takovou jednoduchou recepci, jako rozklad čtverečního čtverečního trojnásobku k multiplikátorům prostřednictvím diskriminace.

Jak jste pravděpodobně hádali vzorce pro záda, dnes budeme studovat vzorce zkrácených násobení, a přesněji, ne samotné vzorce, ale jejich použití pro zjednodušení a snížení komplexních racionálních výrazů. Ale před přechodem na řešení příkladů, pojďme se blíže k těmto vzorám nebo je zapamatovat:

  1. $ {{a} ^ {2}} - {{b} ^ {2}} = vlevo (A-B vpravo) vlevo (A + B vpravo) $ - rozdíl čtverců;
  2. $ {{Left (A + B vpravo)} ^ ^}} = {}}} = {{}} = {}}} {2}} + 2ab + {{b} ^ {2}} $ - součet částky;
  3. $ {{vlevo (a-b vpravo)} ^ {2}} = {}}} {2}} - 2AB + {{b} ^ {2}} $ - čtverectví rozdílu;
  4. $ {{a} ^ {3}} + {{b} ^ {3}} = vlevo (a + b je vpravo) vlevo ({{a} ^ {2}}} - ab + {{{b} ^ 2}} vpravo) $ - množství kostek;
  5. $ {{a} ^ {3}} - {{b} ^ {3}} = vlevo (ab vpravo) vlevo ({{A} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2 }} Vpravo) $ - rozdíl kostek.

Chtěl bych také poznamenat, že náš školní systém vzdělávání je uspořádán takovým způsobem, že je to se studiem tohoto tématu, tj. Racionální výrazy, stejně jako kořeny, moduly všech studentů vznikají stejný problém, který teď vysvětlím.

Skutečnost je, že na samém počátku studia vzorců zkrácených násobení, a proto akce ke snížení frakcí (to je někde třída 8) učitelé říkají něco takto: "Jestli je něco nejasné, pak se nemusíte starat, my jsme Toto téma se stále opakovaně vrátí na střední škole jako přesně. Budeme to analyzovat. " No, pak na přelomu 9-10. ročníku, stejní učitelé vysvětlují stejné studenty, kteří nevědí, jak řešit racionální zlomky, o následujících: "Kde jste byli předchozí dva roky? Byl studován na algebře v platové třídě 8! Co tady může být nepochopitelné? Je to tak zřejmé! "

Nicméně, obvyklé učedníci z těchto vysvětlení nejsou vůbec jednodušší: mají obě kaše, a zůstali, takže právě teď budeme analyzovat dva jednoduché příklady, na základě kterého a pojďme vidět, jak v reálných úkolech přidělit tyto výrazy Vede nás na vzorce zkrácených násobení a jak to aplikovat k převodu komplexních racionálních výrazů.

Snížení jednoduchých racionálních frakcí

Číslo úkolu 1.

[Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {9 {{y} ^ {4}} - 16 {{x} ^ {2}}} \ t

První věc, kterou se musíme naučit, je přidělit přesné čtverce v počátečních výrazech a vyšších stupňů, na jejichž základě můžeme aplikovat vzorce. Podívejme se:

[9 {} Y} ^ {4}} = {{3}} = {} CDOT {{y} ^ {4}} = {{3}} {{3}} {2}}} cdot {{vlevo ({ {y} ^ {2}} vpravo)} ^ {2}} = {{vlevo (3 {y} ^ {2}}})} ^ {2}} \ t

[16 {}}} {2}} = {{2}} = {{2} ^ {4}} cdot {{x} ^ {2}} = {{vlevo ({{2} ^ ^ {2}} vpravo)} ^ {2}} CDOT {{x} ^ {2}} = {{Left ({{2} ^ {2}} cdot x vpravo)} ^ {2} } = {{{vlevo (4 {{x} ^ {2}} vpravo)} ^ {2}} \ t

Pojďme přepsat náš výraz s přihlédnutím k těmto faktům:

[Frac {4x + 3 {{y} ^ {2}}} {{{Left (3 {y} ^ {2} vpravo)} ^ {2}} - {{Left (4x vpravo )} ^ ^ {2}}} = frac {4x + 3 {}}} {2}}} {vlevo (3 {{y} ^ {2}} - 4x vpravo) vlevo (3 {{ Y} ^ ^ {2}} + 4x vpravo)} = frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} \ t

Odpověď: $ frac {1} {3 {{y} ^ {2}} - 4x} $.

Úkol číslo 2.

Jít na druhý úkol:

[Frac {8} {{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}}} \ t

Není zde nic, co by zde zjednodušilo, protože v čitateli je konstantní, ale navrhl jsem tento úkol, abych se naučil dát polynomy obsahující dvě proměnné na multiplikáti. Pokud místo toho bylo napsáno pod polynomial, jak bychom to rozložili?

[{{x} ^ {2}} + 5x-6 = vlevo (X -... vpravo) vlevo (X -... vpravo) \ t

Vyřešme rovnici a najdeme $ x $, které můžeme umístit místo bodů:

[{{x} ^ {2}} + 5x-6 = 0 \ t

[D = 25-4 CDOT vlevo (-6 vpravo) = 25 + 24 = 49 \ t

[\ SQRT {d} = 7 \ t

[{{x} _ {1}} = frac {-5 + 7} {2} = frac {2} {2} = 1 \ t

[{{x} _ {2}} = frac {-5-7} {2} = frac {-12} {2} = - 6 \ t

Můžeme přepsat tři kusy následovně:

[{{x} ^ {2}} + 5xy-6 {{y} ^ {2}} = vlevo (x-1 vpravo) vlevo (x + 6 vpravo) \ t

S čtvercovým trojnásobkem jsme se naučili pracovat - pro to a bylo nutné zaznamenat tento video tutoriál. A co když, kromě $ x $ a je zde další $ Y $ CONSTANT? Podívejme se na ně jako ještě jeden prvků koeficientů, tj. Pojďme přepsat náš výraz takto:

[{{x} ^ {2}} + 5y cdot x-6 {{y} ^ {2}} \ t

[A = 1; b = 5Y; c = -6 {{y} ^ {2}} \ t

[D = {{vlevo (5y vpravo)} ^ ^ {2}} - 4 cdot vlevo (-6 {{y} ^ {2}} vpravo) = 25 {{y} ^ {2} } +24 {{y} ^ {2}} = 49 {{y} ^ {2}} \ t

[sqrt {d} = 7y \ t

[{{x} _ {1}} = frac {-5Y + 7Y} {2} = y]

[{{X} _ {2}} = Frac {-5Y-7Y} {2} = FRAC {-12Y} {2} = - 6Y \ t

Napište rozklad našeho čtvercového designu:

[vlevo (x-y vpravo) vlevo (x + 6y vpravo) \ t

Celkem, pokud se vrátíme k počátečnímu výrazu a přepište ji, s přihlédnutím ke změnám, pak získáme následující:

[Frac {8} {vlevo (x-y vpravo) vlevo (x + 6y vpravo)} \ t

Co nám tento záznam dává? Nic, protože to neřeší, nemusí násobit a není dělitelný. Nicméně, jakmile tato frakce se ukázalo být nedílnou součástí složitějšího výrazu, takový rozklad se ukáže být mimochodem. Proto, jakmile uvidíte čtvercový trojitý (nezáleží na tom, je zhoršuje další parametry nebo ne), vždy se pokuste o rozkládat na násobiteli.

Řešení nuance

Pamatujte si hlavní pravidla pro převod racionálních výrazů:

  • Všechny denominátory a číslice musí být položeny na multiplikátoři nebo prostřednictvím vzorců zkrácených násobení, nebo prostřednictvím diskriminace.
  • Je nutné pracovat podle tohoto algoritmu: Když se podíváme a snažíme se zdůraznit vzorec zkrácených násobení, pak se nejprve snaží přeložit vše do maximálního možného stupně. Poté vezmeme společný stupeň držáku.
  • Výrazy s parametrem budou nalezeny velmi často: jiné proměnné se vyskytují jako koeficienty. Najdeme je podle vzorce Square Decomposition.

Takže, jakmile uvidíte racionální zlomky, první věc, kterou je třeba rozložit a numerátor, a denominátor pro multiplikátory (na lineárních výrazech), zatímco používáme vzorce zkrácených násobení nebo diskriminačního.

Podívejme se na pár takových racionálních výrazů a pokuste se je rozložit na násobiteli.

Řešení složitějších příkladů

Číslo úkolu 1.

[Frac {4 {x} ^ {2}} - 6xy + 9 {{y} ^ {2}}} {2x-3Y} cdot frac {9 {{y} ^ {2}} - 4 {{x} ^ {2}}} {8 {{x} ^ {3}} + 27 {{y} ^ {3}}} \ t

Přepíšeme a snažíme se o rozkládat každou z podmínek:

[4 {}} ^ {2}} = {{2}} = {} CDOT {{x} ^ {2}} = {{vlevo (2x vpravo)} ^ {2}} \ t

[6xy = 2 cdot 3 cdot x cdot y = 2x cdot 3y \ t

[9 {} Y} ^ {2}} = {{3}} = {} CDOT {{y} ^ {2}} = {{Left (3Y vpravo)} ^ {2}} \ t

[8 {{x} ^ {3}} = {}}} = {} cdot {}} cdot {{x} ^ {3}} = {{vlevo (2x vpravo)} ^ { 3}} \ t

[27 {}} ^ {3}} = {{3}} = {} cdot {{y} ^ {3}} = {} (3Y vpravo)} ^ {3}} \ t

Pojďme přepsat všechny naše racionální výraz s těmito fakta:

[Frac {{{Left (2x vpravo)} ^}}} - 2x cdot 3y + {{vlevo (3Y vpravo)} ^ {2}}} {2x-3Y} cdot \ t Frac {{{{vpravo)} ^ ^ {2}} - {{vlevo (2x vpravo)} ^ {2}}} {{{vlevo (vlevo vlevo)} ^ {3}} + {{vlevo (3Y vpravo)} ^ {3}}} = \]

[= Frac {{vlevo (2x vpravo)} ^ ^ {2}} - 2x cdot 3y + {{vlevo (3y vpravo)} ^ {2}}} {2x-3Y}} \ t FRAC {LEGHT (3Y-2X vpravo) vlevo (3Y + 2x vpravo)} {vlevo (2x + 3y vpravo) vlevo ({{Left (2x vpravo) ^ {2}} - 2x CDOT 3Y + {{Left (3Y vpravo)} ^ {2}} vpravo)} = - 1]

Odpověď: $ -1 $.

Úkol číslo 2.

[Frac {3-6x} {2 {{x} ^ {2}} + 4x + 8} cdot frac {2x + 1} {{{{x} ^ {2}} + 4-4x} \ t CDOT FRAC {8 - {{X} ^ {3}}} {4 {{x} ^ {2}} - 1} \ t

Pojďme zvážit všechny zlomky.

První:

[3-6x = 3 levá (1-2x vpravo) \ t

[2 {{X} ^ {2}} + 4x + 8 = 2 vlevo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} vpravo) \ t

Druhý:

[{{x} ^ {2}} + 4-4x = {{x} ^ {2}} - 4x + 2 = {{x} ^ {2}} - 2 cdot 2x + {{2} ^ {2}} = {{vlevo (x-2 vpravo)} ^ {2}} \ t

Třetí:

[8 - {}}} {3}} = {}} = {}} = {{2} ^ {3}} - {{x} ^ {3}} = vlevo (2-x vpravo) ({{2} ^ {2}} + 2x + {{x} ^ {2}} vpravo) \ t

[4 {{X} ^ {2}} - 1 = {{2} ^ {2}} CDOT {{x} ^ {2}} - {{1} ^ {2} = {{LEVANE (2x vpravo)} ^ ^ {2}} - {{{1} ^ {2}} = vlevo (2x-1 vpravo) vlevo (2x + 1) \ t

Přepíšeme celý návrh, s přihlédnutím ke změnám:

[Frac {3 LEGHT (1-2X vpravo)} {2 Levá ({{X} ^ {2}} + 2x + {} 2x + {{2} ^ {2}} vpravo)} \ cdOt \ t {2x + 1} {{{Left (X-2 vpravo)} ^ {2}}} Cdot frac {vlevo (2-x vpravo) vlevo ({{2} ^ {2}}} + 2x + {{x} ^ {2}} vpravo)} {vlevo (2x-1 vpravo) vlevo (2x + 1 \ t vpravo)} = \ t

[= Frac {3 CDOT vlevo (-1 vpravo)} {2 \ CDOT vlevo (X-2 vpravo) \ CDOT (-1 vpravo)} = frac {3} {2 vlevo (X-2)} \ t

Odpověď: $ frac {3} {2 vlevo (x-2 vpravo)} $.

Řešení nuance

Takže, co jsme se právě naučili:

  • Ne každý čtverec trojnásobný klesá k multiplikátorům, zejména to odkazuje na neúplný čtverec množství nebo rozdíl, který se velmi často nachází jako součást kostek množství nebo rozdíl.
  • Konstanty, tj. Konvenční čísla, která nemají proměnné s nimi, mohou také působit jako aktivní prvky v procesu rozkladu. Za prvé, mohou být vyřazeny ze závorek, za druhé, samotné konstanty mohou být prezentovány ve formě stupňů.
  • Velmi často, po rozkladu všech prvků na multiplikátoři vznikají opačné struktury. Snížení těchto frakcí musí být extrémně čisté, protože s přetaktováním buď shora, nebo existuje další násobitel $ -1 $ - to je důsledek toho, co jsou naproti.

Řešení složitých úkolů

[FRAC {27 {} {} {} {}} - 64 {{b} ^ {3}}} {} {{b}} {2}} - 4}: frac {9 {{} {2}} + 12ab + 16 {{b} ^ {2}}} {{{b} ^ {2}} + 4b + 4} \ t

Zvážit každý termín odděleně.

První zlomek:

[27 {{A} ^ {3}} = {} {3} ^ {3}} cdot {{a} ^ {3}} = {{vlevo (3a vpravo)} ^ {3}} \ t ]

[64 {{b} ^ {3}} = {{2}} = {{2} ^ {6}} cdot {{b} ^ {3}} = {{vlevo ({{2} ^ {2}} vpravo)} ^ {3}} cdot {{b} {{3}} = {}} = {{}} = {{vlevo ({{2} ^ {2}} cdot b vpravo) } ^ {3}} = {{vlevo (4b vpravo)} ^ {3}} \ t

[{{Left (3a vpravo)} ^ ^ {3}} - {{vlevo (4b vpravo)} ^ {3}} = vlevo (3A-4b vpravo) vlevo ({{vlevo) (3a vpravo)} ^ ^ {2}} + 3A cdot 4b + {{vlevo (4b vpravo)} ^ {2}} vpravo) \ t

[{{b} ^ {2}} - {{2} ^ {2}} = vlevo (b-2 vpravo) vlevo (b + 2 vpravo) \ t

Druhý:

[9 {{A} ^ {2}} = {} {3}} = {} CDOT {{a} ^ {2}} = {{Left (3a vpravo)} ^ {2}} \ t

[16 {{b} ^ {2}} = {{4}} = {} cdot {{b} {{b} {{2}} = {{vlevo (vpravo) (4b vpravo)} ^ {2}} \ t

[12Ab = 3 cdot 4AB = 3A cdot 4b \ t

Celý numerátor druhé frakce můžeme přepsat následujícím způsobem:

[{{vlevo (3a vpravo)} ^ ^ {2}} + 3A cdot 4b + {{vlevo (4b vpravo)} ^ {2}} \ t

Podívejme se na denominátor:

[{{b} ^ {2}} + 4b + 4 = {{b} ^ {2}} + 2 cdot 2b + {{2} ^ {2}} = {{Left (b + 2 \ t vpravo)} ^ {2}} \ t

Přepsat všechny racionální výraz, s přihlédnutím k výše uvedeným faktům:

[Frac {levic) vlevo ({{vlevo (vpravo (3a vpravo)} ^ ^ {2}} + 3a cdot 4b + {{levý (4b vpravo)} ^ {2}} vpravo) } {Vlevo (b-2 vpravo) vlevo (b + 2 vpravo)} cdot frac {{{vlevo (b + 2)} ^ {2}}} {{{vlevo 3a vpravo)} ^ ^ {2}} + 3a cdot 4b + {{vlevo (4b vpravo)} ^ {2}}} = \ t

[= Frac {vlevo) vlevo (b + 2 vpravo)} {vlevo (vpravo b-2)} \ t

Odpověď: $ frac {vlevo (3A-4b vpravo) vlevo (b + 2 vpravo)} {vlevo (b-2 vpravo)} $.

Řešení nuance

Jak jsme opět přesvědčili, neúplné čtverce množství nebo neúplných čtverců rozdílu, které jsou často nalezeny v reálných racionálních výrazech, ale nebojí se jich, protože po přeměně každého prvku jsou téměř vždy sníženy. Kromě toho, v žádném případě by se nemělo bát velkých návrhů v celkové odpovědi - je to docela možné, že to není vaše chyba (zejména pokud je vše vyloženo pro multiplikátory), a tento autor představil takovou odpověď.

Závěrem bych chtěl rozebrat další komplexní příklad, který již nepatří přímo do racionálních zlomků, ale obsahuje vše, co na vás čeká v těchto kontrolách a zkouškách, a to: Rozklad multiplikátorů, což představuje společný jmenovatel, a snížení těchto podmínek. To je přesně to, co teď půjdeme.

Řešení obtížného úkolu pro zjednodušení a konverzi racionálních výrazů

[vlevo (frac {x} {{}}} {2}} + 2x + 4} + frac {{{x} ^ {2}} + 8} {{{x} ^ {3} } -8} - frac {1} {x-2} vpravo) \ cdot vlevo (frac {{{x} ^ {2}}} {{}}} {{x} ^ {2} - 4} - Frac {2} {2-x} vpravo) \ t

Za prvé, zvážit a odhalit první závorku: Vidíme tři samostatné frakce s různými jmenovateli, takže první věc, kterou musíme udělat, je přivést všechny tři zlomky ke společnému jmenovateli, a za to by měl být každý z nich rozložen na násobiteli:

[{{x} ^ {2}} + 2x + 4 = {{x} ^ {2}} + 2 cdot x + {{2} ^ {2}} \ t

[{{x} ^ {2}} - 8 = {{x} ^ {3}} - {{2} ^ {2}} = vlevo (x-2 vpravo) vlevo ({{x}) ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}} vpravo) \ t

Přepíšeme celý design následujícím způsobem:

[Frac {x} {{}}} {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}} + frac {{{x} ^ {{x} ^ {2}} + 8} {vlevo ( x -2 vpravo) vlevo ({{x} ^ ^}} + 2x + {{2} ^ {2}} vpravo)} - frac {1} {x-2} = \]

[= Frac {x vlevo (x-2 vpravo) + {{x} ^ {3}} + 8- levý ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ { 2}} vpravo)} {vlevo (x-2 vpravo) vlevo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}}}} = \ t

[= frac {{x} ^ {2}} - 2x + {{x} ^ {2}} + 8 - {{x} ^ {2}} - 2x-4} {vlevo (x- 2 vpravo) vlevo ({{x} ^ {2}} + 2x + {}}}} {2} vpravo)} = frac {{{{x} ^ {2}} - 4x-4} {\ t Vlevo (x-2 vpravo) vlevo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{2} ^ {2}}}}} = \ t

[= Frac {{vlevo (X-2 vpravo)} ^ {2}}} {vlevo (X-2 vpravo) vlevo ({{x} ^ {2}} + 2x + {{ 2} ^ ^ {2}} vpravo)} = frac {x-2} {{{{x} ^ {2}} + 2x + 4} \ t

To je výsledek výpočtů z prvního držáku.

Chápeme s druhým držákem:

[{{x} ^ {2}} - 4 = {}}} {2} - {{2} ^ {2}} = vlevo (x-2 vpravo) vlevo (x + 2 \ t ŽE JO) \]

Druhý držák přepisujeme se změnami:

[Frac {{x} ^ {2}}} {vlevo (x-2 vpravo) vlevo (x + 2 vpravo)} + frac {2} {x-2} = frac { {{x} ^ {2}} + 2 vlevo (X + 2 vpravo)} {vlevo (x-2 vpravo) vlevo (x + 2)} = frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {vlevo (X-2 vpravo) vlevo (X + 2)} \ t

Nyní napište celý zdrojový design:

[Frac {x-2} {{{x}} {2}} + 2x + 4} cdot frac {{{x} ^ {2}} + 2x + 4} {vlevo (x-2) Vpravo) vlevo (x + 2 vpravo)} = frac {1} {x + 2} \ t

Odpověď: $ frac {1} {x + 2} $.

Řešení nuance

Jak vidíte, odpověď se ukázala docela zdravý. Poznámka: Velmi často, s takovými velkými výpočty, když jediná proměnná je pouze v denominátoru, studenti zapomínají, že se jedná o jmenovatele a měl by stál zlomek na poté a napsat tento výraz do numerátoru - to je hrubá chyba.

Kromě toho bych chtěl, aby vaše zvláštní pozornost, jak jsou tyto úkoly vyrobeny. V jakýchkoli složitých výpočtech jsou všechny kroky prováděny na akcích: Za prvé, považujeme za samostatně, pak kombinujeme samostatně a jen na konci kombinujeme všechny díly a zvažujeme výsledek. Zajistíme tedy z hloupých chyb, pečlivě zapište všechny výpočty a zároveň neotráví čas navíc, protože se může zdát na první pohled.

Na nové schůzky!

Viz také:

  1. Jak provést snížení racionálních frakcí bez chyb? Jednoduchý algoritmus na příkladu pěti různých úkolů.
  2. Zlomkové racionální výrazy
  3. Jak projít zkouškou v matematice
  4. Trial EGE 2012. Možnost 12 (bez logaritmů)
  5. Intervalová metoda: Případ neuvěřitelných nerovností
  6. Test na problémy B14: Snadná úroveň, 1 volba

Komentáře učitel

Lekce: Transformace racionálních výrazů

Připomínající první určení racionálního výrazu.

Definice. Racionální Výraz - algebraický výraz, který neobsahuje kořeny a zahrnuje pouze akce přidávání, odčítání, násobení a divize (erekce).

Pod pojmem "konverze racionálního výrazu" máme především jeho zjednodušení. A to se provádí v postupu známém nám: První akce v závorkách, pak Práce čísel (Erend do stupně), rozdělení čísel a pak doplnění / odčítání.

Hlavním účelem dnešní lekce bude získávání zkušeností při řešení složitějších úkolů pro zjednodušení racionálních výrazů.

Příklad 1. Zjednodušte racionální výraz .

Rozhodnutí. Zpočátku se může zdát, že uvedené frakce mohou být sníženy, protože výrazy v frakcích jsou velmi podobné vzorci plných čtverců odpovídajících jmenovek. V tomto případě je důležité, aby spěchal, ale samostatně zkontrolujte, zda je.

Zkontrolujte numerátor první frakce: . Nyní je numerátor druhý: .

Jak je vidět, naše očekávání nebyla oprávněná, a výrazy v čitatelích nejsou úplné čtverce, protože nemají zdvojnásobení práce. Takové výrazy, pokud si vzpomínáme na stupeň 7, se nazývají neúplné čtverce. V takových případech by mělo být velmi pozorné, protože zmatenost kompletního čtvercového vzorce s neúplným je velmi běžnou chybou a tyto příklady kontrolují pozornost studenta.

Vzhledem k tomu, že snížení je nemožné, pak budeme provádět přidání zlomků. Denominátoři nemají žádné společné faktory, takže se jednoduše změní na získání nejmenšího společného jmenovatele, a další faktor pro každou frakci je jmenovatelem jiné frakce.

 

Samozřejmě, pak můžete odhalit závorky a pak přinést podobné pojmy, nicméně, v tomto případě můžete provést následující sílu a poznamenat, že v nulátoru je první termín vzorec součtu kostek a druhý je rozdíl kostek . Pro pohodlí, dovolte nám připomenout tyto vzorce obecně:

 и .

V našem případě je výraz v nulátoru zhroutil následovně:

Druhý výraz je podobný. My máme:

.

Odpovědět. .

Příklad 2. Zjednodušte racionální výraz .

Rozhodnutí. Tento příklad je podobný předchozímu, ale je zde okamžitě vidět, že neúplné čtverce jsou umístěny v oblastech, proto je snížení v počáteční fázi řešení nemožné. Podobně jako předchozí příklad složení frakcí:

Zde jsme podobní metodě uvedené výše, všiml si a zvlněné výrazy vzorce množství a rozdílu kostek.

Odpovědět. .

Příklad 3. Zjednodušte racionální výraz .

Rozhodnutí. Je třeba poznamenat, že druhý frakční denominátor se rozkládá na faktorech vzorcem kostek. Jak již víme, rozklad jmenovatelů na faktory je užitečné pro další hledání nejmenšího společného jmenovatele.

.

Ukazujeme nejmenší celkový denominátor frakcí, je rovnocenný: , Vzhledem k tomu, že je rozdělen do jmenovatele třetí frakce a první exprese je obecně celek a jakýkoliv jmenovatel je vhodný pro něj. Označující zjevné dodatečné chyby, psát:

.

Odpovědět.

Zvažte složitější příklad s "vícepodlažními" frakcemi.

Příklad 4. Prokázat identitu Se všemi přípustnými hodnotami proměnné.

Důkaz. Pro prokázání zadané identity se pokusíme zjednodušit levou část (komplikovanou) na jednoduché druhy, které jsou požadovány. Chcete-li to provést, proveďte všechny kroky s frakcemi v numerátoru a jmenovateli, a pak zlomek rozdělte a zjednodušte výsledek.

. Prokázáno pro všechny platné hodnoty proměnné.

Dokázal.

Abstraktní zdroj: http://interneturok.ru/en/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arrifmeticheskie-eperaciii-nad-algebraicheskimi-drobyamiami/preobrazovanie-Ratsionalnyh-Vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13.

Video zdroj: http://www.youtube.com/watch?v=mtxotj-mhiq

Vlastnosti přidávání, odčítání, násobení a dělení jsou užitečné v tom, že vám umožní transformovat částky a pracuje ve vhodných výrazech pro výpočetní techniku. Naučte se používat tyto vlastnosti Zjednodušte výrazy .

Vypočítejte částku:

52 + 287 + 48 + 13 =

V tomto výrazu jsou čísla, kdy jsou čísla "kulaté" přidávat. Všimněte si toho, je snadné vypočítat perorálně. Používáme přehodnocení pokroku.

Zjednodušte množství pohybu

Pro zjednodušení výpočtu prací můžete využít násobení pohybu.

7 · 2 · 9 · 5 = (2 · 5) · (7 · 9) = 10 · 63 = 630

Používají se kombinativní a pohyblivé vlastnosti a Zjednodušte výrazy dopisů .

  • 6 · A · 2 = 6 · 2 · A = 12A
  • 2 · a · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8AB
  • 5b + 8b = (5 + 8) · B = 13b
  • 14y - 12Y = (14 - 12) · Y = 2Y

Distribuční právo násobení se často používá pro zjednodušení výpočtů.

Distribuční právo násobeníRozdělovací právo násobení vzhledem k odčítání

Uplatnění vlastnosti distribuce násobení vzhledem k přidávání nebo odečítání výrazu " (A + B) · C a (A - B) · C "Dostaneme výraz, který neobsahuje závorky.

V tomto případě říkají, že my Odhalené (snížené) závorky . Chcete-li použít vlastnosti, nezáleží na tom, kde je zaznamenán multiplikátor " c"- Před závorkami nebo po.

Připomenutí závorky ve výrazech.

  • 2 (t + 8) = 2t + 16
  • (3x - 5) 4 = 4 · 3x - 4 · 5 = 12x - 20
Zapamatovat si! Dokázal se!

Pokud písmeno není v případě zaznamenán, rozumí se, že před dopisem je numerický faktor 1.

Násobitel pro závorky

Změníme správnou a levou část rovnosti:

(A + B) C = AC + BC

Dostaneme:

AC + BC = (A + B) s

V takových případech to říkají od " AC + BC. » Byl proveden společný multiplikátor «с"Pro závorky.

Příklady obecného faktoru pro závorky.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x - X - 6 = (7 - 1) X - 6 = 6x - 6 = 6 (X - 1)

Добавить комментарий